多元函数的概念、极限和连续.ppt

1、1,7-2 多元函数的概念、 极限和连续,2,1.柱面:,复 习,柱面方程一定是二元方程，,缺少哪个变量字母，,母线就平行于哪个坐标轴.,2. 椭球面,3. 椭圆锥面,4. 椭圆抛物面,5. 双曲抛物面,3,第二节,多元函数的概念、极限和连续,第七章,一、平面区域,二、多元函数的概念,三、二元函数的极限,四、二元函数的连续性,4,一、平面区域,1.平面点集:,坐标平面上具有某种性质 P 的点的集合,称为平面点集.,如：,4,2,5,2.邻域,是某,一正数，,的点P(x,y)的全体，,记为,中心，,半径.,几何意义：,为半径的圆的内部的点 p(x,y) 的全体,不包括圆周上的点.,6,的去心邻域

2、：,注意:,(1)如果不强调邻域的半径,即,7,在讨论实际问题中也常使用方邻域,平面上的方邻域为,。,因为方邻域与圆,邻域可以互相包含.,8,3. 内点和开集,设有点集 E 及一点 P :, 若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,则称 P 为 E 的内点；,p,p, 若存在点 P 的某邻域 U(P) E = ,则称 P 为 E 的外点 ;, 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；,例如，,即为开集,9,4. 边界点与边界,设有点集 E 及一点 P :, 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E,则称 P 为 E 的边界点 .,的外点 ,显然, E 的内点必属于 E ,

3、E 的外点必不属于 E ,E 的,边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .,p, E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;,10,5. 开区域及闭区域, 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , 开区域连同它的边界一起称为闭区域.,则称 D 是连通的 ;, 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ;,。 。,例如，在平面上,开区域,11,闭区域, 点集,是开集，,也是最大的闭区域；,但非开区域 .,12, 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K ,则称 D 为有界区域 ,无界区域 .,否则称为,6. 有界区域及无界区域,例如：,是

4、有界闭区域。,是无界开区域。,13,7. n 维空间,n 元有序数组,的全体称为 n 维空间,说明：,(1) n维空间的记号为,n 维空间中的每一个元素,称为空间中的,称为该点的第 k 个坐标 .,一个点,当所有坐标,称该元素为,中的零元,记作O .,(2) n维空间中两点间距离公式,的距离记作,规定为,14,(2) n维空间中两点间距离公式,设两点为,与零元 O 的距离为,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,注: n维空间中邻域、区域等概念也可类似定义,15,二、多元函数的概念,1.定义,设D是平面上的一个点集，,如果对于每个点,和它对应，,类似地可定义三元及三元以上函数,D称为

5、定义域.,函数值记为：,记为：,（或记为 ）.,如,则,n元函数统称为多元函数.,16,解,2.定义域,二元函数的两要素:,二元函数的定义域较复杂,一般来说它是平面区域.,它的求法与一元函数类似.,定义域和对应法则.,所求定义域为:,17,例2 求下列的定义域D，并描出D的图形,解,2,y=x+2,y=x,-2,即定义域为,即定义域为平面点集：,18,3.二元函数几何意义,一元函数的图象是平面上的曲线,二元函数的图形则是三维空间的曲面.如二元函数 的图形就是抛物面,因此,二元函数在几何上表示三维空间的一张曲面.,19,例如,是上半圆锥面如右图.,例如,球面.,单值分支:,定义域为整个xoy平面

6、,20,三、将平面区域表示为不等式-平行线穿越法,1.如果平面区域为：,o,o,X型区域的特点：,区域边界相交不多于两个交点.,穿过区域且平行于y轴的直线与,其中函数 、 在区间a,b上连续.,X型,21,2.如果区域为：,o,o,Y型,Y型区域的特点：,区域边界相交不多于两个交点.,穿过区域且平行于x轴的直线与,想得到X-型区域时，,就把区域投影在x轴上；,想得到Y-型区域时，,就把区域投影在y轴上.,一般地:,称这种判断区域类型的方法为：,平行线穿越法,22,注意：,1.有的区域可以看成X-型 区域,也可看成Y-型,D:,2.若为如图所示的复杂区域D，,则必须分割.,o,区域.,如矩形区域

7、,23,例3 .用不等式组表示平面区域D，其中,解,作图，,1,2,24,例4 .用不等式组表示平面区域D，其中,解,作图,反过来,给出平面区域D,会作出图形.,25,例4 .平面区域,作出D的图形.,解,例5 .设,解,26,例6 .设,解,27,小结,1.平面点集、n维空间相关概念,邻域,2.二元函数的概念,3.会求函数的定义域及函数值.,4.会用不等式组表示平面区域.,5.得到X-型区域、 Y-型区域的一般方法：,(1)想得到X-型区域时，,就把区域投影在x轴上；,(2)想得到Y-型区域时，,就把区域投影在y轴上.,28,6.判断区域类型的方法是：,将D投影到x轴上，,若投影区间为a,b,则,用一组平行于y轴且与y轴同方向的直线穿越D，,入口,线方程