高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法课堂导学案新人教A版选修

1、2.1 比较法课堂导学三点剖析一,作差法证明不等式【例1】 (1)已知正数a,b,c成等比数列，求证:a2-b2+c2(a-b+c)2;(2)设a,bR,求证:a2+b22(a-b-1).思路分析:证明不等式，通常可以看作是比较两式大小的问题.(1)证明:ac=b2,b0,b=.a2-b2+c2-(a-b+c)2=a2-b2+c2-a2-b2-c2+2ab-2ac+2bc=2ab-2b2-2ac+2bc=2ab-4b2+2bc=2b(a-2b+c)=2b()20.a2-b2+c2(a-b+c)2.(2)证明:a2+b2-2(a-b-1)=a2+b2-2a+2b+2=a2-2a+1+b2+2b+

2、1=(a-1)2+(b+1)20,a2+b22(a-b-1).温馨提示 作差法证明不等式的步骤:作差变形判定符号结论.这里变形的目的是能判断出差式的符号.为此有分解因式和配方两种变形方式,但是,不是每个问题都可用此两种变形方式.能分解因式确定符号的,配方就不能;不能分解因式的,往往能配方确定符号.各个击破类题演练1已知a,b是正数且ab，试探讨能否确定a3+b3与a2b+ab2的大小？解析:a3+b3-(a2b+ab2)=(a3-a2b)-(ab2-b3)=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a+b)(a-b)2,a,b是正数，a+b0.又ab,(a-b)20.(a+b

3、)(a-b)20.a3+b3a2b+ab2.变式提升1a,b,c满足怎样的条件能使a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2?解析:a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2=ab(a-b)-c(a2-b2)+c2(a-b)=ab(a-b)-(ac+bc)(a-b)+c2(a-b)=(a-b)(ab-ac-bc+c2)=(a-b)a(b-c)-c(b-c)=(a-b)(b-c)(a-c)0,要使a2b+b2c+c2aab2+bc2+ca2,则abc或bca或cabc0,求证:a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.思路分析:证明这种含有幂指数乘积形式的不等式，往往通过作商与1比较大小

4、较为容易.证明:abc0,ab+cbc+aca+b0.作商=a2a-b-cb2b-c-ac2c-a-b=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=(.(*)abc0,a-b0,a-c0,b-c0,且.(*)式大于1.从而a2ab2bc2cab+cbc+aca+b.温馨提示 一般地，应用求商比较时，要注意两式均为正，若两式均为负时，可用同样的方法比较其绝对值的大小,即1且B0Ab0时,1,a-b0,()a-b1;当0ab时,01,a-b1;当a=b时,=1,a-b=0,()a-b=1.总之,aabbabba.变式提升2若ab0,求证: .证明:(作商法)三、不等式在实际问题中的应用【例3

5、】 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.如果mn，问甲、乙两人谁先到达指定地点?思路分析:设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2.要回答题中的问题，只要比较t1、t2的大小就可以了，谁用时较少谁就先到达指定地点.解:设从出发地点至指定地点的路程是s，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2,依题意得=s,=t2,t1=,t2=,t1-t2=s、m、n都是正数，且mn,(m-n)20,(m+n)mn0,即t1-t20.t1t2.从而知甲比乙

6、先到达指定地点.温馨提示 实际应用题的特点往往是没有具体数据,给出的一点点数据也是字母.这就需要在求解问题时,设出必要的量, 然后用代数式把实际问题表达成纯数学问题.这一过程叫数学建模.数学建模是解答实际应用题的关键.解实际应用问题的困难在于能否顺利地建模.建模的第一步设量是建模的关键.类题演练3 有甲、乙两个粮食经销商，各自在同一处购了两次粮食(每次粮价不同).甲每次购粮m kg，乙每次购m元粮食.试问甲、乙两个粮食经销商的购粮平均价格哪一个更低？解析:设两次粮价分别为每千克a元和b元，甲两次购粮共花去(ma+mb)元，购得2m kg的粮食，其平均粮价为.乙两次购粮共花去2m元，得到的粮食为()千克，故平均每千克粮价为.,乙的平均价格更低一些.变式提升3本节情景导入问题.解析:设信鸽在无风中飞行的速度是V,风速是v(vV),那么信鸽顶风的速度是V-v,顺风的速度是V+v.设两村间距离为s,那么信鸽在无风时飞行两村来回的时间为,有风时,飞行两村来回的时间为+