高中数学 第二章 平面向量 2.2.1 平面向量基本定理学案 新人教B版必修

1、22向量的分解与向量的坐标运算 22.1平面向量基本定理学习目标1.理解平面向量基本定理及其意义.2.了解向量一组基底的含义，在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.掌握直线的向量参数方程式，尤其是线段中点的向量表达式.4.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题知识链接1如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量，a.答通过观察，可得：2e13e2，e14e2，4e14e2，2e15e2，2e15e2，a2e1.20能不能作为基底？答由于0与任何向量都是共线的，因此0不能作为基底3平面向量的基底唯一吗？答不唯一，只要两个向量不共线，都可以作为平

2、面的一组基底 预习导引1平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.2基底把不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2a1e1a2e2叫做向量a关于基底e1，e2的分解式3直线的向量参数方程式已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点(如图所示)，对直线l上任意一点P，存在唯一的实数t满足向量等式(1t)t，反之，对每一个实数t，在直线l上都有唯一的一个点P与之对应向量等式(1t)t叫做直线l的向量参数方程式，其中实数t叫做参变数，简称参数4线段中点的向量表达式在向量等式

3、(1t)t中，若t，则点P是AB的中点，且()，这是线段AB的中点的向量表达式.要点一用基底表示向量例1如图所示，设M，N，P是ABC三边上的点，且，若a，b，试用a，b将、，表示出来解ab，b(ab)ab，()(ab)规律方法(1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优化与组合(2)将向量c用a，b表示，常采用待定系数法，其基本思路是设cxayb，其中x，yR，然后得到关于x，y的方程组求解跟踪演练1如图，四边形OADB是以向量a，b为边的平行四边形又BMBC，CNCD，试用a、b表示，.解()(ab)，ab.，(ab)

4、ab.要点二平面向量基本定理的应用例2如图，在ABC中，点M是边BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，AM与BN相交于点P，求APPM的值解设e1，e2，则3e2e1，2e1e2.A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，使得e13e2，2e1e2.故(2)e1(3)e2.而2e13e2，由平面向量基本定理，得解得，APPM41.规律方法(1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线注意方程思想的应用(2)用基底表示向量也是用向量解决问题的基础应根据条件灵活应用，熟练掌握跟踪演练2如图，已知OAB中，延长BA到C，使ABAC，D是将分成21的一个分点，DC和OA交于点E，设a，b.

5、(1)用a，b表示向量，；(2)若，求实数的值解(1)A为BC的中点，()，2ab.2abb2ab.(2)，a2ab(2)ab.与共线，存在实数m，使得m，即(2)abm，即(2m2)ab0.a，b不共线，解得.1已知O、A、B三点不共线，设a，b，且P为靠近A点的线段AB的一个三等分点，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab答案B解析，()ab.2已知AD为ABC的中线，则等于()A. B.C. D.答案D解析延长AD到点E，使DEAD，连接CE，BE，则四边形ABEC是平行四边形，则().3如图，已知a，b，3，用a，b表示，则等于_答案ab解析()ab.4已知G为ABC的重心，设

6、a，b.试用a、b表示向量.解连接AG并延长，交BC于点D，则D为BC的中点，()()ab.1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底2准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决一、基础达标

7、1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()Ae1e2，e2e1 B2e1e2，e1e2C2e23e1,6e14e2 De1e2，e1e2答案D解析选项A、B、C中的向量都是共线向量，不能作为平面向量的基底2下面三种说法中，正确的是()一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量A B C D答案B3若a、b不共线，且ab0(，R)，则()Aa0，b0 B0C0，b0 Da0，0答案B4.如图所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分，(不包括边界)

8、，若ab，且点P落在第部分，则实数a，b满足()Aa0，b0 Ba0，b0Ca0 Da0，b0答案C解析当点P落在第部分时，按向量与分解时，一个与反向，一个与同向，故a0.5设向量m2a3b，n4a2b，p3a2b，若用m，n表示p，则p_.答案mn解析设pxmyn，则3a2bx(2a3b)y(4a2b)(2x4y)a(3x2y)b，得pmn.6在ABC中，c，b.若点D满足2，则_.答案bc解析()bc.7.如图所示，在ABC中，点M为AB的中点，且，与相交于点E，设a，b，试以a，b为基底表示.解b，a，由N，E，B三点共线知存在实数满足(1)b(1)a.由C，E，M三点共线知存在实数满足

9、(1)a(1)b.解得ab.二、能力提升8M为ABC的重心，点D，E，F分别为三边BC，AB，AC的中点，则等于()A6 B6C0 D6答案C解析20.9在ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB.若a，b，|a|1，|b|2，则等于()A.ab B.abC.ab D.ab答案B解析如图，12，()(ba)，a(ba)ab.10设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC，若12(1，2为实数)，则12的值为_答案解析易知()，所以12.11在平行四边形ABCD中，a，b，(1)如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，.(2)如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示.解(1)ab.ab.(2)ba，O是BD的中点，G是DO的中点，(ba)，a(ba)ab.12已知向量ae13e22e3，b4e16e22e3，c3e112e211e3，问a能否表示成abc的形式？若能，写出表达式；若不能，说明理由解由