2.2等差数列四

1、,等 差 数 列（四）,a、b、c成等差数列,2b= a+c,an为等差数列 （迭加法）,an+1- an=d,an= a1+(n-1) d,an= kn + b,（k、b为常数）,b为a、c 的等差中项,公式回顾,3.更一般的情形，an= ，,am+(n - m) d,4.在等差数列an中，由 m+n=p+q m,n,p,qN,am+an=ap+aq,5. 在等差数列an中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 ,=,=,=,新课导入,高斯 Gauss.C.F （17771855） 德国著名数学家,1+2+3+ +98+99+100= ？,101,50 (1+100)=5050,S=

2、1 + 2 + 3 + + 98+99+100,高斯求和法,S=100+99+98+ 3 + 2 + 1,倒序求和法,101,2 S 100 (1+100),(2),注:,(1)求和方法:,倒序求和法,(等差数列满足此性质),公式推导,三、公式的应用：,例1、在等差数列an （1）已知a1=5,a50=101,求S50 （2）已知a1=3,d=0.5，求S10 （3）已知d=0.5，an=1.5,Sn=-7.5求a1和n,应用一:基本量求解，知三求二,若a = - , 则无论 x 为何数值，分式的值都不为零 .,若a - , 则当x = - 时，分式的值为零。,变式：若Sn是数列an的前 n的

3、和，并且 ，求an的通项公式。,练习3：已知数列 的前 项的和为： ，求数列 的前 项和 。,若a - , 则当x = - 时，分式的值为零。,三、公式的应用： 应用二：性质应用,例3、一个等差数列，共有 10 项，其中奇数项的和为 125，偶数项的和为 15，求 a 1、d。,法二：相减得 5 d = 110,即 d = 22,归纳：等差数列中， n 为奇数，必有 _ n 为偶数，必有 _,例4：已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220.求前n项的和公式。,若a - , 则当x = - 时，分式的值为零。,练习1：设数列 、 满足： (nN*) （1）若 ，求数列 通项

4、公式； （2）若 是等差数列，求证 也是等差数列,练习2：已知数列 和 满足：,若 是等差数列，求证： 成等差数列,例5、在等差数列an中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.,三、公式的应用：应用二：最值,解 方法一 a1=20，S10=S15， 1020+ d=1520+ d， d= an=20+（n-1） a13=0. 即当n12时，an0,n14时，an0. 当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为 S12=S13=1220+ =130.,方法二 同方法一求得d= Sn=20n+ = = nN+,当n=12或13时，

5、Sn有最大值， 且最大值为S12=S13=130. 方法三 同方法一得d= 又由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0. 5a13=0,即a13=0. 当n=12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12=S13=130.,总结 求等差数列前n项和的最值，常用的方法： （1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； （2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值； （3）利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A、B为常数）为二次函数，根据二次函数的性质求最值.,1.等差数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示

6、. 2.等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 .(迭加法）,从第二项起每一项与它相邻前面一项的差是,同一个常数,公差,an=a1+（n-1）d,小 结,3.等差中项：如果 ，那么A叫做a与b等差中项. 4.等差数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am+ ，（n，mN*）. （2）若an为等差数列，且k+l=m+n，（k，l，m，nN*），则 . （3）若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为 . （4）若an，bn是等差数列，则pan+qbn是 . （5）若an是等差数列，则ak，ak+m， ak+2m，（k，mN*）是公差为

7、的等差数列.,2d,ak+al=am+an,(n-m)d,md,5.等差数列的前n项和公式 设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn= 或Sn= 6.等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn= . 数列an是等差数列等价条件是其前n项和公式Sn=f（n） 是n的 ， 即Sn= .,An2+Bn（A2+B20）,二次函数或一次函数且不含常数项,7.在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最 值；若a10,d0,则Sn存在最 值. 8.等差数列与等差数列各项的和有关的性质 （1）若an是等差数列，则 也成 数列， 其首项与an首项相同，公差是an公差的 . （2）Sm，S2m，S3m分别为an的

8、前m项，前2m项， 前3m项的和，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成 数列.,小,等差,等差,（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为2n，则S偶-S奇= ， = . 若项数为2n-1，则S偶=（n-1）an，S奇= an，S奇- S偶= ， (4)两个等差数列an、bn的前n项和Sn、Tn之间 的关系为： = .,nd,n,an,如：设Sn是等差数列an的前n项和，若 则 等于,知能迁移3 在等差数列an中，a16+a17+a18=a9=-36,其前n项和为Sn. （1）求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值； （2）求Tn=|a1|+|a2|+|an|. 解 （1）设等差数列

9、an的首项为a1,公差为d, a16+a17+a18=3a17=-36,a17=-12, d= =3, an=a9+(n-9)d=3n-63,an+1=3n-60, an=3n-630 an+1=3n-600 S20=S21= 当n=20或21时，Sn最小且最小值为-630.,令,得20n21,（2）由（1）知前20项小于零，第21项等于0，以后 各项均为正数. 当n21时，Tn=-Sn= 当n21时，Tn=Sn-2S21=,综上，Tn=,（n21，nN*） （n21,nN*）.,方法与技巧 1.等差数列的判断方法有 (1)定义法：an+1-an=d (d是常数)则an是等差数列. (2)中项

10、公式：2an+1=an+an+2 (nN*)则an是等差数列. (3)通项公式：an=pn+q(p,q为常数）则an是等差数列. (4)前n项和公式：Sn=An2+Bn （A、B为常数）则an是等差数列.,思想方法 感悟提高,2.方程思想和基本量思想：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程（组）获得解. 3.等差数列的通项公式本身可以由累加法得到. 4.等差数列的前n项和公式Sn= 很像梯形面积公式，其推导方法也与梯形面积公式的推导方法完全一样. 5.等差数列的前n项和公式Sn=na1+ d可以变形为 类似于匀加速直线运动的路程公式，只要把d理解为加速度.,失误与

11、防范 1.如果p+q=r+s,则ap+aq=ar+as,一般地，ap+aqap+q，必须是两项相加，当然可以是ap-t+ap+t=2ap. 2.等差数列的通项公式通常是n的一次函数，除非公差d=0. 3.公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是n的常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列. 4.公差d= 类似于由两点坐标求直线斜率的计算. 5.当d不为零时，等差数列必为单调数列. 6.从一个等差数列中，每隔一定项抽出一项，组成的数列仍是等差数列.,三、解答题 10.在数列an中，a1=1,3anan-1+an-an-1=0 (n2). （1）求证：数列 是等差数列； （2）求数列an的通项. （1）证明 因为3anan-1+an-an-1=0 (n2), 整理得 =3 (n2). 所以数列 是以1为首项，3为公差的等差数列. （2）解 由（1）可得 =1+3(n-1)=3n-2, 所以an=,课堂小结：,1