高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程导学案 北师大版选修

1、2.1.1椭圆及其标准方程学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.知识点一椭圆的定义思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？答案固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键.思考2在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？答案笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长.梳理把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距.知

2、识点二椭圆的标准方程思考1椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？答案椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半.a、b、c始终满足关系式a2b2c2.思考2椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|PF2|2a|F1F2|?答案只有当2a|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；当2a|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2ab0)1(ab0)图形焦点坐标F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2a2b2类型一求椭圆的标准方程命

3、题角度1焦点位置已知求椭圆的方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上，ab21，c；(2)经过点(3，)，且与椭圆1有共同的焦点.解(1)c，a2b2c26.又由ab21，得a2b，代入，得4b2b26，解得b22，a28.又焦点在x轴上，椭圆的标准方程为1.(2)方法一椭圆1的焦点为(4，0)和(4，0)，由椭圆的定义可得2a，2a12，即a6.c4，b2a2c2624220，椭圆的标准方程为1.方法二由题意可设椭圆的标准方程为1，将x3，y代入上面的椭圆方程，得1，解得11或21(舍去)，椭圆的标准方程为1.反思与感悟用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的

4、位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程.跟踪训练1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0，2)，并且椭圆经过点(，)；(2)焦点在x轴上，且经过两个点(2，0)和(0，1).解(1)椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0).由椭圆的定义知，2a 2，即a.又c2，b2a2c26.所求椭圆的标准方程为1.(2)椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0).又椭圆经过点(2，0)和(0，1)，所求椭圆的标准方程为y21.命题角度2焦点位置未知求椭圆的方程例2求经过(2，)和

5、两点的椭圆的标准方程.解方法一若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0).由已知条件得解得故所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0).同理，得a24，b28，而a20，B0，AB).将点(2，)，代入，得解得故所求椭圆的标准方程为1.反思与感悟如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax2By21(A0，B0，AB)，再解答.跟踪训练2求经过A(0，2)和B(，)两点的椭圆的标准方程.解方法一当焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，A

6、(0，2)，B(，)在椭圆上，解得这与ab相矛盾，故应舍去.当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，A(0，2)，B(，)在椭圆上，解得椭圆的标准方程为x21，综上可知，椭圆的标准方程为x21.方法二设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0，mn).A(0，2)，B(，)在椭圆上，椭圆的标准方程为x21.类型二椭圆方程中参数的取值范围例3“方程1表示焦点在y轴上的椭圆”的充分不必要条件是()A.1m B.1m2C.2m3 D.1m3答案A解析要使方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m应满足解得1m2，A选项中m|1mm|1m2，故选A.反思与感悟(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要

7、化成标准形式.(2)1表示椭圆的条件是表示焦点在x轴上的椭圆的条件是表示焦点在y轴上的椭圆的条件是跟踪训练3已知x2sin y2cos 1(0)表示焦点在x轴上的椭圆.求的取值范围.解x2sin y2cos 1，可化为1，由题意知解得0n0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案C解析方程可化为1.若mn0，则00，可得mn0.4.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为_.答案x21解析由已知得2a8，2c2，a4，c，b2a2c216151，椭圆的标

8、准方程为x21.5.已知椭圆1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则|PF1|PF2|_.答案48解析依题意知，a7，b2，c5，所以|F1F2|2c10.由于PF1PF2，所以由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|2100.又由椭圆定义知|PF1|PF2|2a14，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100，即1962|PF1|PF2|100.解得|PF1|PF2|48.1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a，当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a0，B0

9、，AB)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的. 40分钟课时作业一、选择题1.已知两定点F1(1，0)，F2(1，0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程是()A.1 B.1C.1 D.1答案C解析|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，|PF1|PF2|2|F1F2|224|F1F2|.点P的轨迹应是以F1，F2为焦点的椭圆.c1，a2.动点P的轨迹方程为1.2.设(0，)，方程1是表示焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围为()A.(0， B.(，)C.(0，) D.，)答案C解析焦点在y轴上，cos sin ，即sin()sin ，又(0，)，即

10、(0，).3.曲线1与1(0k9)的关系是()A.有相等的焦距，相同的焦点B.有相等的焦距，不同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.以上都不对答案B解析曲线1的焦点在x轴上.对于曲线1，0k9k0，焦点在y轴上，故两者的焦点不同.259(25k)(9k)16c2，2c8，即两者焦距相等.故选B.4.椭圆1上的一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON|等于()A.2 B.4C.8 D.答案B解析如图，F2为椭圆右焦点，连接MF2，则ON是F1MF2的中位线，|ON|MF2|，又|MF1|2，|MF1|MF2|2a10，|MF2|8，|ON|4.5.设定点F1(0，3)，F2(0

11、，3)，动点P满足条件|PF1|PF2|a(a0)，则点P的轨迹是()A.椭圆 B.线段C.不存在 D.椭圆或线段答案D解析a2 6，当且仅当a，即a3时取等号，当a3时，|PF1|PF2|6|F1F2|，点P的轨迹是线段F1F2；当a0且a3时，|PF1|PF2|6|F1F2|，点P的轨迹是椭圆.6.已知椭圆y21的焦点为F1，F2，点M在该椭圆上，且0，则点M到x轴的距离为()A. B. C. D.答案C解析0，由|MF1|MF2|4，又|MF1|2|MF2|2(2)212，由与可得，|MF1|MF2|2，设M到x轴的距离为h，则|MF1|MF2|F1F2|h，h.二、填空题7.若椭圆的两个焦点为F1(3，