【精品课件】2.2.2圆的一般方程

1、圆的一般方程,(x-a)2+(y-b)2=r2,特征：,直接看出圆心与半径,x2 y 2DxEyF0,由于a,b,r均为常数,结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：,结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：,x2 y 2DxEyF0,问：是不是任何一个形如 x2 y 2DxEyF0 方程表示 的曲线都是圆呢？,请举出例子,例如 方程 表示图形 方程 表示图形,以(1, -2)为圆心,2为半径的圆.,不表示任何图形.,探究:方程 在什么条件下表示圆?,配方可得：,（3）当D2+E2-4F0时，方程无实数解，所以 不表示任何图形。,把方程：x2 y 2DxEyF0,（1）当D2+E2-4F0时，表示

2、以（ ） 为圆心，以( ) 为半径的圆,（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2 y=-E/2，表示一个点（ ）,所以形如x2 y 2DxEyF0 （D2+E24F0）可表示圆的方程,圆的方程,一般方程:,标准方程:,圆心:,半径:,圆心:,半径:,圆的一般方程与标准方程的关系：,（1）a=-D/2，b=-E/2，r=,没有xy这样的二次项,（2）标准方程易于看出圆心与半径,一般方程突出形式上的特点：,x2与y2系数相同并且不等于0；,1、A C 0,2、B=0,3、 D2E24AF0,二元二次方程 表示圆的一般方程,练习1:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半

3、径.,半径:,圆心:,半径:,圆心:,（1）,（2）,半径:,圆心:,当 时,当 时,半径:,圆心:,表示点:,（3）,（4）,练习2.将下列圆的标准方程化成一般方程:,练习3.将下列圆的一般方程化成标准方程,并找出圆心 坐标及半径,例1:求过点 的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心.,解:设圆的方程为:,因为 都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即,所以,圆的方程为:,求圆方程的步骤:,1.根据题意,选择标准方程或一般方程.,若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程;,若已知圆经过两点或三点,通常设为一般方程;,2.根据条件列出有关 a, b, r, 或 D, E, F的方程组.,3.

4、解出 a, b, r 或 D, E, F 代入标准方程或一般方程.,(待定系数法),思考：平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1), C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一圆上?,分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有,A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定的圆的方程为同一方程,求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐标满足圆的方程.,平面上不共线的三点可以确定一个圆,求下列各圆的方程 (1)圆心在C(8, -3),且过点A(5,1) (2)过A(-1, 5), B(5, 5), C(6,-2)三点.,(一般方程),(标准方程),代入A点坐标,例2：已知

5、一曲线是与两个定点O(0，0)， A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， 求此曲线的方程，并画出曲线。,直接法,例3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆 上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.,解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 .,由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以,即:,因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的方程,即:,点M的轨迹方程,求轨迹方程的方法:,若生成轨迹的动点 随另一动点 的变动而有规律地变动,可把Q点的坐标 分别用动点P的坐标x, y 表示出来,代入到Q点满足的已有的等式,得到动点P的轨迹方程,关键:列出P,Q两点的关系式.,求动点轨迹的步骤:,1.建立坐标系,设动点坐标M(x, y);,2.列出动点M满足的等式并化简;,3.说明轨迹的形状.,课堂小结,若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.,(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为,(用配方法求解),(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?,(2)圆的一般方程与圆的标准方程的联系,一般方程,标准方程(圆心,半径),(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:,若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.,本节课用的数学方法