高中数学第一章基本初等函数II1.3三角函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角课堂导学案新人教B版必修

1、1.3.3 已知三角函数值求角课堂导学三点剖析 一、已知正弦值求角 已知正弦值求角,与所给角的范围有关,应根据角的范围划定单调区间后判断角的个数 ,反正弦是选在最基本的单调区间-,上定义的,其他单调区间上对应的角可根据周期性写出或用诱导公式转化到区间-,上,用反正弦表示出来.【例1】 已知sinx=,(1)当x-,时,求x的取值集合;(2)当x0,2时,求x的取值集合;(3)当xR时,求x的取值集合.思路分析:在函数y=sinx的非单调区间上,对于已知的一个正弦值,有多个角和它对应,在单调区间上只有一个值与之对应.解:(1)y=sinx在-,上是增函数,且知sin=,满足条件的角只有x=.x的

2、取值集合为.(2)sinx=0,x为第一或第二象限角,且sin=sin(-)=.在0,2上符合条件的角x=或.x的取值集合为,.(3)当xR时,x的取值集合为x|x=2k+或x=2k+,kZ.温馨提示(1)对于本题,由于范围不同,所得的角可能不同,一定要注意范围这一条件的约束作用.(2)对第(3)题的结论可写为x|x=n+(-1)n,nZ.一般地,对于sinx=a(xR),|a|1,这个方程的解可表示成x=2k+arcsina或x=2k+-arcsina,kZ,从而方程的解集为x|x=k+(-1)karcsina,kZ.各个击破类题演练 1已知sinA=0.501 8，求角A.（利用计算器 ）

3、解：先按功能选择键和，再依次按，得结果30.119 158 67,所以A=30.12(若精确到1,则结果为30).温馨提示 任意给定一个角，只要该角的函数值存在，总可以求出这个三角函数值.反过来，已知一个三角函数值，也可以求出与它对应的角.变式提升 1已知sin,且是第二象限的角,求角.思路分析:先求出,进而求出.解:首先确定所在象限.是第二象限的角,是第一或第三象限的角.又sin=0,是第三象限的角.然后在0,2)内找到满足条件的.sin=,在0,2)内满足条件的角是+=.再找到所有满足条件的角.=2k+(kZ).最后求出所有满足条件的角,=4k+,kZ.温馨提示 本例中将看作一个整体,求出

4、的所有角后,再求出. 二、已知角的余弦值求角 已知余弦值求角,可利用y=cosx的图象找出在0,内满足条件的角,然后根据y=cosx的周期性用反余弦(或特殊角)表示所给范围内的角.【例2】 已知cosx=-0.287,(1)当x0,时,求x;(2)当xR时,求x的取值集合.思路分析:由于cosx=-0.287,x不是特殊角,因此应用反余弦表示x,而0,正是反余弦的主值区间,故当x0,时,x=arccos(-0.287)=-arccos0.287.当xR时,可利用诱导公式先求出0,2内的所有解,再利用周期性即可求出xR的所有解.解:(1)因为cosx=-0.287,且x0,所以x=arccos(

5、-0.287)=-arccos0.287.(2)当xR时,先求出x0,2上的解. 因为cosx=-0.287.故x是第二或第三象限角,由(1)知x1=-arccos0.287是第二象限角. 因为cos(+arccos0.287)=-cos(arccos0.287)=-0.287,且+arccos0.287(,), 所以x2=+arccos0.287. 由余弦函数的周期性,可知当x=2k+x1或x=2k+x2,kZ时,cosx=-0.287,即所求的x值的集合是x|x=2k+-arccos0.287或x=2k+arccos0.287,kZ=x|x=2karccos(-0.287),kZ.温馨提示

6、 方程cosx=a,|a|1的解集可写成x|x=2karccosa,kZ.类题演练 2已知cos(x+)=，求角x的集合.思路分析:把“x+”视为一个整体,首先在长度为一个周期的闭区间上找出符合条件的角,再利用终边相同的角的集合把它扩展到整个定义域上.解:cos(x+)=0,角x+是第二或第三象限角.令cos(x+)=,得锐角+=.在区间0，2上，符合条件的角是-或+,即或,所以在xR上,有+=+2k,kZ或+=+2k,kZ.化简得x=+4k或x=+4k,kZ.故角x的集合是x|x=+4k或x=+4k,kZ.变式提升 2已知cosx=,x(-,-),则x等于( )A.arccos() B.-a

7、rccosC.-arccos() D.-arccos解析:arccos()(,),-arccos()(-,-).故选C.答案:C 三、已知正切值求角 已知正切值求角,可利用y=tanx的图象找出(-,)内满足条件的角,然后根据y=tanx的周期性用反正切(或特殊角)表示所给范围内的角.【例3】 已知tan=-2,若(1)(-,);(2)0,2;(3)R,求角.思路分析:由正切函数的单调性,可知在开区间(-,)内,符合条件tan=-2的角只有一个,而在0,2内,符合条件tan=-2的角就有两个,而根据正切函数的周期性,可知第(3)题中符合条件的角就有无穷多个了.解:(1)由正切函数在开区间(-,

8、)上是增函数可知符合条件tan=-2的角只有一个,即=arctan(-2).(2)tan=-20,是第二或第四象限角.又0,2,由正切函数在区间(,(,2上是增函数知符合tan=-2的角有两个，即=-arctan2,=2-arctan2.(3)R时角有无穷多个,则=(2k+1)-arctan2或=2(k+1)-arctan2(kZ).温馨提示 对于反三角函数，我们要特别注意主值区间，即-arcsinx,0arccosx,- arctanx.类题演练 3（1）已知sinx=,x（,），求角x;（2）已知tanx=3,x（3,）,求角x.解法一：（1）令sinx1=,得x1=arcsin.x（，）,符合条件的角x=+x1=+arcsin.(2)令tanx1=3,得锐角x1=arctan3.x(3,),符合条件的角x=3+x1=3+arctan3.解法二：（1）x,-x0.又由sinx=,得sin(-x)=.-x=arcsin()=-arcsin.x=+arcsin.(2)3x,0x-3.由tanx=3,得tan(x-3)=3.x-3=arctan3.x=3+arctan3.变式提升 3已知直线bx+ay=ab(a0,b0)，试求它的