高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理学案 新人教B版选修

1、1.3.1二项式定理1.会证明二项式定理.(难点)2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.(重点)基础初探教材整理二项式定理阅读教材P26P27例1以上部分，完成下列问题.二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(ab)nCanCan1bCan2b2CanrbrCbn(nN)称为二项式定理二项式系数各项系数C(r0,1,2，n)叫做展开式的二项式系数二项式通项Canrbr是展开式中的第r1项，可记做Tr1Canrbr(其中0rn，rN，nN)二项展开式CanCan1bCan2b2CanrbrCbn(nN)备注在二项式定理中，如果设a1，bx，则得到公式(1x)n1CxCx2CxrCxn(nN)

2、判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)(ab)n展开式中共有n项.()(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响.()(3)Canrbr是(ab)n展开式中的第r项.()(4)(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数相同.()【解析】(1)因为(ab)n展开式中共有n1项.(2)因为二项式的第r1项Canrbr和(ba)n的展开式的第k1项Cbnrar是不同的，其中的a，b是不能随便交换的.(3)因为Canrbr是(ab)n展开式中的第r1项.(4)因为(ab)n与(ab)n的二项式展开式的二项式系数都是C.【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并

3、与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型二项式定理的正用、逆用(1)用二项式定理展开5；(2)化简：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)rC(x1)nr(1)nC.【精彩点拨】(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开；(2)可先把x1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解.【自主解答】(1)5C(2x)5C(2x)4C532x5120x2.(2)原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)nr(1)rC(1)n(x1)(1)nxn.1.展开二项式可以按照二项式定理进行.展开时注意二项式

4、定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件.2.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.3.对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用.对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点，项数，各项幂指数的规律以及各项的系数.再练一题1.(1)求4的展开式；(2)化简：12C4C2nC.【解】(1)法一：4C(3)4C(3)3C(3)22C(3)3C481x2108x54.法二：4(81x4108x354x212x1)81x2108x54.(2)原式12C22C2nC(12)n3n.二项式系数与项的系数问题(1)求二项式6的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)求9的展开

5、式中x3的系数.【精彩点拨】利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的通项公式进行求解.【自主解答】(1)由已知得二项展开式的通项为Tr1C(2)6rr(1)rC26rx3 r，T612x.第6项的二项式系数为C6，第6项的系数为C(1)212.(2)Tr1Cx9rr(1)rCx92r，92r3，r3，即展开式中第四项含x3，其系数为(1)3C84.1.二项式系数都是组合数C(r0,1,2，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.2.第r1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(12x

6、)7的展开式中，第四项是T4C173(2x)3，其二项式系数是C35，而第四项的系数是C23280.再练一题2.(12x)n的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.【解】T6C(2x)5，T7C(2x)6，依题意有C25C26n8.(12x)n的展开式中，二项式系数最大的项为T5C(2x)41 120x4.设第r1项系数最大，则有5r6.r5或r6(r0,1,2，8).系数最大的项为T61 792x5，T71 792x6.探究共研型求展开式中的特定项探究1如何求4展开式中的常数项.【提示】利用二项展开式的通项Cx4rCx42r求解，令42r0，则r2，所

7、以4展开式中的常数项为C6.探究2(ab)(cd)展开式中的每一项是如何得到的？【提示】(ab)(cd)展开式中的各项都是由ab中的每一项分别乘以cd中的每一项而得到.探究3如何求(2x1)3展开式中含x的项？【提示】(2x1)3展开式中含x的项是由x中的x与分别与(2x1)3展开式中常数项C1及x2项C22x212x2分别相乘再把积相加得xCC(2x)2x12x13x.即(2x1)3展开式中含x的项为13x.已知在n的展开式中，第6项为常数项.(1)求n；(2)求含x2项的系数；(3)求展开式中所有的有理项.【精彩点拨】【自主解答】通项公式为：Tr1Cx(3)rxC(3)rx.(1)第6项为

8、常数项，r5时，有0，即n10.(2)令2，得r(106)2，所求的系数为C(3)2405.(3)由题意得，令k(kZ)，则102r3k，即r5k.rZ，k应为偶数，k2,0，2即r2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，61 236,295 245x2.1.求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，TrCanr1br1；(2)求含xr的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项.2.求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类

9、问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致.再练一题3.(1)在(1x3)(1x)10的展开式中，x5的系数是_.(2)若6展开式的常数项为60，则常数a的值为_. 【导学号：】【解析】(1)x5应是(1x)10中含x5项、含x2项分别与1，x3相乘的结果，其系数为CC(1)207.(2)6的展开式的通项是Tr1Cx6r()rx2rCx63r()r，令63r0，得r2，即当r2时，Tr1为常数项，即常数项是Ca，根据已知得Ca60，解得a4.【答案】(1

10、)207(2)4构建体系1.在(x)10的展开式中，含x6的项的系数是()A.27CB.27CC.9CD.9C【解析】含x6的项是T5Cx6()49Cx6.【答案】D2.在8的展开式中常数项是()A.28B.7C.7D.28【解析】Tr1C8rr(1)rC8rx8r，当8r0，即r6时，T7(1)6C27.【答案】C3.在6的展开式中，中间项是_.【解析】由n6知中间一项是第4项，因T4C(2x2)33C(1)323x3，所以T4160x3.【答案】160x34.在9的展开式中，第4项的二项式系数是_，第4项的系数是_. 【导学号：】【解析】Tr1C(x2)9rrrCx183r，当r3时，T43Cx9