向量组的线性相关习题.ppt

1、第一章 习题课,一、向量的定义,定义: n 个有次序的数a1, a2, , an所组成的数组称为n维向量, 这n个数称为该向量的n个分量, 第 i 个数ai 称为第 i 个分量. 分量全为实数的向量称为实向量, 分量为复数的向量称为复向量. 行向量; 列向量.,向量的相等; 负向量; 零向量.,向量按照矩阵运算法则进行运算.,向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算,满足下列八条运算规则:,二、向量的线性运算,(1) 加法交换律: a +b = b + a ; (2) 加法结合律: (a +b ) + g = a + ( b +g ) ; (3) 对任一向量a , 有a +O = a; (4)

2、 对任一向量a, 存在负向量a , 有a +(a ) = O ; (5) 1 a = a ; (6) 数乘结合律: k(l a) = (l k)a ; (7) 数乘对向量加法的分配律: k( a + b ) = ka + kb ; (8) 数量加法对数乘的分配律: ( k + l ) a = ka + l a ;,其中a, b, g为n维向量, 1, k, l为数, O为零向量.,除了上述八条运算规则, 显然还有以下性质:,(1) 0a =O; (2) 若 ka = O, 则或者k=0, 或者a = O; (3) 向量方程: a + x = b, 有唯一解 x = a - b ;,其中a, b

3、 为n维向量, 0为数零, k任意数, O为零向量.,三、线性组合,若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所组成的集合叫做向量组.,定义: 给定向量组A: 1, 2, , m, 对于任何一组实数k1, k2, ,km, 向量 k11 + k22 + + kmm 称为向量组A: 1, 2, m一个线性组合, k1, k2, ,km称为这个线性组合的系数.,给定向量组A: 1, 2, , m和向量b, 如果存在一组数1, 2, ,m, 使 b = 11 + 22 + + mm 则向量b是向量组A的线性组合, 这时称向量b能由向量组A线性表示.,定理1: 向量b能由向量组A线性表示的充分必要条件是

4、矩阵A=(1, 2, , m)与B=(1, 2, , m, b)的秩相等.,定义: 设有两向量组 A: 1, 2, , m 与 B: 1, 2, , s . 若B组中的每一个向量都能由A组线性表示, 则称向量组B能由向量组A线性表示; 若向量组B与向量组A可以相互线性表示, 则称这两个向量组等价.,四、线性相关性,定义: 给定向量组A: 1, 2, , m , 如果存在不全为零的数 k1, k2, ,km , 使 k11 + k22 + + kmm = O 则称向量组A是线性相关的, 否则称它是线性无关.,定理3: 向量组1, 2, , m线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(1, 2,

5、 , m)的秩小于向量个数m; 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m.,定理2: 向量组 1, 2, , m (当 m2 时)线性相关的充分必要条件是1, 2, , m中至少有一个向量可由其余 m1个向量线性表示.,定理4: (1)若向量组A:1, 2, , m线性相关, 则向量组B: 1, 2, , m, m+1也线性相关; 反言之, 若向量组B线性无关, 则向量组A也线性无关.,(2)设,即j 添上一个分量后得向量j. 若向量组A: 1, 2, , m线性无关, 则向量组B: 1, 2, , m也线性无关; 反言之, 若向量组B线性相关, 则向量组A也线性相关.,(3) m个n维向量

6、组成的向量组当维数n小于向量个数m时一定线性相关,(4) 设向量组A: 1, 2, , m线性无关, 而向量组 B: 1, 2, , m, 线性相关, 则向量 必能由向量组A线性表示, 且表示式是唯一的.,定义: 设有向量组A, 如果在A中能选出r 个向量 A0: 1, 2, r, 满足 (1)向量组A0: 1, 2, r, 线性无关; (2)向量组A中任意r+1个向量(如果存在的话)都线性相关. 那末称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关向量组(简称最大无关组). 最大无关组所含向量个数r 称为向量组的秩.,五、向量组的秩,定理1: 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组的秩.

7、,定理2: 设向量组B能由向量组A线性表示, 则向量组B的秩不大于向量组A的秩, 即 R(B)R(A).,推论1: 等价的向量组的秩相等.,推论2: 设Cmn = Ams Bsn, 则 R(C)R(A), R(C)R(B).,推论3: 设向量组B是向量组A的部分组, 若向量组B线性无关, 且向量组A能由向量组B线性表示, 则向量组B是向量组A的一个最大无关组.,六、向量空间,定义: 设V为n维向量的集合, 如果集合V非空, 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭, 那么就称集合V为向量空间.,集合V对于加法及乘数两种运算封闭是指: 若, V, 则 + V; 若 V, R, 则 V.,一般地, 由向

8、量组a1, a2, , am所生成的向量空间,为:,七、子空间,定义: 设有向量空间V1及V2, 若有V1V2. 则称V1是V2的子空间.,八、基与维数,定义: 设V是向量空间, 如果有r 个向量1, 2, , rV, 满足 (1) 1, 2, , r 线性无关; (2) V中任一向量都可由1, 2, , r 线性表示. 则称向量组1, 2, , r为向量空间V的一个基, 称整数r 为向量空间V的维数, 并称V为r 维向量空间.,说明1: 只含有零向量的向量空间称为0维向量空间, 因此它没有基,说明2: 若把向量空间V看作向量组, 那末V的基就是向量组V的最大无关组, V的维数就是向量组的秩.

9、,说明3: 若向量组1, 2, , r 是向量空间V的一个基, 则V可表示为,九、齐次线性方程组,向量方程; 解向量.,解向量的性质,(1) 若x = 1, x = 2为Ax = 0的解, 则 x =1 + 2也是Ax = 0的解.,(2) 若x = 1为Ax = 0的解, k为数, 则 x = k1也是 Ax = 0的解.,由以上两个性质可知, 方程组的全体解向量所组成的集合, 对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一个向量空间, 称此向量空间为齐次线性方程组 Ax = 0的解空间.,定义: 如果向量组1, 2, , t 为齐次线性方程组Ax = 0的解空间的一组基, 则向量组1, 2, ,

10、 t 称为齐次线性方程组Ax = 0的基础解系.,称向量组1, 2, , t为齐次线性方程组Ax = 0的基础解系, 如果,(1) 1, 2, , t 是Ax = 0的一组线性无关的解; (2) Ax = 0的任一解都可由1, 2, , t 线性表出.,方程组Ax = 0的基础解系是不唯一的.,如果向量组1, 2, , t 为齐次线性方程组Ax = 0的一组基础解系, 那么, Ax = 0的通解可表示为: x = k11 + k22 + + ktt 其中k1, k2, , ktt 为任意常数.,求齐次线性方程组的基础解系,1. 用初等行变换将系数矩阵A化为最简行阶梯形:,2. 将第r+1, r

11、+2, , n列的前r个分量反号, 得解1, 2, ,n-r的前r个分量:,3. 将其余nr个分量依次组成 nr 阶单位矩阵, 于是得齐次线性方程组的一个基础解系:,十、非齐次线性方程组,(1) 设 x=1 及 x=2 都是方程组 Ax=b 的解, 则 x=12为对应齐次方程组Ax=0的解.,(2) 设 x= 是方程组 Ax=b 的解, x= 是方程组 Ax=0 的解, 则 x=+ 仍为方程组 Ax=b 的解.,解向量的性质,求非齐次线性方程组的特解,用初等行变换将增广矩阵B化为最简行阶梯形:,当dr+10时, 则方程组 Ax=b 无解; 否则, 得齐次线性方程组Ax=0的基础解系1, 2,

12、,n-r和非齐次线性方程组Ax=b的一个特解: *=(d1, d2, , dr , 0, , 0)T.,一、向量组线性相关性的判定,典型例题,研究这类问题一般有两个方法.,方法1. 从定义出发,整理得齐次线性方程组:,令 k11 + k22 + + kmm = 0,即,(1),若齐次线性方程组(1)只有零解, 则1, 2, , m线性无关; 否则, 1, 2, , m线性相关.,方法2. 利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系,给出一组n维向量1, 2, , m, 就得到一个相应的矩阵A=(1, 2, , m), 求R(A), 则 若R(A)=m, 则 1, 2, , m线性无关; 若R(A)m,

13、 则 1, 2, , m线性相关.,例1: 研究下列向量组的线性相关性,解一: 令 k11 + k22 + k33 = 0,即,整理得齐次线性方程组:,(2),上述齐次线性方程组(2)的系数行列式为:,齐次线性方程组(2)有非零解, 故1, 2, 3线性相关.,解二: 构造矩阵,A = (1, 2, 3) =,则,由 R(A) = 2 3 得, 向量组1, 2, 3线性相关.,例2: 设向量组1, 2, , r (r 2)线性相关, 证明: 存在不全为零的数 t1, t2, , tr , 使得对任何向量, 都有 1 + t1, 2 + t2, , r + tr , 线性相关.,分析: 我们从定

14、义出发, 考察向量方程:,k1(1 + t1 ) + k2(2 + t2 ) + + kr(r + tr ) = 0,即向量方程:,k11 + k22 + + krr + (k1t1 + k2t2 + + krtr ) = 0,是否有某组不全为零的数k1, k2, , kr , 而使得对任何向量, 恒有非零解, 因此可得如下证明:,证明: 因为向量组1, 2, , r 线性相关, 所以, 存在不全为零的数k1, k2, , kr , 使得 k11 + k22 + + krr = 0.,因为 r 2, 所以必有非零解, 设(t1, t2, , tr )为其一个非零解, 则对任意向量 , 都有,再

15、考察方程组: k1x1 + k2x2 + + krxr = 0.,k11 + k22 + + krr + (k1t1 + k2t2 + + krtr ) = 0,即,k1(1 + t1 ) + k2(2 + t2 ) + + kr(r + tr ) = 0.,线性相关.,由k1, k2, , kr不全为零得:, 1 + t1, 2 + t2, , r + tr ,例3: 已知向量组A: 1, 2, , s 的秩是r, 证明: A中任意个r 线性无关的向量均构成它的一个最大线性无关组.,分析: 证明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本方法就是: 根据最大线性无关组的定义来证, 它往往还与向

16、量组的秩相联系.,证明: 不失一般性, 设 是A: 1, 2, , s 中的任意r 个线性无关的向量, 于是对于任意的k (k=1, 2, , s), 向量组 ,k 线性相关, 否则向量组A的秩大于r.,二、求向量组的秩,求一个向量组的秩, 可以把它转化为矩阵的秩来求, 这个矩阵是由这组向量为行(列)向量所排成的. 若矩阵A经过初等行(列)变换化为矩阵B, 则A和B中任何对应的列(行)向量组都有相同的线性相关性.,如果向量组的向量以列(行)向量的形式给出, 把向量作为矩阵的列(行), 对矩阵作初等行(列)变换, 这样,不仅可以求出向量组的秩, 而且可以求出最大线性无关组.,例4: 求向量组,的

17、秩.,解: 作矩阵A=(1, 2, 3, 4, 5), 对A作初等行变换化为阶梯形.,故, R(A)=3, 从而向量组1, 2, 3, 4, 5的秩为3.,又1, 2, 4是向量组1, 2, 3, 4, 5的一个最大线性无关组.,所以1, 2, 4也是向量组1, 2, 3, 4, 5的一个最大线性无关组.,三、向量空间的判定,判断向量的集合是否构成向量空间, 需看集合是否对于向量的加法和数乘两种运算封闭. 若封闭, 则构成向量空间; 否则, 不构成向量空间.,例5: 判断R3中与向量(0, 0, 1)不平行的全体向量所组成的集合是否构成向量空间.,解: R3中与向量(0, 0, 1)不平行的全

18、体向量所组成的集合V是否构成向量空间.,两向量, 平行当且仅当它们的分量对应成比例.,因为, 对不平行于向量(0, 0, 1)的向量,1=(0, k, 0), 2=(0, -k, 1)V ( k 0 ),1+2 = (0, 0, 1) V.,有,即V对加法运算不封闭, 故V不构成向量空间.,四、基础解系的证法,例6: 证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系.,分析: 要证明某一向量组是方程组Ax=0的基础解系, 需要证明三个结论: (1) 该组向量都是方程组的解; (2) 该组向量线性无关; (3) 方程组的任一解均可由该向量组线性表示.,证明: 设1, 2, , t是方程组Ax=0

19、的一个基础解系, 1, 2, ,m是与1, 2, , t等价的线性无关的向量组. 由于等价的线性无关向量组所含向量个数相同,所以, 这两个向量组所含向量个数相等, 即 m = t .,(1) 由向量组的等价关系易知, i ( i = 1, 2, , t )可以表示成 1, 2, , t 的线性组合. 而方程组 Ax=0 的解的线性组合仍然是原方程组的解, 故1, 2, ,t 仍是方程组 Ax=0 的解.,(2) 由题设知, 1, 2, ,t 是线性无关的.,(3) 设为方程组Ax=0的任一解, 则可由1, 2, , t 线性表示, 由向量组的等价性, 1, 2, , t 均可由1, 2, ,t

20、 线性表示, 故也可由1, 2, ,t 线性表示.,注: 当线性方程组有非零解时, 基础解系的取法不唯一, 且不同的基础解系之间是等价的.,故由定义知, 1, 2, ,t 也是方程组Ax=0 的一个基础解系.,五、解向量的证法,例7: 设*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解, 1, 2, , nr是其导出组(对应齐次线性方程组Ax=0)的一个基础解系, 证明: (1) *, 1, 2, , nr 线性无关; (2) *, *+1, *+2, , *+nr 是方程组Ax=b的nr+1个线性无关的解; (3) 方程组Ax=b的任一解x都可以表示为这nr+1个解的线性组合, 而且组合系数之和为1.,

21、证明(1): 令,k0* + k11 + k22 + + knr nr = 0 (1),其中必有k0=0.,否则有,由于1, 2, , nr 是其对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系, 故等式右边的线性组合必为 Ax=0 的解,而等式左边*是非齐次线性方程组Ax=b 的解. 矛盾. 所以有 k0=0 .,将 k0=0 代如(1)式得,k11 + k22 + + knr nr = 0,由于1, 2, , nr 线性无关, 因此只能有 k0 = k1 = k2 = = knr = 0,所以, *, 1, 2, , nr 线性无关.,(2) 由线性方程组解的性质知, *, *+1, *+2, , *

22、+nr 都是Ax=b的解, 以下证它们线性无关.,k0* + k1(*+1) + + knr(*+nr ) = 0,令,得,(k0 + k1 + + knr )* + k11 + + knrnr = 0,类似于(1)的证明方式, 可得,故, *, *+1, *+2, , *+nr 是方程组Ax=b的 nr+1个线性无关的解;,*, *+1, *+2, , *+nr 是线性无关的.,(3) 设x为方程组Ax=b的任一解, 则 x可表为,x = *+ c11 + + cnrnr,= *+ c1(*+1*) + + cnr (*+ nr *),= (1c1 cnr )*+c1(*+1)+cnr (*

23、+nr),令 c0= 1c1 cnr , 则c0 + c1 + + cnr = 1,故, 方程组Ax=b的任一解x都可以表示为这nr+1个解*, *+1, *+2, , *+nr的线性组合, 而且组合系数之和为1.,注意(1): 本例是对非齐次线性方程组Ax=b的解的结构作进一步的分析和讨论, 即非齐次线性方程组一定存在着nr+1个线性无关的解, 题中(2)的证明表明了它的存在性.,注意(3): 对非齐次线性方程组Ax=b, 有时也把如题中所给的nr+1个解称为Ax=b的基础解系, 所不同的是它的线性组合只有当组合系数之和为1时, 才是方程组Ax=b的解.,注意(2): 对齐次线性方程组, 当

24、R(A)=r n 时, 有无穷多组解, 其中任一解可由其基础解系线性表示.,10. 设向量组A: a1, a2, , am的秩为p, 向量组B: b1, b2, , bn的秩为q, 向量组C: a1, a2, , an, b1, b2, , bn的秩为r, 证明,证明: 显然向量组A和B都可由向量组C线性表示.,因此有, R(A) R(C), R(B) R(C),即 Maxp, q r .,设向量组A, B的最大无关组分别为A0, B0, 且A0与B0中的所有向量构成向量组D.,由于R(A)=p, R(B)=q, 所以向量组A0, B0中的向量个数分别为p, q, 故向量组D中的向量数仅为 p

25、 + q 个.,又由于向量组A0和B0都可由向量组D线性表示, 从而, 向量组A和B都可由向量组D线性表示,所以, R(D) p + q.,Maxp, q r p + q.,C可由向量组D线性表示,因此,故向量组, p+q.,r =,R(C) R(D),Maxp, q r p + q.,因此得证:,11. 证明:R(A+B) R(A)+R(B).,证明: 设A=(a1, a2, , an), B=(b1, b2, , bn), 则 A+B =(a1+b1, a2+b2, , an+bn)=(c1, c2, , cn),显然, 向量组c1, c2, , cn即a1+b1, a2+b2, , an

26、+bn可以由向量组 a1, a2, , an, b1, b2, , bn线性表示.,所以, R(c1, c2, , cn) R(a1, a2, , an, b1, b2, , bn),R(a1, a2, , an, b1, b2, , bn),又由习题10知, R(a1, a2, , an)+R(b1, b2, , bn),因此,R(c1, c2, , cn) R(a1, a2, , an)+R(b1, b2, , bn),即,R(A+B) R(A)+R(B),21. 设A, B都是n阶方阵, 且AB=O, 证明:,R(A)+R(B) n.,证明: 设R(A)=r .,是以A为系数矩阵的齐次线

27、性方程组Ax=0的解向量.,由AB=O知, B的每一个列向量都,(1) 当 r = n 时, 齐次线性方程组Ax=0只有零解,故B=O,此时有, R(A)+R(B) = n + 0 = n,结论成立.,(2) 当 r n 时, 该齐次线性方程组Ax=0的基础解系中含有nr个向量,从而, B的列向量组的秩 nr ,即R(B) nr,此时有, R(A)+R(B) r + n r = n.,综上所述, 结论成立.,所以, 由习题21结论可知:,R(A)+R(EA) n.,再由习题11结论得:,R(A)+R(AE) = R(A)+R(EA), R(A+(EA),= R(E) = n.,因此, 有,R(A)+R(AE)=n.,22. 设n阶矩A阵满足A2=A, E为n阶单位矩阵, 证明,证明: 由条件A2=A得, A(EA)=O,R(A)+R(AE)=n.,(提示: 利用题11及题21的结论),例: 设A*为n 阶方阵A的伴随矩阵, 证明: (1) 当R(A)