《二次函数y=ax2 bx c（a≠0）的图象》课件1.ppt

1、二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象,学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征，下面请同学们谈谈它们的图象有拿些特征？ 上节课我们学习了二次函数的一般形式为y=ax+bx+c(a 0)，那么它的图象是否也为直线或为双曲线呢？,引 入,我们已经学习过用描点法画一次函数的图象，如何画一个二次函数的图象呢？,画二次函数 的图象,列表：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取0 和一些互为相反数的数，并且算出相应的函数值，列成下表：,描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点. 如下图所示.,B,B,连线：根据上述分析，我们可以

2、用一条光滑曲线把原点和y轴右边各点顺次连接起来，这样就得到了 的图象. 如上图所示.,由此可知，二次函数y=x2的图象通过原点，分布在第一、第二象限，且以y轴为对称轴的一条曲线，我们称这条曲线为抛物线，它与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.,我们先来研究a1时，二次函数y=ax2（a0）的图象和二次函数y=x2的图象之间有怎样关系.,举 例,例1 在同一坐标系中，做出下列函数的图象：,解：列表（请补充完整）：,-9,-4,-1,0,-9,-4,-1,-18,-8,-2,0,-18,-8,-2,6,0,6,描点，连线得到这些二次函数的图像，如图19-5所示。,由此可知，a的取值不同，二次函数y=ax

3、2 （a0）的图象都是通过原点，以y轴为对称轴得抛物线，并且和抛物线y=x2比较，当a取不同的值时，能引起抛物线开口方向的改变；,当a0时，抛物线的开口向上；当a0时，抛物线的开口向下.,对称轴是 ，,对称轴与图象的交点是 .,图象的开口向 ，,y 轴,O(0，0),下,观察下图，函数 的图像具有哪些性质？,从图中可以看出，二次函数 的图象是一条曲线，,在同一个平面直角坐标系中，画出函数 与 的图像.,解 列表：,描点、连线，画出这两个函数的图像，如图所示.,然后描点画 图,得到 y=x21，y=x21的图像.,在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 1的图像,解: 先列表,(

4、1) 抛物线y=x2+1，y=x21的开口方向、对称轴、顶点各是什么? (2)抛物线y=x2+1，y=x21与抛物线y=x2有什么关系?,抛物线y=x2+1:,开口向上,顶点为(0，1).,对称轴是y轴,抛物线y=x21:,开口向上,顶点为(0, 1).,对称轴是y轴，,y=x2+1,y=x21,抛物线y=x2+1,y=x21与抛物线y=x2的关系:,y=x2+1,抛物线y=x2,抛物线 y=x21,向上平移 1个单位,把抛物线y=2x2+1向上平移5个单位,会得到那条抛物线?向下平移3.4个单位呢?,抛物线y=x2,向下平移 1个单位,思考,(1)得到抛物线y=2x2+6,(2)得到抛物线y

5、=2x22.4,y=x21,y=x2,抛物线 y=x2+1,归纳,一般地，抛物线y=ax2+c有如下特点:,(1)当a0时，开口向上;,当a0时，开口向下;,(2)对称轴是y轴；,(3)顶点是(0，c).,抛物线y=ax2+c可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|c|得到.,(c0,向上平移;c0向下平移.),在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图像： y= x2，y= x2+2，y= x2-2. 观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物线y= x2+k的开口方向、对称轴和顶点吗？它与抛物线y= x2有什么关系？,y= x2,y= x2+2,y= x2-

6、2,开口方向都向上；,对称轴都为直线x=0；,y= x2的顶点为（0，0）； y= x2+2的顶点为（0，2）； y= x2-2的顶点为（0，-2）.,y= x2+k的开口方向向上，对称轴为直线 x=0，顶点为（0，k）；它是由抛物线 y= x2向上平移k个单位长度得到.,(2)在同一坐标系画出y=3x2和y=3(x-1)2的图象.,(1)完成下表,并比较3x2和3(x-1)2的值，它们之间有什么关系?,观察图像,回答问题,(3)函数y=3(x-1)2的图像与y=3x2的图像有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,想一想,在同一坐标系中作二次函数y=3(x+1)2的图像

7、,会在什么位置?,二次函数y=3(x-1)2与y=3x2的图像形状相同,可以看作是抛物线y=3x2整体沿x轴向右平移了1 个单位.,真知从实践走来,1.在上面的坐标系中作出二次函数y=3(x+1)2的图像.它与二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图像有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,完成下表，并比较3x2，3(x-1)2和3(x+1)2的值，它们之间有什么关系？,函数y=a(x-h)2(a0)的图像和性质,在同一坐标系中作出二次函数y=3x2，y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图像,二次函数y=3(x+1)2与y=3x2的图像形状相同，可以看作是抛物线y

8、=3x2整体沿x轴向左平移了1 个单位.,一般地，二次函数y=a(x-h)2在h取不同值时，它的图象可以看做y=ax2的图象向左或向右做平移而得到的，它的对称轴是x=h，顶点坐标是(h，0).,类似地， 我们可以有下列结论：,如何画二次函数 的图象？,我们来探究二次函数 与 之间的关系.,从上表看出：对于每一个给定的x值，函数 的值都要比函数 的值大3，由此可见函数 的图象可由二次函数 的图象向上平移3个单位而得到(如下图).,因此，二次函数 的图象也是抛 物线，它的对称轴为直线x=1(与抛物线 的对称轴一样)，顶点坐标为(1，3)(它是由抛物 线 的顶点(1，0)向上平移3个单位得到)，它的

9、开口向上.,一般地，二次函数y=a(x-h)2+k的图象也是抛物线：,举 例,解,例2 已知二次函数 的图象.,（1）指出它的图象可以看做是函数 的图象经过怎样的变换而得到的；,（2）指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；,（2）开口向上，对称轴是直线x=-1，顶点坐标为(-1，-3).,（1）它的图象可以看做是函数 的图象向左平移1个单位，再向下平移3各单位而得到.,下面，我们来研究二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴和顶点坐标的计算公式.,怎样画二次函数y=-2x2+6x-1 的对称轴和顶点坐标？,只需把y=-2x2+6x-1配方成 y=a(x-h)2+k的形式就可以了.,配方：

10、,对称轴是直线 ，顶点坐标是 .,一般地，对于二次函数y=ax+bx+c，我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式，后两项合并同类项,化简:去掉中括号,即,得到二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象的对称轴和顶点坐标.,对称轴：,顶点坐标：,例3 已知：抛物线y=-3x2+12x-8.(1)求出它的对称轴和顶点坐标；(2)求出图象与坐标轴的交点坐标，并画出示意图.,解：,（1）因为y=-3x2+12x-8,=-3（x2-4x）-8,=-3（x2-4x+4）-8+12,=-3（x-2）2+4,所以，抛物线y=-3x2+12x-8的对称轴为x=2，顶点坐标为（2，4）.,（2）在y=-3x2+12x-8中，令y=0，得,所以，抛物线与x轴的交点有两个，它们的坐标分别为,（2）在y=-3x2+12x-8中，令x=0，得,y=-8.,所以，抛物线与y轴的交点坐标为（0，-8）.,它的示意图如图19-13所示.,图19-13,解：,由于二次函数的图象经过(2，8)和(4，10)两点，得,解这个方程组，得,b=4,c=2.,因此，所求的二次函数的表达式为,1.把抛物线y=-x2向左平移1