方程的根与零点.ppt

1、福州八中数学组 宋长芬 江莹辉,方程的根与函数的零点,问题情境,方程的根与函数的零点,在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座，虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题。如约公元50年100年编成的九章算术，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法,i)当遇到一个复杂的问题，我们一般应该怎么办？,ii)以前我们如何判断一个方程是否有实根，这对研究这个方程是否有帮助？,iii)除了用判别式可以判断一元二次方程根的情况，还有其他的方法吗？,方程的根与函数的零点

2、,求下列方程的根,问题情境,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,函数y= ax2 +bx +c(a0)的图象,判别式 = b24ac,0,=0,0,函数的图象 与 x 轴的交点,有两个相等的 实数根x1 = x2,没有实数根,(x1,0) , (x2,0),(x1,0),没有交点,两个不相等 的实数根x1 、x2,方程的根与函数的零点,问题1：你能通过观察二次方程的根及相应的二次函数图象，找出它们之间的关系吗?,问题2：上述结论对其他方程与相应函数也同样成立吗？,方程的根与函数的零点,几何画板展示,对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫 做函数y=f(x)的零点。,函数零点

3、的定义：,等价关系,零点的求法,代数法,图像法,方程的根与函数的零点,问题3：观察函数的图象，思考：如何判断函数f(x)在（a，b）内有没有零点？,方程的根与函数的零点,问题4：若f(x)在a,b上满足f(a)f(b)0,则f(x)在（a,b）上存在零点。对吗？若不对，举出反例。如何修正？,i) 增加条件：若f(x)在a,b上单调，结论成立吗？,方程的根与函数的零点,ii) 增加条件：若f(x)的图象在a,b上连续不断，结论成立吗？,一般地:,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 即存在c(a,

4、b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.,方程的根与函数的零点,问题5：如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，那么,若函数f(x)在区间(a,b)内有零点，一定能得 f(a)f(b)0吗？,ii)若f(a)f(b)0 ，则函数f(x)在区间(a,b)内一定没有零点吗？,iii) 若f(a)f(b)0 ，则函数f(x)在区间(a,b)内有几个零点？能否增加条件，使得函数在区间(a,b)内有且只有一个零点？,方程的根与函数的零点,几何画板展示,由表得f(2)0，,即f(2)f(3)0，,说明这个函数在区间(2,3)内有零点。,由于函数f(x)在定义域(0,

5、+)内是 增函数，所以它仅有一个零点，这个 零点所在的大致区间是（2，3）,解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象,4,1.3069,1.0986,例题 判断函数f(x)=lnx+2x6是否有零点，若有，求零点个数及零点所在的大致区间。,方程的根与函数的零点,解法二：估算f(x)在各整数处的值的正负,如果不借助计算机，也不利用计算器，你能否确定函数f(x)=lnx+2x6零点所在的大致区间？,方程的根与函数的零点,解法三:通过数形结合，把原函数的零点个数问题， 转化为讨论方程的根个数问题，再转化为两个简单 函数的图象交点个数问题.,y= lnx,y=2x +6,拓展提升： 你还有其它办法来确定函数f(x)=lnx+2x6零点所在的大致区间？,方程的根与函数的零点,课后思考： 函数 f(x)=lnx+2x6的零点在区间(1,3)内，能否进一步地缩小零点所在的区间范围，求出这个零点？,方程的根与函数的零点,评价反馈,1判断方程 有没有根，有几个根。,方程的根与函数的零点,几何画板展示,函数的图象是在R上连续不断的曲线，且 f(1)f(2)0 ，则f (x)在区间1,2上（ ）. A.没有零点 B. 有2个零点 C. 零点个数偶数个 D. 零点个数为k，,课堂小结, 函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图象连续