八年级数学下册 第十七章 勾股定理及逆定理的运用导学案（新版）新人教版

1、勾股定理及逆定理的运用一、学习目标： 1. 掌握、理解勾股定理的内容，并会运用勾股定理解决一些实际问题。 2. 能够运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形，并能实际应用。 3. 能区分勾股定理与勾股定理逆定理的条件与结论。 4. 了解勾股数的定义及其探索规律，了解定理的含义及逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。二、重点、难点： 1. 勾股定理的应用。 2. 数学思想方法的掌握，勾股定理与方程的思想及类讨论思想。三、考点分析：勾股定理及其逆定理是几何中的重要定理，其应用极其广泛，历年来都是中考命题的热点。典型例题知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1：

2、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）A. CD、EF、GHB. AB、EF、GHC. AB、CD、GHD. AB、CD、EF思路分析：1）题意分析：本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理。2）解题思路：可利用勾股定理直接求出各边长，再进行判断。解答过程：在RtEAF中，AF=1，AE=2，根据勾股定理，得同理计算发现，即，根据勾股定理的逆定理得到以AB、EF、GH为边的三角形是直角三角形。故选B。解题后的思考： 1. 勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形。因此，解题时一定要认真分析题目所给条件，看是否

3、可用勾股定理来解。 2. 在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为“”就是斜边而“固执”地运用公式，其实，同样是，不一定就等于90，不一定就是斜边，不一定就是直角三角形。 3. 直角三角形的判定条件与勾股定理是互逆的，区别在于勾股定理的运用是一个从“形”（一个三角形是直角三角形）到“数”（）的过程，而直角三角形的判定是一个从“数”（一个三角形的三边满足的条件）到“形”（这个三角形是直角三角形）的过程。 4. 在应用勾股定理解题时，要全面地考虑问题，注意问题中存在的多种可能性，避免漏解。 例2：如图，有一块直角三角形纸板，两直角边AC=6cm，BC=8cm。现将直角边AC沿直

4、线AD折叠，使它落在斜边AB上，且点C落到点E处，则CD等于（ ）A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm思路分析：1）题意分析：本题考查勾股定理的应用2）解题思路：本题若直接在ACD中运用勾股定理是无法求得CD的长的，因为只知道一条边AC的长，由题意可知，ACD和AED关于直线AD对称，因而ACDAED。进一步则有AE=AC=6cm，CD=ED，EDAB，设CD=ED=xcm，则在RtABC中，由勾股定理可得AB2=AC2+BC2=62+82=100，得AB=10cm，在RtBDE中，有x2+（106）2（8x）2。解得x=3。解答过程：B解题后的思考：勾股定理说到底是一个等式

5、，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等。 例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。”“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有

6、四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形。”“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算出来了吗？思路分析：1）题意分析： 本题考查勾股定理的应用2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确的解答 解答过程：设直角三角形的三边长分别为，如图，则米，米。又，即，所以（米）。解得（米）。解题后的思考： 这是一道阅读理解类试

7、题。这种题型特点鲜明、内容丰富、超越常规，源于课本，高于课本，不仅考查阅读能力，而且还综合考查数学意识和数学综合应用能力，尤其考查数学思维能力和创新意识。解题时，一般是通过阅读，理解概念，掌握方法，领悟思想，抓住本质，然后才能解答问题。知识点二、构造直角三角形使用勾股定理 例4：如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜表面爬到柜角处。（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；（2）当时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；（3）求点到最短路径的距离。思路分析：1）题意分析：本题考查勾股定理的应用。2）解题思路：解决此类问题的关键是把立体图形问题转化为

8、平面图形问题，从而利用勾股定理解决。路径虽无数最短却唯一，要注意弄清哪一条路径是最短的。解答过程：（1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形和。蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的和。（2）蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是。蚂蚁沿着木柜表面经线段到，爬过的路径的长是。，最短路径的长是。（3）作于，则为所求。解题后的思考：转化的思想是将复杂问题转化、分解为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想方法。如：在许多实际问题中，首先将实际问题转化为数学问题，另外，当问题中没有给出直角三角形时，通常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。 例5：有一块直角三角

9、形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长。思路分析：此题如有图形将变得很简单，按图形解答即可。但若没有图形，则需要讨论几种可能的情况。这正是“无图题前细思考，分类讨论保周到”。 解答过程：在中，由勾股定理有：，扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况：如图1，当时，可求，得的周长为32m。如图2，当时，可求，由勾股定理得：，得的周长为如图3，当为底时，设则由勾股定理得：，得的周长为m。 解题后的思考：分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在

10、解题中真正做到不重不漏。知识点三、勾股定理及其逆定理的正逆混用 例6：（1）图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积。（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形。（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）思路分析：1）题意分析：本题考查利用勾股定理进行图形的拼割剪接2）解题思路：注意拼接过程中面积是不变的 解答过程：（1）设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，则小正方形的边长为。由题意得由勾股定理，得2得所以

11、即所求的中间小正方形的面积为1（2）所拼成的正方形的面积为，所以可按照图甲制作。由得由、组成方程组解得结合题意，每个直角三角形的较长直角边只能在纸片6.5cm的长边上截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为，恰好等于中间的小正方形的面积。于是，得到以下分割拼合方法：解题后的思考：这是一道综合题，根据题目所提供的信息是不难解决问题的，但是，要注意掌握和运用好题目所给的各个有用信息，否则，问题就不容易得到解决。知识点四、连续应用勾股定理 例7：如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，如此

12、作下去，若OAOB1，则第n个等腰直角三角形的面积Sn_。思路分析：1）题意分析：本题考查利用勾股定理进行归纳推理 2）解题思路：先在RtABO中，由OAOB1求出AB；再在RtAB A1中，由ABA A1求出A1B2，；再分别求出AOB、ABA1、A1BB1、的面积，从中发现规律，猜想出结论。解答过程：在RtABO中，由AOB90，OAOB1，可求出AB，SAOB=112-1；在RtAB A1中，由A1AB90，ABAA1，可求出A1B2，S2=120；在RtA1BB1中，由A1BB190，A1BBB12，可求出A1B1，S3=22221；在RtA1 B2B1中，由B2A1B190，A1B1

13、A1B2，可求出B1 B24，S4=422；，由此可以猜想Sn=。解题后的思考：类比归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相似的对象进行对比，作出归纳判断的一种科学研究方法。在中考数学中考查类比归纳法，旨在引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线，由线织成网，使知识有序化、系统化，从而使学生掌握知识内在的规律。预习导学下一讲我们将讲解四边形的应用，本讲内容是中考重点之一，如特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形）的性质和判定，以及运用这些知识解决实际问题。中考中常以选择题、填空题、解答题和证明题等形式呈现，近年的中考中又出现了开放题、应用题、阅读理解题、学科间综合题、动点

14、问题、折叠问题等，这些都是热点题型，应引起同学们高度关注。同步练习（答题时间：60分钟）一、选择题 1. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC的度数为（ ）A. 90 B. 60 C. 45 D. 30 2. 如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB1000米，BC600米，AC800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P处的位置应在（ ）A. AB中点处B. BC中点处C. AC中点处D. C的平分线与AB的交点处 3. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点到点的距离为5，

15、一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（）A. B. 25 C. D. 二、填空题 4. 某楼梯的侧面视图如图所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 。 5. 已知RtABC的周长是，斜边上的中线长是2，则SABC_。 6. 如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm。如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm。 7. 图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在RtABC中，若直

16、角边AC=6，BC=6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是_。 图甲 图乙 8. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草。 9. 如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为，若一只小虫从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路程是 （结果保留根号）。 三、解答题 10. 如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC1km，B村到公路l的距离BD2km，B村在A村的南偏东方向上。（1）求出A，B两村之间的距离；（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该车站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）。试题答案 1. （2+2）米 2. 8 3. 10，（或） 【解析】由题意得：细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，其最短长度为将长方体的四个侧面展开即可构成一个直角边分别为8cm和6cm