高中数学 第1章 统计 8 最小二乘估计教学案 北师大版必修

1、8 最小二乘估计 核心必知1回归直线如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作回归直线2最小二乘法求线性回归方程ybxa时，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小的方法叫作最小二乘法其中a，b的值由以下公式给出：a，b是线性回归方程的系数问题思考1任给一组数据，我们都可以由最小二乘法得出线性回归方程吗？提示：用最小二乘法求回归直线的方程的前提是先判断所给数据具有线性相关关系(可利用散点图判断)否则求出的线性回归方程是无意义的2线性回归方程是否经过一定点？提示：线性回归方程恒过定点(，) 讲一讲1.下表是某旅游区游客数量与平均气温

2、的对比表：平均气温()1410131826数量(百个)202434385064若已知游客数量与平均气温是线性相关的，求线性回归方程尝试解答，xxx1161001693246761 286，x1y1x2y2x6y620963401338185026643 474.b1.68，ab18.73，即所求的线性回归方程为y1.68x18.73.求线性回归方程的步骤(1)画出散点图，判断其具有相关关系；(2)计算，xxxx，xiyix1y1x2y2xnyn.(3)代入公式b，ab；(4)写出线性回归方程ybxa.练一练1某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y23

3、56已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求线性回归方程解：9，4，ab40.792.3.则所求的线性回归方程为y0.7x2.3.讲一讲2.某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求线性回归方程；(3)预测当广告费支出为7百万元时的销售额尝试解答(1)(2)从散点图可以发现，y与x具有线性相关关系，利用计算器求得：5，50，x145，xiyi1 380，设回归方程为ybxa，则b6.5，ab506.5517.5，故所求线性回归方程为y6.5x17.5.(3)当x7时，y6.5717.563.所以

4、，当广告费支出为7百万元时，销售额约为6 300万元用线性回归方程估计总体的一般步骤：(1)作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；(2)如果散点在一条直线附近，用公式求出a、b并写出线性回归方程；(3)根据线性回归方程对总体进行估计练一练2假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(单位：万元)有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y对x呈线性相关关系，试求：(1)回归方程ybxa的系数a，b；(2)使用年限为10年时，试估计维修费用是多少解：(1)列表如下：I12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.

5、422.032.542.0x491625364，5，x90，xiyi112.3b1.23，ab51.2340.08.(2)回归方程是y1.23x0.08，当x10时，y1.23100.0812.38(万元)，即估计使用10年时维修费用是12.38万元.【解题高手】【易错题】有人统计了同一个省的6个城市某一年的人均国民生产总值(即人均GDP)和这一年各城市患白血病的儿童数量，如下表：人均GDP(万元)1086431患白血病的儿童数351312207175132180(1)画出散点图，并判定两个变量是否具有线性相关关系；(2)通过计算可得两个变量的线性回归方程为y23.25x102.25，假如一个

6、城市的人均GDP为12万元，那么可以断言，这个城市患白血病的儿童一定超过380人，请问这个断言是否正确？错解(1)根据表中数据画散点图，如图所示，从图可以看出，虽然后5个点大致分布在一条直线的附近，但第一个点离这条直线太远，所以这两个变量不具有线性相关关系(2)将x12代入y23.25x102.25，得y23.2512102.25381.25380，所以上述断言是正确的错因在第(1)问中，是否具有线性相关关系，要看大部分点、主流点是否分布在一条直线附近，个别点是不影响“大局”的，所以可断定这两个变量具有线性相关关系在第(2)问中，381.25只是一个估计值，由它不能断言这个城市患白血病的儿童一

7、定超过380人如果这个城市的污染很严重，有可能人数远远超过380，若这个城市的环境保护的很好，则人数就有可能远远低于380.正解(1)根据表中数据画散点图，如错解图所示，从图可以看出，在6个点中，虽然第一个点离这条直线较远，但其余5个点大致分布在这条直线的附近，所以这两个变量具有线性相关关系(2)将x12代入y23.25x102.25，得y23.2512102.25381.25380，即便如此，但因381.25只是一个估计值，会受其他情况的影响，所以不能断言这个城市患白血病的儿童一定超过380人1已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程ybxa必过点()A(2,2)

8、B(1.5,0) C(1,2) D(1.5,4)解析：选D 1.5，4.2工人工资y(元)随劳动生产率x(千元)变化的回归直线方程为y80x50，则下列判断正确的是()A劳动生产率为1 000元时，工资为130元B劳动生产率提高1 000元时，工资约提高80元C劳动生产率提高1 000元时，工资约提高130元D当月工资210元时，劳动生产率为2 000元解析：选B 回归直线的斜率为80，所以x每增加1个单位，y约增加80，即劳动生产率提高1 000元时，工资提高约80元3(福建高考改编)已知x与y之间的几组数据如下表：x123456 y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为ybxa

9、，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为ybxa，则以下结论正确的是()Abb，aa Bbb，aaCba Dbb，aa解析：选C 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y2x2，b2，a2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b，ab，所以ba.4某商店统计了最近6个月某商品的进价x与售价y(单位：元)的对应数据如下：x3528912y46391214则_，_，_，_，回归方程为_解析：根据公式代入即可求得，也可以利用计算器求得6.5，8，327，396，回归方程为y1.14x0.59.答案：6.58327396y1.14x0.595某单位

10、为了了解用电量y度与气温x之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温()1813101用电量(度)24343864由表中数据得线性回归方程ybxa中b2，预测当气温为4 时，用电量的度数约为_解析：10，40，则ab 4021060，则y2x60，则当x4时，y2(4)6068.答案：686下表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据：x3456y2.5344.5(1)请画出上表中数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybxa；(3)已知该厂技改前100吨甲产

11、品的生产能耗为90吨标准煤试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤(参考数值：32.5435464.566.5)解：(1)散点图如图所示(2)由对照数据，计算得：x86，4.5，3.5.又已知xiyi66.5，b0.7，ab3.50.74.50.35.所求的线性回归方程为y0.7x0.35.(3)90(0.71000.35)19.65(吨标准煤)，故预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤一、选择题1设有一个回归方程y21.5x，当x增加1个单位时()Ay平均增加1.5个单位 By平均减少1.5个单位Cy平均增加2个单位

12、Dy平均减少2个单位解析：选B y21.5(x1)21.5x1.5y1.5，即x增加1个单位，y平均减少1.5个单位2对有线性相关关系的两个变量建立的线性回归方程yabx中，回归系数b()A可以小于0 B只能大于0C只能等于0 D只能小于0解析：选A b，b的取值是任意的3由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)得到线性回归方程ybxa，那么下面说法不正确的是()A直线ybxa必经过点(，)B直线ybxa至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的一个点C直线ybxa的斜率为D直线ybxa与各点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的接近程度yi(b

13、xia)2是该坐标平面上所有直线与这些点的最接近的直线解析：选B 直线ybxa一定过点(，)，但不一定要过样本点4(湖南高考)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的回归方程为0.85x85.71，则下列结论中不正确的是()Ay与x具有正的线性相关关系B回归直线过样本点的中心(，)C若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 当x170时，0.8517085.7158.79，体重的估计值为58.79

14、 kg，故D不正确5(山东高考)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程ybxa中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()A63.6万元 B65.5万元C67.7万元 D72.0万元解析：选B 容易计算得3.5，42，故ab429.43.59.1，所以当广告费用为6万元时销售额为9.469.165.5(万元)二、填空题6(辽宁高考改编)调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：y0

15、.254x0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加_万元解析：由回归直线方程的意义知，x每增加1万元，y平均增加0.254万元答案：0.2547对一质点的运动过程观测了4次，得到如表所示的数据，则刻画y与x的关系的线性回归方程为_.x1234y1356解析：2.5，3.75，xiyi46，x30，b1.7，ab0.5，所以所求的线性回归方程为：y1.7x0.5.答案：y1.7x0.58(广东高考)为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：时间x12345命中率

16、y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为_；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为_解析：小李这5天的平均投篮命中率为(0.40.50.60.60.4)50.5.又3，0.5，由表中数据，得b0.01，ab0.47，故回归直线方程为y0.01x0.47.令x6，则有y0.0160.470.53.答案：0.50.53三、解答题9在7块并排、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量(单位：千克)影响的试验，得到如下一组数据：施化肥量15202530354045水稻产量330345365405445450455(1)作出这些数据的散点图；(2)由(1)分析两变量关系得出什么结论？(3)求出回归直线方程解：(1)如图所示(2)由(1)可看出，各点散布在从左下角到右上角的区域内，为正相关，也可以说在适量限制范围内水稻产量随施肥量的增大而增大，但不是直线递增(3)用科学计算器可求得30，399.3，x7 000，xiyi87 175.于是b4.75.ab399.34.7530257.因此所求回归直线方程为y4.75x257.10(福建高考改编)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程ybx