时间序列分析-付

1、时间序列分析,付连艳 辽宁大学经济学院 Email：,教材:应用计量经济学：时间序列分析 第三版 作者：沃尔特恩德斯 出版社：机械工业出版社,第一章 差分方程 第二章 平稳时间序列模型 第三章 波动性建模 第四章 包含趋势的模型 第五章 多方程时间序列模型 第六章 协整与误差修正模型 第七章 非线性时间序列模型,第一章,差分方程,一、时间序列模型,1、时间序列及其特点 时间序列按时间顺序的系列观测值 特点：前后相关，过去的数值影响和 决定着现在和未来。 任务：预测、解释和假设检验 时序分解：趋势性、季节性和无规则性,一、时间序列模型,2、时间序列模型差分方程 A difference equa

2、tion expresses the value of a variable as a function of its own lagged values, time, and other variables. 时间序列研究的是含随即成分的差分方程的估计 3、几个例子 (1) 市场有效性假说random walk model yt+1=yt+t+1 要检验市场有效性假说，可根据股票价格观测序列，构建模型： yt+1=0+1yt+t+1 并检验假设：H0: 0=1=0.,一、时间序列模型,(2) Samuelson 乘数加速数模型-诱导方程和结构方程 模型的结构方程： yt=ct+it （1-1

3、） ct= yt-1+ct （1-2） it=(ct-ct-1)+it （1-3） 模型的诱导方程： ct= yt-1+ct it= (yt-1-yt-2)+(ct- ct-1)+it yt= (1+)yt-1-yt-2+(1+)ct +it-ct-1,一、时间序列模型,(3) 误差修正：期价与现价关系the unbiased forward rate hypothesis 假说：由于投机，期货交易的期望利润为0。 模型： st+1=ft+t+1 假说检验方法：建立模型： st+1= 0+1ft+t+1 并检验假设： H0: 0=0, 1=1. 误差修正模型（ECM）： st+2= st+1-

4、(st+1-ft)+st+2,二、差分方程及求解方法,1、差分 yt+h=yt+h-yt 一阶差分：yt=yt-yt-1 二阶差分：2yt=(yt)=yt-2yt-1+yt-2 n阶差分： nyt=(n-1yt) 差分算子： difference operator ,二、差分方程及求解方法,2、线性差分方程 yt=a0+a1yt-1+a2yt-2+anyt-n+xt 或：yt= a0+(a1-1)yt-1+a2yt-2+anyt-n+xt 其中：nthe order of the difference equation; xtforcing process 如： xt= t+ t-1+2 t-

5、2 +,二、差分方程及求解方法,3、差分方程的解 A solution to a difference equation expresses the value of yt as a function of the elements of the xt sequence and t (and possibly some given values of the yt sequence called initial conditions) . 例如：差分方程： yt=yt-1+2 或： yt=2 其解为： yt=2t+c 验证：2t+c=2(t-1)+c+2,三、差分方程的递归解法,1、递归解法的

6、原理 If the value of y in some specific period is known, a direct method of solution is to iterate forward from that period to obtain the subsequent time path of the entire y sequence. Refer to this known value of y as the initial condition.,三、差分方程的递归解法,2、一阶差分方程的解 yt=a0+a1yt-1+t 向前迭代：对于给定的初值y0，向前迭代可得：

7、 y1=a0+a1y0+1 y2=a0+a1y1+2 =a0+a1(a0+a1y0+1)+2 =a0+a1a0+a12y0+a11+2,三、差分方程的递归解法,2、一阶差分方程的解 yt=a0+a1yt-1+t 向后迭代： yt=a0+a1yt-1+t =a0+a1 (a0+a1yt-2+t-1 )+t =a0(1+a1)+a1t-1+ t+a12(a0+a1yt-3+t-2) =,三、差分方程的递归解法,3、无初值时的递归解 如果没有初值y0，则可一直持续向后迭代：,三、差分方程的递归解法,持续向后迭代m期，得： 若|a1|1，则当m, at+m+10，可得： 这是差分方程的一个解，但不是唯

8、一解。对于任意常数A，一阶差分方程的解为：,三、差分方程的递归解法,4、两种递归解的一致性 如果已知初值y0，代入无初值的递归解，得: 解出A，然后代入无初值的递归解中，可得： 与向后迭代到初值y0时所得结果相同。,三、差分方程的递归解法,5、非收敛序列 如果|a1|1，要求解，则必须已知初值y0，有: 此式表明，过去的事件对yt有持久性的影响，而且其影响是越来越大。这一般不太符合现实。,四、差分方程解的结构,1、一阶差分方程解的结构 一阶差分方程：yt=a0+a1yt-1+t 齐次方程(homogeneous equation): yt=a1yt-1 齐次解(homogeneous solu

9、tion): yth=Aa1t 特解(particular solution)通过迭代得到的解称为特解： 通解(general solution)完整解是齐次解与特解之和：,四、差分方程解的结构,2、高阶差分方程的推广 n阶差分方程：yt=a0+a1yt-1+anyt-n+t 齐次方程: yt=a1yt-1+anyt-n 齐次解: yth 特解：ytp 通解：yt=yth+ytp,四、差分方程解的结构,3、差分方程求解的步骤 Step1: Form the homogeneous equation and find all n homogeneous solutions; Step 2: Fi

10、nd a particular solution; Step 3: Obtain the general solution as the sum of the particular solution and a linear combination of all homogeneous solutions; Step 4: Eliminate the arbitrary constant(s) by imposing the initial conditions on the general solution.,四、差分方程解的结构,4、差分方程解的性质 (1) If yth is a hom

11、ogeneous solution to a difference equation then Ayth is also a solution for any arbitrary constant A. (2) If y1th and y2th are homogeneous solutions to a difference equation, then for any two constants A1 and A2, the linear combination A1y1th+A2y2th is also a solution to the homogeneous equation. (3

12、) The sum of any particular solution and any linear combination of all homogeneous solutions is also a solution.,五、蛛网模型,1、蛛网模型的结构式 dt=a-pt st=b+pt*+t st=dt 其中pt*为预期价格。假设农民的预期是朴素预期，有： pt*=pt-1,五、蛛网模型,2、长期均衡价格与供给 令t=0，且pt=pt-1=p，则由均衡条件可得： p=(a-b)/(+) , s=(a+b)/(+) 3、模型的简化式 pt=(-/)pt-1+(a-b)/-t/ st=b+p

13、t-1+t,五、蛛网模型,4、价格差分方程的解 (1) 齐次解 齐次方程：pt=(-/)pt-1 齐次解：pth=A(-/)t (2) 特解 如果/1，则需要有初始条件。,五、蛛网模型,4、价格差分方程的解 (3) 通解 (4) 任意常数的确定 如果给出了初值p0，则代入通解，得： 解出A：,五、蛛网模型,4、价格差分方程的解 将求出的常数A代入通解，得： 化简可得：,五、蛛网模型,5、稳定性分析 稳定性条件：/1/ 6、供给冲击影响分析 短期影响乘子 即期影响乘子：pt/t=-1/; 一期影响乘子：pt+1/t=(-1/)(-/)= /2; 二期影响乘子： pt+2/t=(-1/)(-/)2

14、= -/3; 长期影响乘子全部短期影响乘子的总和 脉冲响应函数：The time path of all multipliers is called the impulse response function.,六、齐次差分方程的解法,(一) 二阶齐次差分方程的解 二阶齐次差分方程：yt-a1yt-1-a2yt-2=0 解的形式：yth=At 特征方程：2-a1-a2=0 特征根： 其中：d=a12+4a2，为判别式(discriminant),六、齐次差分方程的解法,(一) 二阶齐次差分方程的解 完整齐次解： 1、两不等实根情形：若d0，则12， yth=A1(1)t+A2(2)t 2、重根

15、情形：若d=0，则1=2=a1/2， yth=A1(a1/2)t+A2t(a1/2)t 3、复根情形：若d0，则两特征根为共轭复数： 1,2=a1i(-d)1/2/2，记r=(-a2)1/2, cos=a1/2(-a2)1/2, yth=1rtcos(t+2),六、齐次差分方程的解法,(二) 二阶齐次差分方程的稳定性条件 稳定(stability)收敛(convergence) |1|0; 由a1+(a12+4a2)1/2/21可得：a1+a21; 由-1a1-(a12+4a2)1/2/2可得：a2-a11; 因此，在两不等实根的情形，稳定域是(a1,a2)平面中由三条线a12+4a2=0和a

16、1+a2=1及a2-a1=1所围成的区域。,六、齐次差分方程的解法,(二) 二阶齐次差分方程的稳定性条件 2、重根情形（1=2=a1/2） d=a12+4a2=0； 由|1|=|2| =|a1/2|1, 可得： -2a12; 因此，在重根的情形，稳定域是 (a1,a2)平面中曲线a12+4a2=0上-2a12的一段。,六、齐次差分方程的解法,(二) 二阶齐次差分方程的稳定性条件 3、复根情形： d=a12+4a2-1 因此，在复根情形，稳定域为(a1,a2)平面中曲线a12+4a2=0与直线a2=-1所组成的区域。,六、齐次差分方程的解法,(二) 二阶齐次差分方程的稳定性条件 稳定条件的简洁表

17、示：所有的特征根都在单位圆内。,六、齐次差分方程的解法,(三) 高阶齐次方程的解及稳定性条件 1、高阶齐次差分方程的解 高阶齐次差分方程：yt-a1yt-1-anyt-n=0 特征方程： n-a1n-1-a2n-2- an=0 若n个特征根1,2,n互异，则方程解为： yth=A11t+A22t+Annt 若有mn个根为重根1=m=，则齐次解为： yth=A1t+A2tt+A3t2t+ +Amtm-1t +Am+1tm+1+Annt,六、齐次差分方程的解法,(三) 高阶齐次方程的解及稳定性条件 2、稳定性条件 稳定条件的简明表示：A succinct way to characterize t

18、he stability conditions is to state that characteristic roots must lie within the unit circle. 必要条件：a1+a2+an1 充分条件： |a1|+|a2|+ |an|1 如果a1+a2+an=1，则至少有一个单位根。,七推进过程为确定过程的特解,1、xt=0的情形 若推进过程xt=0。则差分方程为： yt=a0+a1yt-1+anyt-n 由于a0是一个常数，所以其特解也应为常数，将尝试解(trail solution或challenge solution): ytp=c 代入差分方程得： c=a0

19、+a1c+anc，解出c得： c= a0/(1-a1-an) (1) 若a1+a2+an1，则差分方程的特解为： ytp= a0/(1-a1-an),七、强制过程为确定过程的特解,(2) 若a1+a2+an=1，则yt是一个单位根过程，尝试解为： ytp=ct 代入差分方程，解出c得： c=a0/(a1+2a2+3a3+nan) 差分方程的特解为: ytp=a0/(a1+2a2+3a3+nan)t 若解ct不合适，即(a1+2a2+3a3+nan)=0，则依次用尝试解： ytp=ct2，ytp=ct3，,七、强制过程为确定过程的特解,2、xt为指数函数的情形以一阶差分方程为例 yt=a0+a1

20、yt-1+bdrt 在此差分方程中，drt的存在，表明yt以r的速度增长，所以其特解的尝试形式为： ytp=c0+c1drt 将此尝试解代入差方方程，得： c0+c1drt=a0+a1c0+c1dr(t-1)+bdrt=(a0+a1c0)+(a1c1/dr+b)drt 令等式两边对应项相等，解出c0和c1代入尝试解得： ytp=a0/(1-a1)+bdr/(dr-a1)drt 若a1=1，则尝试用c0=ct；若a1=dr，则尝试用c1=bt。 高阶差分方程，解法相同。,七、强制过程为确定过程的特解,3、确定性时间趋势的情形（xt=btd) 差分方程：yt=a0+a1yt-1+anyt-n+bt

21、d 由于yt依赖于td, yt-1依赖于(t-1)d, yt-2依赖于(t-2)d,，所以其特解形式为： ytp=c0+c1t+c2t2+cdtd 将此尝试解代入差分方程，在等式两边各项相等的条件下，解出各系数ci的值，代入尝试解即得所求的特解。,八、待定系数解法,1、解法的原理 由于线性差分方程的解必然是线性的，所以对于给定的线性差分方程，其特解的确切形式通常是已知的，但解中的系数是未知的。因此，将会出现在特解中的所有各项的线性函数作为尝试解（challenge solution)，代入线性差分方程，然后令等式两边各同类项的系数相等，就可解出未知的各系数值。将解出的各系数值代入尝试解，即可求得差分方程的特解。,八、待定系数解法,2、例子 例1.求一阶差分方程yt=a0+a1yt-1+t的特解。 尝试解： yt=b0+b1t+0t+1t-1+2t-2+ 将尝试解代入差分方程，令等式两边同类项的系数相等，得： b0=(a0-