第一讲(电子的粒子性和波动性).ppt

1、材料物理性能,祝柏林 武汉科技大学 2011.9,材料：金属材料、无机非金属材料、高分子材料 物理性能：电、光、磁、热、声、辐射 力学性能,1.材料的电、介电、光、热、磁、弹性和内耗性能的物理本质。 2. 物性与材料的成分、组织结构、工艺过程的关系及变化规律。 物性随环境而变化 环境有温度、压力、电场、磁场、辐射、化学介质、力场等,课程的内容：,3.介绍与物理性能相关的特殊材料 功能材料 4. 介绍与这些物性相关的测试技术与分析方法,课程特点:,需具备的基础知识：大学普通物理、化学、物理冶金、晶体学 量子力学、理论物理、固体物理 难点：第1章 固体中的电子状态,课程安排：,授课周次：5-13

2、总 学 时：44 ；理论学时：36，实验学时：8 考核方式：？ 成绩组成：平时：20，考试：80 教材：材料物理性能， 田莳主编，北京航空航天大学出版社，2004年11月 参考书籍：无机材料物理性能， 关振铎等编著，清华大学出版社,第一章 固体中电子能量结构和状态,原子间的键合、晶体结构和电子能量结构与状态决定了材料的物理性能。 键合类型：金属键、离子键、共价键、分子键和氢键。 晶体结构复杂：有14种类型空间点阵 (Bravais点阵)。,键合、晶体结构、电子能量结构是理解和创新一种材料的物理性能的理论基础。,原 子 间 键 合,晶 体 结 构,固 体 的 电 子 能量结构和状态,材 料 物理

3、性能,其中电子的能量结构最为复杂。,思路：,电子的粒子性-霍尔效应 电子的波动性-德布罗意波假设 电子波动性的描述-薛定谔方程 波动的状态意味着什么-求解薛定谔方程,电子的运动到底有什么规律和特殊性？,本章将就固体中电子能量结构和状态作初步介绍，建立起现代固体电子能量结构观念，包括德布罗意波、费密狄拉克分布函数、禁带起因、能带结构及其与原子能级的关系，以及非晶态金属、半导体的电子状态等。,1927年10月，第五届索尔维会议,1.1.1 电子粒子性和霍耳效应 在1879年Edwin Hall发现的金属晶体中存在霍耳效应，证实了电子的粒子性。 霍耳效应：取一块金属导体放在与它通过的电流方向垂直的磁

4、场中，结果发现在横跨样品的两面产生一个与电流和磁 场垂直的电场。这种现 象称为霍耳效应。,1.1 电子的粒子性和波动性,所产生的电场称为霍耳场，用霍耳系数来表征。,霍耳场强度,由洛仑兹力公式知电子所受洛仑兹力为： f洛仑兹=B0ev 假设电子受力后产生的电场为匀强电场，前后两侧面平行，间距为h，则其场强为： E=U/h 故电子所受静电力为：F电=Ee=(Ue)/h,将F电=Ee=(Ue)/h 及 f洛仑兹=B0ev两式带入，得： E=B0v 或：U=hvB0,电子处于稳定状态时，电场力与洛仑兹力平衡，即： F电=f洛仑兹,代入 E=B0v ，得：,依定义，在面积为ds的截面面，电流强度I可以表

5、示为：I=nevds 依定义，电流强度I与电流密度Jx间的关系可表示为： Jx=I/ds 由此，可以得出：,霍耳场 表达式,综合 ，可以得到：,即霍耳场可表示为：,其中：Jx为沿x方向的电流密度； B0为磁场强度； n为电子密度。,上式说明： 霍耳系数只与金属中的自由电子有关。 霍耳效应证明金属中存在自由电子，它是电荷的载体。RH的理论计算与实测结果对于典型金属一致。,假设：金属的密度为，原子价为Z，原子摩尔质量为M，那么电子密度为：,N0为阿伏加德罗常数 6.021023/mol。,？问题： 根据计算，如果金属中只存在自由电子一种载流子，那么RH只能为负。但实际测量的结果却与之相反，RH为正

6、。实际结果说明金属晶体中的电子一定还有其它存在状态。,问题的提出： 19世纪末，人们确认光具有波动性，服从麦克斯韦(Maxwcll)的电磁波动理论。利用波动学说解释了光在传播中的偏振、干涉、衍射现象，但不能解释光电效应。 1905年爱因斯坦(Einstein)依照普朗克(Planck)的量子假设提出了光子理论，认为光是由一种微粒光子组成的。,1.1.2 电子的波动性,频率为的光，其光子具有的能量为: 式中：h = 6.6310-34JS，为普朗克恒量。 利用光子理论成功地说明了光的发射和吸收现象。,鉴于微观粒子光子所表现出的双重性 质波动性和粒子性，即波粒二象性。l924年法国物理学家德布罗意

7、(dc Broglie)认为“波粒二象性” 具有普遍意义，不局限于光，并提出物质波假说：一个能量为E、动量为P的粒子，既具有粒子性，同时也具有波动性，其波长由动量P确定，频率则由能量E确定。,式中：m为粒子质量。v为自由粒子运动速度。 由上式计算的波长，称为德布罗意波波长。,在相对论力学中运动物体的相对质量m、静止质 量m0及速度v间存在如下关系：,与该粒子相联系的平面单色波的波长又可表示为： 上式为实物粒子的德布罗意波长计算公式 。如果C，那么：,德布罗意关于物质波的假设，在1927年被美国贝尔电话实验室的戴维森(Davisson)和革末(Germer) 的电子衍射实验所证实。,500,Ni

8、,54v,从晶体表面相邻两原子(离子)所散射出来的波，如果在max方向上光程差为，就会相互加强，产生极大。可以算出54eV电子束相应波长：,再看由物质波波长方程式计算电子的波长： 电子质量 m9.110-31 kg，电子能量E54eV，则电子动量：,式中：1.610-19为电子伏特向焦耳的转换因子。,比较两个结果基本一致，说明德布罗意假设的正确性。 1928年以后的进一步实验证明：不仅电子具有波性，自然界中的一切微观粒子，不论它们的静止质量是否为零，都具有波粒二象性 ，包括如原子、分子、质子等都微观粒子，其波长与=h/p计算出来的完全一致，从而肯定了物质波的假说。,波粒二象性是一切物质(包括电

9、磁场)所具有的普遍属性。 例：一质量m=0.05kg的子弹，以速率=300m/s运动，其德布罗意波长为多少? 由此可见，对于一般的宏观物体，其物质波波长是很小的，很难显示波动性。,当加速电场很大时，电子的德布罗意波长可以比可见光波长短得多。因此，利用电子波代替可见光制成的电子显微镜能具有极高的分辨本领。,例：电子显微镜的应用,例：求静止电子经 200kV电压加速后的德布罗意波波长。,电子的德布罗意波波长很短，可放大200万倍。,例：电子显微镜的应用,纳米金刚石,Si 薄膜,透射电镜,微观粒子具有波动性。实验证明：电子的波动性就是电子波，是一种具有统计规律的几率波，决定电子在空间某处出现的几率。

10、在t时刻，几率波是空间位置(x,y,z)的函数，此函数写为(x,y,z,t)或由(r,t)，并称之为波函数。,1.1.3 波函数,电磁波理论认为光波可由电磁场的电场矢量E(x,y,z,t)和磁场矢量H(x,y,z,t) 描述。光在某处的强度与该处的|E|2或|H|2成正比。类似地，几率波强度应与|(r,t)|2成正比。因此，|(r,t)|2正比于t时刻粒子在空间(x,y,z)出现的几率。设t时刻空间某一点(x,y,z)小体积元dvdxdydz发现粒子的几率为dW，则：,称为概率密度，表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。 整个空间出现粒子的几率应等于一。故波函数还须满足：,另一方面，

11、在空间一很小区域(以体积元dV=dxdydz表征)出现粒子的概率可表示为：,说 明 波 函 数 要 满足归一化条件,则： 。 称为归一化波函数。,令：,此外，波函数还应满足单值、连续、有限等标准化条件。 上述为玻恩对波函数的统计解释。,波函数 本身不能和任何可观察的物理量直接相联系，但波函数 可以代表微观粒子在空间出现的几率密度。若用点子的疏密程度来表示粒子在空间各点出现的几率密度， 大的地方点子较密， 小的地方点子较疏，这种图形叫“电子云”。,电子双缝衍射实验：,7个电子,100个电子,底片上出现一个个的点子,电子具有粒子性。,来源于“一个电子”所具有的波动性，,而不是电子间相互作用的结果。

12、,随着电子增多，逐渐形成衍射图样,3000,70000,20000,如何理解电子的波粒二象性？,电子一个一个发射，重复实验，结果衍射花纹不变；,单个电子也具有“波动性”。,单个电子入射每次集中于一点，出现在屏上；,电子在屏上的落点是随机分布的，多次积累以后出现衍射花纹；,外界条件一定，重复实验，结果衍射花纹不变；,电子是一个完整的颗粒，不可分割。,在测量前具有不确定性，但是有一定的统计性。,电子在空间的统计分布是一定的。,而不是电子间相互作用的结果。,微观粒子的波粒二象性,粒子性（不是经典的粒子） ：“原子性”或“颗粒性”。即具有不与“粒子有确切的轨道”的概念相联系。 波动性（不是经典的波）：

13、波的“叠加性”，并不与某种实际的物理量在空间的分布相联系。,设想电子是绵延分布在空间的云状物“电子云”，则 是电子云的电荷密度。这样，电子在空间的几率密度分布，就是相应的电子云电荷密度的分布。当然电子云只是对电子运动波性的一种虚设图像性描绘，实际上电子并非真像“云”那样弥散在空间各处。但这样的图像对于 讨论和处理许多具体问题，特别是对于定性方法，很有帮助。,通过简谐振动、机械波和一维自 由粒子特例引入薛定谔方程。,1.1.4 薛定谔方程,简谐振动：物体在受到大小跟位移成正比， 而方向恒相反的合外力作用下的运动。,附：机械波的产生和传播 简谐波,机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波。就每一质

14、点来说，只是做振动，就全部媒质来说，振动传播形成机械波。产生机械波的条件是：具有波源和弹性媒质。 波动中真正传播的是振动、波形和能量；波形传播是现象，振动传播是实质，能量传播是波动的量度。,波速：一定振动状态（或相位）传播的速度，单位时间内一定振动位相在传播方向上传播的距离。用u表示。 波长：波动传播时，同一波线上两个相邻的位相差为2的质点之间的距离，即一个完整波的长度。用表示。,与机械波相关的基本概念：,波的周期：传过一个波长的时间，或一个完整波通过波线上某点所需要的时间。用T表示。 波的频率：单位时间内波动推进的距离中所包含的完整波长的数目，或单位时间内通过波线上某点的完整波的数目。用表示

15、。,角频率又称圆频率，用符号表示，它是人们在研究质点作匀速圆周运动的射影的运动规律时，发现质点的射影作的是简谐振动，而且质点圆周运动的角频率是其射影的简谐振动的频率的2倍，也就是在2秒内质点射影作的简谐振动的次数恰与质点的匀速圆周运动的角频率相对应，用公式表示为=2=2/T。这种方法叫参考圆法。角频度的单位是弧度/秒，单位符号rad/s。,在波传播的方向上单位长度内的波周数目称为波数(常写为k)，其倒数称为波长。k=1/。 理论物理中定义为: k=2/ 。意为2长度上出现的全波数目。角频率是单位时间内的角度变化，而波数为单位长度内的角度变化，因此波数即是空间上的角频率。波数对应矢量为波矢量。,

16、波矢是波的矢量表示方法。 波矢是一个矢量，其大小表示波数（|k|=2/），其方向表示波传播的方向。,简谐波运动学方程及物理意义,简谐波运动学方程是一个与时间t 和位置 x 的相关的函数，原点O的振动方程可表示为：,波线上距离O点x距离的某点P的相位落后于O点，则P点在时刻t的波动方程表示为：,而,初始相位差,2、t一定时，令t=t1，则质点位移y仅是x的函数。得到一余弦曲线，它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线。,1、x 一定时，令x=x1，则质点位移y仅是时间t的函数。,简谐机械波的波动方程,而,令0=0，A=y0 ，则有：,对于,结合德布罗意的物质波假说，推导薛

17、定谔方程。,在此，不考虑初始相位差。,令,自由粒子的 平面波波函数,德布罗意的物质波假说,结合德布罗意物质波假说,令,自由粒子的平面波波函数,一维自由粒子的波函数为：,对位移求二阶偏导：,一维自由粒子的波函数为：,对时间求一阶偏导：,这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程。,根据 ，,即：,得：,如果电子在确定的势场中运动，其薛定谔方程也可用类似的方法建立起来。在有势力场中粒子的总能量为：,将P=mv带入，得：,势场中一维运动粒子 薛定谔方程,基于一维粒子的薛定谔方程，对于在势场中作三维运动的粒子的薛定谔方程可以写成为：,令： ，称为拉普拉斯算 符，上式可以写成：,在定态问题中势函数不是时间的函数，即U可写成U(x,y,z)，故上式可以写成：,这就是势场中三维运动粒子的定态薛定谔方程。,依据分离变量法，波函数可以表示为：,得：,左边：,右边：,方程的左边只是空间坐标的函数，右边只是时间的函数，只