清华大学“应用随机过程” 讲义一.ppt

1、应用随机过程,清华大学数学科学系 林元烈 主讲,教材：应用随机过程（第三次印刷） 林元烈，清华大学出版社,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,2,学习要求,不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想 学会把抽象的概率和实际模型结合起来,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,3,学习重点,用随机变量表示事件及其分解基本理论 全概率公式基本技巧 数学期望和条件数学期望基本概念,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,4,第一讲,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,5,随机事件与概率,随机试验,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,6,要点： 在相同条件下，试验可重

2、复进行； 试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,7,样本点 对于随机试验E，以表示它的一个可能出现的试验结果，称为E的一个样本点。 样本空间 样本点的全体称为样本空间，用表示。 ,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,8,随机事件 粗略地说，样本空间的子集就是随机事件，用大写英文字母A、B、C等来表示。 事件的关系与运算,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,9,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,10,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,11,示性函数,是最简单的随机变量

3、 用随机变量来表示事件,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,12,用示性函数的关系及运算来 表示相关事件的关系及运算,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,13,公理化定义,集类,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,14,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,15,概率,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,16,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,17,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,18,概率是满足 非负性； 归一性； 可列可加性； 的集函数。 可测集 粗略地说，可以定义长度（面积、体积）的点集即为可测集；反之称为不可测集

4、。,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,19,概率的性质 1. 2. 3. 有限可加性,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,20,4. 5. 6.,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,21,7. 8. 可列次可加性 9. 概率连续性,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,22,这部分的详细讨论可以参见 随机数学引论 林元烈，清华大学出版社,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,23,Buffon试验：最早用随机试验的方法求某个未知的数。 测度：满足非负性、可列可加性的集函数。,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,24,2020/8/27,

5、应用随机过程讲义 第一讲,25,实际上，设集类 以上集类和A生成相同的-代数,都是上面提到的一维Borel-代数，即,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,26,直观地说， 中包含一切开区间，闭区间，半开半闭区间，半闭半开区间，单个实数，以及由它们经可列次并交运算而得出的集类。,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,27,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,28,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,29,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,30,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,31,事件的独立性,2020/8/27,应用随机过程讲义

6、第一讲,32,几个事件的独立性,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,33,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,34,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,35,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,36,比较甲乙两人的结果，从以上结果可以得到什么结论,？,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,37,机遇偏爱有心人！,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,38,一次成功的概率只有2，是典型的小概率事件； 但重复次数足够多，如n=400， 至少一次成功就是大概率事件！,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,39,只要功夫深，铁杵磨成针！,

7、2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,40,随机变量 定义解释,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,41,离散型随机变量的示性函数表示法 这说明对于任一d.v.r.，总可以分解为互不交的事件的示性函数的迭加。,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,42,随机变量等价定义,分布函数,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,43,连续型随机变量的概率密度函数,微元法求概率密度函数,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,44,二维随机变量的分布函数 二维Borel-代数 由平面上矩形的全体生成的代数,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,45,联合密度

8、函数,亦可用微元法求,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,46,常用随机变量的分布（列出,期望方差） 两点分布 正态分布 二项分布 指数分布 Poisson分布 均匀分布 几何分布 二维正态分布,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,47,两点分布 若r.v.X只取1和0两个值，且 则称r.v.X服从参数为p的两点分布。 简记为：XB(1,p).即,EX=p,DX=p(1-p),2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,48,EX=np,DX=np(1-p),EX=1/p,DX=(1-p)/p2,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,49,EX=,DX=,EX=(

9、a+b)/2,DX=(b-a)2/12,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,50,EX=1/,DX=1/2,EX=,DX=2,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,51,二维正态分布的优良性质 X,Y相互独立 X,Y不相关,随机变量的数字特征 及条件数学期望,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,53,数学期望（复习） “加权平均” 为了引出一般随机变量的定义，我们先介绍R-S积分的概念。,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,54,黎曼斯蒂尔吉斯积分,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,55,任分任取,求和,取极限,2020/8/27,应用随机过程

10、讲义 第一讲,56,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,57,在定义了R-S积分之后，我们可以将所有随机变量的数学期望形式进行统一。,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,58,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,59,数学期望的性质（E|Xi|）,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,60,交换求和顺序,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,61,同理，对连续型随机变量有相似的结论成立,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,62,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,63,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,64,2020

11、/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,65,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,66,Chebyshev不等式,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,67,条件数学期望,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,68,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,69,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,70,用示性函数的线性组合表示离散型随机变量 （见前面“随机变量”部分 ）,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,71,例：,将概率运算纳入求期望运算的范畴,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,72,理解 E(X|Y)是的函数，也是Y()的函数

12、，即Y() 取值不同， E(X|Y)也取相应的值； 当Y是离散型随机变量时，E(X|Y)也是离散型随机变量。,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,73,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,74,推广至一般随机变量,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,75,将x替换成X,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,76,求条件数学期望的一般步骤,先写出固定条件(如Y=yj)的情况下X的条件分布律或条件密度函数； 根据条件数学期望的定义，通过求和或积分得到条件下的数学期望； 将条件(Y=yj)替换成一般情况下的随机变量(Y),2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,77,条件数学期望的性质 设E(Y),E(Xi|Y),E(h(Y),Eg(X)h(Y)存在，则,(重要!) 全期望公式,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,78,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,79,将全概率公式纳入全期望公式的范畴,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,80,重要结论：E(X|Y)=E(E(X|Y,Z)|Y)=EE(X|Y)|Y,Z 以示性函数为例，验证上面的结论,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,81,同理可验证另一个等号,2020/8/27,应用随机过程讲义 第一讲,82,例：,2020/8/27,应用随