高中数学 1.3.1 利用导数判断函数的单调性学案 新人教B版选修

1、13.1利用导数判断函数的单调性1理解导数与函数的单调性的关系(易混点)2掌握利用导数判断函数单调性的方法(重点)3会用导数求函数的单调区间(重点、难点)基础初探教材整理函数的单调性与导数之间的关系阅读教材P24，完成下列问题用函数的导数判定函数单调性的法则(1)如果在(a，b)内，_，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；(2)如果在(a，b)内，_，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间【答案】f(x)0f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()(3)函数在某个区间上变化越快，

2、函数在这个区间上导数的绝对值越大()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型单调性与导数的关系(1)(2016武昌高二检测)函数yf(x)的图象如图131所示，给出以下说法：图131函数yf(x)的定义域是1,5；函数yf(x)的值域是(，02,4；函数yf(x)在定义域内是增函数；函数yf(x)在定义域内的导数f(x)0.其中正确的序号是()ABCD(2)设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图132所示，则导函数yf(x)的图象可能为()图132【精彩点拨】研究一个函数的图象与其

3、导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致【自主解答】(1)由图象可知，函数的定义域为1,5，值域为(，02,4，故正确，选A.(2)由函数的图象可知：当x0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.【答案】(1)A(2)D1利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单的多，只需判断导数在该区间内的正负即可2通过图象研究函数单调性的方法(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化

4、的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负再练一题1(1)设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是()ABCD(2)若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是()ABCD【解析】(1)A，B，C均有可能；对于D，若C1为导函数，则yf(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则yf(x)应为减函数，也不符合(2)因为yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的【答案】(1)D(2)A利用导

5、数求函数的单调区间求函数f(x)x(a0)的单调区间【精彩点拨】求出导数f(x)，分a0和a0求得单调增区间，由f(x)0时，令f(x)10，解得x或x；令f(x)10，解得x0或0x；当a0恒成立，所以当a0时，f(x)的单调递增区间为(，)和(，)；单调递减区间为(，0)和(0，)当a0(或f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0，可得x1.即函数f(x)exex，xR的单调增区间为(1，)，故选D.(2)函数的定义域为(0，)，又f(x)1，由f(x)10，得0x1，所以3x23.所以a3，即a的取值范围是(，3(2)令y0，得x2.若a0，则x2恒成立，即y0恒成立，

6、此时，函数yx3axb在R上是增函数，与题意不符若a0，令y0，得x或x.因为(1，)是函数的一个单调递增区间，所以1，即a3.1解答本题注意：可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f(x)0(或f(x)0)在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.2已知f(x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f(x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f(x)0(f(x)0)在(a，b)内恒成立，注意验

7、证等号是否成立再练一题3将上例(1)改为“若函数y在(1，)上不单调”，则a的取值范围又如何？【解】y3x2a，当a0，函数在(1，)上单调递增，不符合题意当a0时，函数y在(1，)上不单调，即y3x2a0在区间(1，)上有根由3x2a0可得x或x(舍去)依题意，有1，a3，所以a的取值范围是(3，)构建体系1函数yf(x)的图象如图133所示，则导函数yf(x)的图象可能是()图133【解析】函数f(x)在(0，)，(，0)上都是减函数，当x0时，f(x)0，当x0时，f(x)0.【答案】D2已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)f(e)f(3)Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(

8、e)f(2)Df(e)f(3)f(2)【解析】因为在定义域(0，)上，f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，所以有f(2)f(e)f(3)故选A.【答案】A3函数f(x)2x39x212x1的单调减区间是_【解析】f(x)6x218x12，令f(x)0，即6x218x120，解得1x2.【答案】(1,2)4已知函数f(x)在(2，)内单调递减，则实数a的取值范围为_. 【导学号：】【解析】f(x)，由题意得f(x)0在(2，)内恒成立，解不等式得a，但当a时，f(x)0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是.【答案】5已知函数f(x)ln x，g(x)ax22x，a0.若函数h(

9、x)f(x)g(x)在1,4上单调递减，求a的取值范围【解】h(x)ln xax22x，x(0，)，所以h(x)ax2.因为h(x)在1,4上单调递减，所以x1,4时，h(x)ax20恒成立，即a恒成立，所以aG(x)最大值，而G(x)21.因为x1,4，所以，所以G(x)最大值(此时x4)，所以a.当a时，h(x)x2.因为x1,4，所以h(x)0，即h(x)在1,4上为减函数故实数a的取值范围是.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1函数yxxln x的单调递减区间是()A(，e2)B(0，e2)C(e2，)D(e2

10、，)【解析】因为yxxln x，所以定义域为(0，)令y2ln x0，解得0x0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增故选C.【答案】C3若函数f(x)ax3x在R上是减函数，则()Aa0Ba1Ca2.则f(x)2x4的解集为() 【导学号：】A(1,1)B(1，)C(，1)D(，)【解析】构造函数g(x)f(x)(2x4)，则g(1)2(24)0，又f(x)2.g(x)f(x)20，g(x)是R上的增函数f(x)2x4g(x)0g(x)g(1)，x1.【答案】B5已知函数f(x)x3ax2x1在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是()A(，)，)B，C(，)(，)D(， )【解析】f(

11、x)3x22ax10在(，)上恒成立且不恒为0，4a2120a.【答案】B二、填空题6函数f(x)x2sin x在(0，)上的单调递增区间为_.【解析】令f(x)12cos x0，则cos x，又x(0，)，解得x0，得a21，解得a1.【答案】(，1)(1，)8若函数yx3bx有三个单调区间，则b的取值范围是_. 【导学号：】【解析】若函数yx3bx有三个单调区间，则y4x2b0有两个不相等的实数根，所以b0.【答案】(0，)三、解答题9(2016吉林高二检测)定义在R上的函数f(x)ax3bx2cx3同时满足以下条件：f(x)在(，1)上是增函数，在(1,0)上是减函数；f(x)的导函数是

12、偶函数；f(x)在x0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直求函数yf(x)的解析式【解】f(x)3ax22bxc，因为f(x)在(，1)上是增函数，在(1,0)上是减函数，所以f(1)3a2bc0.由f(x)的导函数是偶函数，得b0，又f(x)在x0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直，所以f(0)c1，由得a，b0，c1，即f(x)x3x3.10若函数f(x)x3mx22m25的单调递减区间是(9,0)，求m的值及函数的其他单调区间【解】因为f(x)3x22mx，所以f(x)0，即3x22mx0.由题意，知3x22mx0，解得x0或x9.故(，9)，(0，)是函数f(x)的单调递增区间综上所

13、述，m的值为，函数f(x)的单调递增区间是(，9)，(0，)能力提升1已知函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象如图135所示，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()图135【解析】由题图，知函数g(x)为增函数，f(x)为减函数，且都在x轴上方，所以g(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在增大，而f(x)的图象上任一点的切线的斜率都大于0且在减小又由f(x0)g(x0)，知选D.【答案】D2设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b)Bf(x)g(a)f(a)g(x)Cf(x)g(b)f(b)g(x)Df(x

14、)g(x)f(a)g(a)【解析】因为.又因为f(x)g(x)f(x)g(x)0，所以在R上为减函数又因为ax，又因为f(x)0，g(x)0，所以f(x)g(b)f(b)g(x)因此选C.【答案】C3(2016亳州高二检测)若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围为_【解析】f(x)3x22xm，由于f(x)是R上的单调函数，所以f(x)0或f(x)0恒成立由于导函数的二次项系数30，所以只能有f(x)0恒成立法一由上述讨论可知要使f(x)0恒成立，只需使方程3x22xm0的判别式412m0，故m.经检验，当m时，只有个别点使f(x)0，符合题意所以实数m的取值范围是m.法二3x22xm0恒成立，即m3x22x恒成立设g(x)3x22x32，易知函数g(x)在R上的最大值为，所以m.经检验，当m时，只