8常用算法的程序设计举例.ppt

1、1,第八章 常用算法的程序设计举例,第一章 算法,第二章 计算机和计算机程序,第四章 逻辑运算和选择结构,第五章 循环结构的实现,第六章 Fortran的数据结构,第七章 数据的输入、输出,第三章 Fortran语言程序设计初步,2,一、数值积分,几何意义：,3,近似求小曲边梯形面积的方法：,（1）用小矩形代替小曲边梯形；,（2）用小梯形代替小曲边梯形；,（3）在小区间范围内，用一条抛物线代替该区间内的f(x)。,4,read(*,*) a,b,n x=a h=(b-a)/n f0=exp(x) s=0.0 do 10 i=1,n si=f0*h s=s+si x=x+h f0=exp(x)

2、10continue write(*,100) a,b,n write(*,200) s 100format(1x,a=,f10.3,3x,b=, $ f10.3,3x,n=,i4) 200format(1x,s=,f15.8) end,1. 矩形法,5,read(*,*) a,b,n x=a h=(b-a)/n s=0.0 do 10 i=1,n si=(sin(x+(i-1)*h)+ $ sin(x+i*h)*h/2.0 s=s+si 10continue write(*,100) a,b,n write(*,200) s 100format(1x,a=,f10.3,3x, $ b=,f1

3、0.3,3x,n=,i4) 200format(1x,s=,f15.8) end,2. 梯形法,6,其他几种 程序变形,. . . f1=sin(a) . . . do 10 i=1,n f2=sin(a+i*h) si=(f1+f2)*h/2.0 s=s+si f1=f2 10continue . . .,. . . x2=a . . . do 10 i=1,n x1=x2 x2=x2+h si=(sin(x1)+ $ sin(x2)*h/2.0 s=s+si 10continue . . .,. . . f0=sin(a) h=(b-a)/n s=f0 do 10 i=1,n f=sin(

4、a+i*h) s=s+2.0*f 10continue s=(s-sin(b)*h/2.0 . . .,7,3. Sinpson法,取a，b中点c(a+b)/2，0)，通过f(a)，f(b)，f(c)三点可作唯一一条抛物线f1(x)。 根据抛物线定积分求值公式，有：,如果将(a，b)分成两个小区间(a，c) 和(c，b):,8,如果将(a，b)分成四个小区间:,如果将(a，b)分成n个小区间:,9,read(*,*) a,b,n h=(b-a)/(2.0*n) s=0.0 fa=1.0/(1.0+a) fb=1.0/(1.0+b) x=a+h f2=0.0 f4=1.0/(1.0+x) do

5、10 i=1,n-1 x=x+h f2=f2+1.0/(1.0+x) x=x+h f4=f4+1.0/(1.0+x) 10continue s=h/3.0*(fa+fb+4.0*f4+2.0*f2) write(*,100) a,b,n write(*,150) s 100format(1x,a=,f8.2,2x,b=,f8.2, $ 2x,n=,i4) 150format(1x,s=,f16.7) end,三种求定积分的方法中，矩形法的误差较大，梯形法次之，辛普生法最好。,10,二、解一元方程（解非线性函数）,1. 直接迭代法,read(*,*) x,m do 10 i=1,m x1=(-x

6、*3-2.0*x*x-2.0)/2.0 write(*,100) i,x1 if(abs(x-x1).gt.1e-6) then x=x1 else stop end if 10continue write(*,200) m 100format(1x,i=,i3,5x,x1=,f15.7) 200format(1x,computation has not, $ converged after,i4,iteration) end,因有收敛问题，要 设最大循环次数。,11,有的g(x)是收敛的，而有的g(x)是不收敛的。同一个g(x)，对某些x0是收敛的，对有的x0则是不收敛的。 如果g(x)具有

7、一阶导数连续，且对于所有的x，若|g(x)|q1（q为一个定数），那么x=g(x)对于任意的x0均收敛，且q愈小，收敛速度愈快。如果不满足对所有的x存在|g(x)|q1 ，则可能对有的x0收敛，对有的x0不收敛。 因此要恰当的选择g(x)形式和初值x0。,12,2. 牛顿迭代法,read(*,*) x n=1 10 x1=x f=x1*3-2.0*x1*2+4.0*x1+1.0 f1=3.0*x1*2-4.0*x1+4.0 x=x1-f/f1 write(*,100) n,x1,x n=n+1 if(abs(x-x1).gt.1e-6) goto 10 100format(1x,n=,i3,3

8、x,x1=,f15.7, $ 3x,x=,f15.7) end,13,3. 二分法,5read(*,*) x1,x2 f1=x1*3-6.0*x1-1.0 f2=x2*3-6.0*x2-1.0 if(sign(f1,f2).eq.f1) goto 5 10 x=(x1+x2)/2.0 f=x*3-6.0*x-1.0 if(sign(f,f1).eq.f) then x1=x f1=f else x2=x f2=f end if if(abs(x1-x2).gt.1e-5).and. $ abs(f).gt.1e-6) goto 10 if(abs(f).gt.1e-6) x=(x1+x2)/2

9、.0 write(*,100) x 100format(1x,x=,f15.7) end,14,4. 弦截法（割线法）,5read(*,*) x1,x2 f1=x1*3-2.0*x1*2+7.0*x1+4.0 f2=x2*3-2.0*x2*2+7.0*x2+4.0 if(sign(f1,f2).eq.f1) goto 5 f=1.0 20if(abs(x1-x2).gt.1e-5).and. $ abs(f).gt.1e-6) then x=x2-(x2-x1)/(f2-f1)*f2 f=x*3-2.0*x*2+7.0*x+4.0 if(sign(f,f1).eq.f) then x1=x f

10、1=f else x2=x f2=f end if goto 20 end if if(abs(f).gt.1e-6) x=(x1+x2)/2.0 write(*,100) x 100format(1x,x=,f15.7) end,15,以上方法都是近似求根，得到不是准确值而是近似值。但只要给定的误差足够小，就可以认为它们之间足够近似。 事实上，只有少数的方程才能用解析的方法求出准确的根值。 计算机可以解任何有实根的一元方程，它采用的基本方法就是迭代，经过多次迭代，使近似根逐渐趋近于真实根。迭代可以用循环实现，正好充分发挥计算机快速运算的特点。,16,三、求函数极值,Fibonacci搜索算法

11、，或0.618法，或黄金值搜索法。,17,f1=x1*x1-4.0*x1+5.0 f2=x2*x2-4.0*x2+5.0 if(f1.gt.f2) then f=f2 x=x2 else f=f1 x=x1 end if write(*,204) x,f 200format(12x,x1,14x,f1, $ 13x,x2,13x,f2/) 202format(1x,4f15.7) 204format(0,x=,f10.6,5x, $ f(x)=,f10.7) end,real low,high,x1,x2 read(*,*) low,high write(*,200) x1=low+0.618

12、*(high-low) x2=high-0.618*(high-low) 10if(high-low.gt.1e-4) then f1=x1*x1-4.0*x1+5.0 f2=x2*x2-4.0*x2+5.0 write(*,202) x1,f1,x2,f2 if(f1.gt.f2) then high=x1 x1=x2 x2=high-0.618*(high-low) else low=x2 x2=x1 x1=low+0.618*(high-low) end if goto 10 end if,18,五、计算机模拟,计算机模拟（Computer Simulation）,又称“仿真”：用计算机

13、模仿实物系统进行测试，从测试的结果获得期望的资料。,根据模拟对象的不同特点，可分为： 确定性模拟（Deterministic Mode）； 随机性模拟（Stochastic Mode） 。,19,小球以10m/s沿 45斜抛，落地反 弹方向同前，速度 减小10%，求前三 次周期轨迹。,20,if(abs(y).gt.0.001) then t=t-dt dt=0.1*dt t=t+dt x=v*t+x0 y=v*t-0.5*g*t*2 else write(*,100) t,x,y flag=.false. end if end if goto 5 end if v=0.9*v t=0.0 x0=x write(*,*) 10continue 100format(1x,t=,f8.4,3x,x=, $ f12.6,3x,y=,f12.6) end,logical flag parameter (g=9.8) read(*,*) v0,d t=0.0 x0=0.0 v=v0*cos(3.1415926/4.0) do 10 i=1,3 dt=d flag=.true. x=v*t+x0 y=v*t-0.5*g*t*2 5 if(fl