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文档简介

1、25 随机变量函数的分布,一、随机变量的函数,二、离散型随机变量函数的分布,三、连续型随机变量函数的分布,一、随机变量的函数,随机变量的函数,如果存在一个函数g(x) 使得随机变量X Y满足 Yg(X) (289) 则称随机变量Y是随机变量X的函数,如何从自变量X的统计规律导出其函数Yg(X)的统计规律呢？,对任意区间(或区间的并)B 令Cx|g(x)B 则 YBg(X)BXC (290) 从而 PYBPg(X)BPXC (291) (291)说明 X的统计规律确实决定了Y的统计规律,例226 设X是一随机变量 且YX2 则对任意x0 有,二、离散型随机变量函数的分布,求离散型随机变量函数的分

2、布的一般方法,首先根据自变量X的可能取值确定因变量Y的所有可能取值 然后对Y的每一个可能取值yi(i1 2 )确定相应的Cixj|g(xj)yi 于是有,Yyi,XCi (294),g(X)yi,从而求得Y的概率分布,我们注意到Y的可能取值为0 1 根据(290) 有,解,PY1,PX1PX1,P(X1X1),PX 21,三、连续型随机变量函数的分布,已知X的分布函数FX(x)或密度函数fX(x) 为求Yg(X)的分布函数 正如(291)所示,求离散型随机变量函数的分布的一般方法,其中Cx t | g(t)x 而PXCx往往可由X的分布函数FX(x)来表达或用其密度函数fX(x)的积分来表达,

3、FY(x)PYx,Pg(X)x,PXCx (296),进而 Y的密度函数 可直接从FY(x)导出,例228 设X是一个连续型随机变量 其分布函数F(x)是严格单调递增的 则F(X)服从0 1上的均匀分布,当x1时 FY(x)PF(X)x1 当0 x1时 由于F(x)严格单调递增 故有,由于F(x)是严格单调递增函数 因而其反函数存在 记作F1(x) 设YF(X)的分布函数为FY(x) 则当x0时,证明,FY(x)PYx,PF(X)x0,F(F1(x)x,PXF1(x),FY(x)PF(X)x,即YF(X)服从0 1上的均匀分布,例229(2(1)分布) 设XN(0 1) 求YX 2的密度函数,记Y的分布函数为FY(x) 则,解,FY(x)PYxPX 2x,显然 当x0时,FY(x)PX 2x0,当x0时,从而YX 2的分布函数为,于是其密度函数为,例230(对数正态分布) 随机变量 X 称为服从参数为 2 的对数正态分布 如果YlnX服从正态分布N( 2) 试求对数正态分布的密度函数,由于Yln XN( 2) 等价地有XeY YN( 2) 于是 当x0时,解,FX(x)PXx,PeYx,PYln x,(ln x),当x0时 显然FX(x)0,继而可得X的密度函数为,例231(对数正态分布的矩)

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