高中数学 第二章 平面向量 2 第1课时 向量的加法教学案 北师大版必修

1、第1课时向量的加法核心必知1向量的加法法则三角形法则平行四边形法则作法已知向量a，b，在平面内任取一点A，作a，b，再作向量，则向量 叫作向量a与b的和，记作ab，即ab.已知向量a，b，在平面内任取一点A，作a，b，再作平行的b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形向量叫作向量a与b的和，表示为：ab.图示2向量求和的多边形法则向量求和的三角形法则，可推广至多个向量求和的多边形法则，n个向量经过平移，顺次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合，组成一向量折线，这n个向量的和等于折线起点到终点的向量，即3向量加法的运算律(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc问题思考1三角

2、形法则与平行四边形法则对两向量的起点有什么要求？提示：三角形法则强调“首尾相接”，平行四边形法则强调“起点相同”2当首尾顺次相接的向量构成封闭的向量链时，各向量的和等于什么向量？提示：零向量讲一讲1(1)如图已知ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点，求作：(2)如图，已知向量a，b，c，求作abc.尝试解答(1)延长AC，在延长线上截取CFAO，则向量即为所求在AB上取点G，使AGAB，则向量即为所求(2)在平面内任取一点O，作向量a，再作c，则ac，然后再作b，连接DC，于是向量abc即为所求(如图所示)1用三角形法则作两向量的和时，要注意两向量“首尾相接”；用平行四边形法

3、则作两向量的和时，要注意保持两向量有公共起点2求作共线向量或多个向量的和向量时，应首选三角形法则，注意和向量的方向是从起始向量的起点指向末尾向量的终点练一练1如图，已知向量a，b，c，d，求作abcd.解：(1)在平面内任取一点O，作a，以A为起点，作向量b，则ab；(2)以B为起点作向量c，再作d，连接OD.则向量abcd即为所求(如图)讲一讲2化简下列各式：.化简含有向量的关系式一般有两种方法：利用几何方法通过作图实现化简；利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量练一练2. 下列向量的运算结果一定

4、是零向量的是()讲一讲3一条小船要渡过一条两岸平行的小河，河的宽度d100 m，船的航行速度为v14 m/s，水流的速度为v22 m/s，试问当船头与水流方向的夹角为多大时，小船行驶到对岸所用的时间最少？此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角的正切值是多大？尝试解答 设小船行驶到对岸所用的时间为t(s)，如图，设表示水流的速度，表示船的航行速度，以AD、AB为邻边作ABCD，则就是船实际航行的速度设BAC，BAD，则相对于垂直对岸的速度为vsin ，小船行驶到对岸所用的时间为t，(0，)故当sin 1，即90时，小船行驶到对岸所用的时间最少，最少值为25 s.在RtABC中，|2，|4，tan

5、 2.故当船头与水流方向的夹角为90时，小船行驶到对岸所用的时间最少为25 s，此时小船的实际航行速度与水流方向的夹角的正切值为2.用向量解决实际应用问题，关键是把实际问题转化为向量模型，本题中小船过河所用的时间取决于合速度沿垂直于河岸的分速度，也就是船的航行速度沿垂直于沙岸的分速度，其解答思路可归结为：练一练3如图所示，两条细绳拉一个物体，两条细绳分别用力F1，F2，且|F1|3 N和|F2|4 N，夹角为90 .(1)作出这两条细绳的合力；(2)求合力的大小解：(1)作F1，F2以OA、OB为邻边作OACB连接OC，则F1F2即为所求(2)在RtOAC中，OA3，AC|F2|4，|F1F2

6、|5.故合力的大小为5 N.已知向量a，b的长度分别为8，2，试求|ab|的取值范围巧思向量a，b可能共线，也可能不共线，于是可考虑利用向量加法的三角形法则，数形结合求解妙解(1)若a，b共线，即ab，当a与b同向时，则|ab|a|b|8210；当a与b反向时，则|ab|a|b|826.(如图所示)(2)若a，b不共线，则向量a，b，ab对应的有向线段围成一个三角形，如图：由三角形的性质知，|a|b|ab|a|b|，即82|a|b|82，6|a|b|10.故|ab|的取值范围为6，101若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是()4设a表示向东走4 km，b表示向南走3 km，则|a

7、b|_ km.5.答案：56如图，D、E、F分别为ABC三边的中点，试画出+.一、选择题1如图，在ABCD中，下列结论错误的是().4下列命题如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么ab的方向必与a、b之一的方向相同；在ABC中，必有0；若0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点；若a、b均为非零向量，则|ab|与|a|b|一定相等其中真命题的个数为()A0 B1C2 D3解析：选B对于，若a与b方向相反，且|a|b|，则ab0，零向量的方向是任意的，所以不正确；正确；对于，若0，则A、B、C可能共线，所以不正确；对于，当a，b不共线或反向时，|ab|a|b|，不正确二、填空题5若正方形ABCD

8、的边长为1，a，b，则|ab|_.解析：|ab|.答案：6如图，已知ABC是直角三角形，且A90，给出下列结论：其中结论正确的是_(填所有正确结论的序号)|，所以正确；显然，正确答案：7在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h，渡船要垂直渡过长江，则航向为_解析：如图，渡船速度为，水流速度为，船实际垂直过江的速度为，依题意，|12.5，|25，BDO为直角三角形，所以sinBOD.BOD30，航向为北偏西30.答案：北偏西308已知a、b、c是非零向量，则(ac)b，b(ac)，b(ca)，c(ab)，c(ba)中，与向量abc相等的个数为_个解析：根据向量加法的运算律，题中5个式子与abc均相等答案：5三、解答题9如图所示，O是四边形ABCD内任意一点，试根据图中给出的向量，确定a，b，c，d的方向(用箭头表示)，使ab，cd，并画出bc和ad.解：(1)，a，b，c，d的方向如图所示(2)根据平行四边形法则，以OB、OC为邻边作平行四边形OBEC，以OA、OD为邻边作平行四边形OAFD，连接OE、OF，则bc，ad，如图所示10在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30、60(如图)，当重物平衡时，求两根绳子拉力的大