高中数学必修系列：9.10球(第四课时)

1、球（四）教学目标（一）教学知识点与球有关的综合问题.（二）能力训练要求1.熟练掌握球的性质.2.提高学生解决综合问题的能力.（三）德育渗透目标培养学生善于从整体上抓住事物的主要矛盾，学会分析矛盾、解决矛盾的方法.教学重点学生分析解决综合问题能力的培养和提高.教学难点学生分析解决综合问题能力的培养和提高.教学方法师生共同讨论法通过本节具体例题的分析，不仅要使学生在知识上有所收获，更重要的是使学生从中体会解决综合问题所用的方法与技巧，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.教具准备投影片三张.第一张：本课时例1（记作9.9.4 A)第二张：本课时例2（记作9.9.4 B)第三张：本课时例3（记作9.

2、9.4 C)教学过程.复习回顾师前面学习了球的重要性质及体积、表面积公式，并学会了处理一些与球有关的相接切的简单问题.这节课，在此基础上，我们讨论与球有关的几个综合问题，大家要从中体会解题时所用的数学思想、方法与技巧.讲授新课师请看例1（打出投影片9.9.4 A，读题）例1（2003年高考理科12题）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为A.4B.3C.3D.6学生思考，教师查看，会发现大多数同学采用如下解法.解：设球心O，球半径R，球的内接正四面体为ABCD（如下图），设点A在底面上的射影为H，取BC的中点E，连结AE、DE，则O在AH上，H在DE上，且AE=DE

3、=，OA=OD=R，DH=DE=.在RtOHD中有OH2=OD2-DH2=R2-.又OH2=（AH-R）2=（-R）2,R=.S球=4R2=4()2=3.故选B.（评析完以上解法，教师还应启发学生想出一些较为简便的方法）（打出9.9.4 B,读题）例2在棱长为1的正方体内，有两个球相外切并且分别与正方体的面相切.（1）求这两个球的半径之和；（2）球的半径是多少时，两球体积之和最小.师显然，这是一道与球有关的接切问题，对于这类问题的解决，常常要通过什么途径去实现呢？生作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决.师对于这个题目，我们该怎样作截面呢？生作过球心和对棱的截面.师为什么要这样做呢？生这样

4、截能体现出两个球与长方体的主要元素间的关系.师请大家画出这个截面，完成解题过程.（学生动手做，教师巡视指导）生如图，（1）ABCD为过球心和对棱AB、CD的截面，则AC=.设两个球半径分别为R、r,则AC=AO1+O1O2+O2C=r+(r+R)+R=，R+r=.(2)设两个球体积之和为V，则V=(R3+r3)=(R+r)(R2-Rr+r2)=(R+r)(R+r)2-3Rr=3R2-)R+()2.当R=r=时，V有最小值.（打出投影片9.9.4 C,读题）例3已知棱长为3的正四面体ABCD，E、F是棱AB、AC上的点，且AF=2FC，BE=2AE，求四面体AEFD的内切球半径.师这个图形的背景

5、较复杂，我们应该将四面体AEFD单独移出，欲求内切球半径，需要先确定它的球心位置，如何理解呢？生内切球的球心O到四面体各面的距离相等且都等于内切球的半径.师显然，寻找球心具体位置不容易，看来得想其他办法了.同学们可以互相讨论 研究.（学生分组讨论，教师查看指导）师经过大家充分讨论后，能叙述你们的解题思路吗？生由于该四面体可以分割成以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系，求得半径.师集体智慧的力量确实很大，这位同学的代表思路简洁明快，而且还体现了一种重要的数学思想，即分割的思想方法,它在以后的学习中常常用到.（师生共同分析，写出解题过程）解：设四面体AEFD内切球半径为r,球心为O

6、，连结OA、OE、OF、OD，则VAEFD=VOAEF+VOAFD+VOADE+VOEFD.四面体AEFD的各个面的面积分别为SAEF=SABC=，SAFD=SABC=，SAED=SABC=.DEF各边边长分别为EF=，DF=DE=.SEFD=.VAEFD=VABCD=,VAEFD=r(SAEF+SAFD+SAED+SDEF),=r(+).r=.四面体AEFD的内切球半径为.课堂练习一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？解：如图，设球未取出时高PC=h,球取出后水面高PH=x.AC=r,PC=3r,以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥=AC2PC=(r)23r=3r3.又V球=r3,球取出后水面下降到EF，水的体积为V水=EH2PH=(PHtan30)2PH=x3.V水=V圆锥-V球,即x3=3r3-r3,x=r.故球取出后水面的高为r.课时小结本节课我们通过对三个综合问题的分析，真正体会到了综合问题的特点，同学们要领悟其中所用的数学思想与方法，进一步提高自己思考问题、解决问题的能力.课后作业点P是正四面体ABCD内任一点，求证：点P到四面