高中数学《函数与方程》学案1 苏教版必修

1、函数与方程【基础知识】1、函数零点的概念一般地，如果函数y=在实数a处的函数值等于零，即=0，则a 叫做这个函数的零点注：（1）函数的零点指的是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值为零（2）函数的零点也可以理解为一个函数的图象与x轴交点的横坐标2、函数的零点与方程根的关系根据函数零点的定义可知：函数的零点就是方程=0的实数根因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断相应的方程=0是否有实数根，有几个实数根3、函数零点的求法：解方程=0所得实数根就是零点 4、函数零点的性质（1）如果函数的图象是连续的，那么当它通过零点（不是二重零点）时，函数值变号但如果一个二次函数有一个二重零点

2、，那么它通过这个二重零点时，函数值的符号并不改变（2）如果函数的图象是连续的，那么在相邻的两个零点之间的所有函数值保持同号5、一般函数零点的求法二分法（1）对于一般函数y=，为了求它的零点，也需要求相应方程=0的实数根，除了少量的特殊的方程可以通过因式分解求方程的根外，其他的方程一般可以用二分法求得方程的近似解，虽然这种方法运算量较大，但它是一种通法，并且在运算中进行的又是大量的重复的计算，所以我们可以编写出一个程序利用计算器或计算机来求出方程的解（2）使用二分法的前提条件：如果函数y=在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0，那么函数y=在区间（a,b）内有零点，即存在实数，使=0

3、，这个实数就是函数y=的零点（3）二分法求零点的基本思想：用二分法求函数的零点，首先应适当选取区间，区间太小，可能找不一零点，而区间太大，又可能包含不止一个零点，假定所给区间恰好能找到函数的一个零点，取该区间的中点，此中点将该区间分为两个小区间，在这两个小区间中必有一个小区间满足这样的条件，使函数在这个小区间的两端的函数值异号，则函数的零点必在这个小区间内，这样就可以将区间缩小一半利用此方法将区间范围不断缩小，每次缩小一半，保持函数值在区间两端点异号，直到区间长度小于指定的精度要求为止（4）二分法求零点的缺点：二分法的思想虽然简单，但是一方面若函数y=在a,b上有几个零点时，只能算出其中一个零

4、点；另一方面，即使函数y=在a,b上有零点，也未必有0，即用二分法不能求函数的不变号零点，这就限制了二分法的使用范围（5）二分法求零点的基本步骤：选定初始区间（a，b），并着手实施二分；取有根区间（a，b）的中点x0作为近似根；确定二分后新的有根区间（a1，b1），再取其中点x1作为近似根，如此反复二分下去，得到一系列有根区间（a，b），（a1，b1），（a2，b2），（ak，bk），和近似根序列x0，x1，x2，xk，直到满足精度要求为止；检查近似根是否满足精度要求【基础练习】1二次函数为偶函数，则此函数的零点为2若函数的两个零点是，则的值为（）3已知，是函数（为实数）的两个零点，则的最大值

5、为（）不存在4若函数没有零点，则实数a的取值范围是（）a1a1 a1a15对于函数，若且，则函数在区间内（）一定有零点一定没有零点 可能有两个零点至多有一个零点【典型例题】1函数零点的讨论1如果关于的方程的一根大于但小于，另一根大于但小于，那么实数的取值范围是2实数为何值时，函数的两个零点满足一个大于，一个小于？3下列说法正确的个数是（）当时，二次函数有两个零点；函数的零点即函数的图象与x轴的公共点；对任意函数，在相邻两个零点之间所有函数值保持同号；函数的零点为0，1个2个3个4个4对于任意定义在上的函数，若实数满足，则称是函数的一个不动点，若二次函数没有不动点，则实数的取值范围是5一元二次方

6、程的根与相应二次函数的零点之间的关系为2、一般函数零点的求法二分法1下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（）2用二分法求函数零点，若函数的零点总位于区间上，则当时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过（）121423函数在区间3，5上（）没有零点有一个零点 有两个零点无数个零点4方程x32x50在区间2，3内的实根，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间是_5若方程在（0，1）内恰有一解，则a的取值范围是多少？6用二分法求方程x34x2100在区间1，2上的根（精确到5个有效数字）参考答案：【基础练习】1二次函数为偶函数，则此函数的零点为答案：2若函数的两个零点是，

7、则的值为（）答案：3已知，是函数（为实数）的两个零点，则的最大值为（）不存在答案：4若函数没有零点，则实数a的取值范围是（）a1a1 a1a1答案：5对于函数，若且，则函数在区间内（）一定有零点一定没有零点 可能有两个零点至多有一个零点答案：【典型例题】1函数零点的讨论1如果关于的方程的一根大于但小于，另一根大于但小于，那么实数的取值范围是答案：2实数为何值时，函数的两个零点满足一个大于，一个小于？答案：解：由二次函数的图象可知：，3下列说法正确的个数是（）当时，二次函数有两个零点；函数的零点即函数的图象与x轴的公共点；对任意函数，在相邻两个零点之间所有函数值保持同号；函数的零点为0，1个2个

8、3个4个答案：B4对于任意定义在上的函数，若实数满足，则称是函数的一个不动点，若二次函数没有不动点，则实数的取值范围是答案：5一元二次方程的根与相应二次函数的零点之间的关系为答案：设，有：（1）当时，一元二次方程有两个不相等的实数根，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点，相应的二次函数有两个零点；（2）当=0时，一元二次方程有两个相等实数根，相应的二次函数图象与x轴有惟一的交点，相应的二次函数有一个二重的零点；（3）0时，一元二次方程没有实数根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点，相应的二次函数无零点.2、一般函数零点的求法二分法1下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是（）答案：B2用二分法求函数零点，若函数的零点总位于区间上，则当时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过（）12142答案：C3函数在区间3，5上（）没有零点有一个零点 有两个零点无数个零点答案：4方程x