高中数学 （2.1 对数与对数运算 第3课时）示范教案 新人教A版必修

1、第3课时 指数与指数幂的运算(3)导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数.并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是实数.对无理数指数幂,也是这样扩充而来.既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题(指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂.思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几

2、种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本堂课的课题.推进新课新知探究提出问题我们知道=1.414 213 56,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,是的什么近似值？而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,是的什么近似值？多媒体显示以下图表:同学们从

3、上面的两个表中,能发现什么样的规律?的过剩近似值55的近似值1.511.1.429.1.4159.1.41439.1.414229.1.9.1.9.1.9.1.9.5的近似值的不足近似值9.518 269 6941.49.672 669 9731.419.735 171 0391.4149.738 305 1741.414 29.738 461 9071.414 2139.738 508 9281.414 2139.738 516 7651.414 213 59.738 517 7051.414 213 569.738 517 7361.414 213 562你能给上述思想起个名字吗?一个正数

4、的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如5,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动：教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题从近似值的分类来考虑,一方面从大于的方向,另一方面从小于的方向.问题对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联.问题上述方法实际上是无限接近,最后是逼近.问题对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释.问题在的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般.讨论结果：1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,这些数都小于,称的不

5、足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,这些数都大于,称的过剩近似值.第一个表:从大于的方向逼近时,5就从51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,即大于52的方向逼近5.第二个表:从小于2的方向逼近时,5就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,即小于5的方向逼近5.从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面5从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,即小于5的方向接近5,而另一方面5从51.5,51.42,51.415,51.4143,

6、51.41422,即大于5的方向接近5,可以说从两个方向无限地接近5,即逼近5,所以5是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.4143,51.41422,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示5的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是5一定是一个实数,即51.451.4151.41451.414 251.414 21551.4142251.414351.41551.420,是无理数）是一个确定的实数.也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一

7、个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数.我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂.提出问题（1）为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?（2）无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?（3）你能给出实数指数幂的运算法则吗?活动：教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳.对问题（1）回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明.对问题（2）结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂a（a0

8、,是无理数）是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通.对问题（3）有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了.讨论结果：（1）底数大于零的必要性,若a=-1,那么a是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂a是一个确定的实数,就不会再造成混乱.（2）因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂.类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:aras=ar+s(a0,r,s都是无理数).(ar

9、)s=ars(a0,r,s都是无理数).(ab)r=arbr(a0,b0,r是无理数).（3）指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂.实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:aras=ar+s(a0,r,sR).(ar)s=ars(a0,r,sR).(ab)r=arbr(a0,b0,rR).应用示例思路1例1利用函数计算器计算.（精确到0.001）（1）0.32.1;（2）3.14-3;（3）3.1;（4）.活动：教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于（1）,可先按底数0.3,再按键,再按幂指数2.1,最

10、后按,即可求得它的值；对于（2）,先按底数3.14,再按键,再按负号键,再按3,最后按即可;对于(3),先按底数3.1,再按键,再按34,最后按即可;对于（4）,这种无理指数幂,可先按底数3,其次按键,再按键,再按3,最后按键.有时也可按或键,使用键上面的功能去运算.学生可以相互交流,挖掘计算器的用途.答案：（1）0.32.10.080;（2）3.14-30.032;（3）3.12.336;（4）6.705.点评：熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会；用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第（n+1）位能否进位即可.例2求值或化简.(

11、1)(a0,b0);(2)()(a0,b0);(3).活动：学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成()2+()2,22+()2,22+()2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律.解：(1)=(ab)=a

12、-2bab=ab=.点评：根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示.(2)()=aabb=a0b0=.点评：化简这类式子一般有两种办法,一是首先用负指数幂的定义把负指数化成正指数,另一个方法是采用分式的基本性质把负指数化成正指数.(3) =-+2-2+=0.点评：考虑根号里面的数是一个完全平方数,千万注意方根的性质的运用.例3已知x=(5-5),nN*,求(x+)n的值.活动：学生思考,观察题目的特点,从整体上看,应先化简,然后再求值,要有预见性,5与5具有对称性,它们的积是常数1,为我们解题提供了思路,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示.x2=(5

13、-5)2=(5-250+5)=(5+2+5-4)=(5+5)2-1.这时应看到1+x2=1+(-5)2=(5+5)2,这样先算出1+x2,再算出,带入即可.解：将x=(5-5)代入1+x2，得1+x2=1+(5-5)2=(5+5)n,所以(x+)n=(5-5)+n=(5-5)+(5+5)n=(5)n=5.点评：运用整体思想和完全平方公式是解决本题的关键,要深刻理解这种做法.思路2例1计算:(1);(2)125+()-2+343-();(3)(-2xy)(3xy)；(4)(x-y)(x-y).活动：学生观察、思考,根式化成分数指数,利用幂的运算性质解题,另外要注意整体的意识,教师有针对性的提示引

14、导,对(1)根式的运算常常化成幂的运算进行,对(2)充分利用指数幂的运算法则来进行,对(3)则要根据单项式乘法和幂的运算法则进行,对(4)要利用平方差公式先因式分解,并对学生作及时的评价.解：(1)=()+()+(0.062 5)+1-=()2+()+(0.5)+=+0.5+=5;(2)125+()-2+343-()=(53)+(2-1)-2+(73)-(3-3)=5+2-2(-1)+7-3=25+4+7-3=33;(3)(-2xy)(3xy)=(-23)(xxyy)=-6xy=;(4)(x-y)(x-y)=(x)2-(y)2)(x-y)=(x+y)(x-y)(x-y)=x+y.点评：在指数运

15、算中,一定要注意运算顺序和灵活运用乘法公式.例2化简下列各式:(1);(2)(a3+a-3)(a3-a-3)(a4+a-4+1)(a-a-1).活动：学生观察式子的特点,特别是指数的特点,教师引导学生考虑题目的思路,这两题要注意分解因式,特别是立方和和立方差公式的应用,对有困难的学生及时提示:对(1)考查x2与x的关系可知x2=(x)3,立方关系就出来了,公式便可运用,对(2)先利用平方差,再利用幂的乘方转化为立方差,再分解因式,组织学生讨论交流.解：(1)原式=;(2)原式=(a3)2-(a-3)2(a4+a-4+1)(a-a-1)=a+a-1.点评：注意立方和立方差公式在分数指数幂当中的应

16、用,因为二项和、差公式,平方差公式一般在使用中一目了然,而对立方和立方差公式却一般不易观察到,a=(a)3还容易看出,对其中夹杂的数字m可以化为maa=m,需认真对待,要在做题中不断地提高灵活运用这些公式的能力.知能训练课本P59习题2.1A组 3.利用投影仪投射下列补充练习:1.化简:(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)(1+2)的结果是( )A.(1-2)-1 B.(1-2)-1 C.1-2 D.(1-2)分析:根据本题的特点,注意到它的整体性,特别是指数的规律性,我们可以进行适当的变形.因为(1+2)(1-2)=1-2,所以原式的分子分母同乘以(1-2),依次类推,所以=(1-2)-

17、1.答案：A2.计算(2)0.5+0.1-2+(2)-30+9-0.5+490.52-4.解：原式=()+100+()-3+49=+100+-3+=100.3.计算(a1).解：原式=(a1).本题可以继续向下做,去掉绝对值,作为思考留作课下练习.4.设a0,x=(a-a),则(x+)n的值为_.分析:从整体上看,应先化简,然后再求值,这时应看到解：1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.这样先算出1+x2,再算出,将x=(a-a)代入1+x2,得1+x2=1+(a-a)2=(a+a)2.所以(x+)n=(a-a)+(a+a)2n=(a-a)+(a+a)n=a.答案：a拓展提升参照我们说明无

18、理数指数幂的意义的过程,请你说明无理数指数幂的意义.活动：教师引导学生回顾无理数指数幂5的意义的过程,利用计算器计算出3的近似值,取它的过剩近似值和不足近似值,根据这些近似值计算的过剩近似值和不足近似值,利用逼近思想,“逼出”的意义,学生合作交流,在投影仪上展示自己的探究结果.解：3=1.,取它的过剩近似值和不足近似值如下表.的过剩近似值的过剩近似值的不足近似值的不足近似值1.83.1.73.1.743.1.733.1.7333.1.7313.1.73213.1.73193.1.732063.1.732043.1.3.1.3.1.3.1.3.1.3.1.3.我们把用2作底数,的不足近似值作指数的各个幂排成从小到大的一列数21.7,21.72,21.731,21.7319,同样把用2作底数, 的过剩近似值作指数的各个幂排成从大到小的一列数:21.8,21.74,21.733,21.7321,不难看出的过剩近似值和不足近似值相同的位数越多,即3的近似值精确度越高,以其过剩近似值和不足近似值为指数的幂2会越来越趋近于同一个数,我们把这个数记为.即21.721.7321.73121.731921.732121.73321.740,是无理数）是一个