大学物理上册课件：第9章 机械振动和机械波

1、大学物理学,物体在某一位置附近所作的来回往复的运动。,机械振动：,振动在空间或媒质中的传播过程。简称为波。,波动：,机械振动在弹性媒质中的传播称为弹性波。,变化电场和变化磁场在空间的传播称为电磁波。,描述物体状态的物理量在某一数值附近随时间作周期性变化。,振动:,物体运动时，如果离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化，这种运动就称为简谐振动。,一、 简谐振动的特征和运动方程,以水平弹簧振子为例。,坐标原点O为平衡位置；取坐标轴x向右，所受弹性力为：,负号表示弹性力F的方向与位移的方向相反，始终指向运动物体的平衡位置，故称之为线性回复力。,1、受力特征,在线性回复

2、力作用下物体沿x轴围绕平衡位置O点作周期性往复运动。,（2）平衡位置是物体受力为零的位置。,（1）位移是相对平衡位置的。,2、动力学方程特征,由牛顿第二定律，有：,则有：,加速度与离开平衡位置的位移大小成正比，方向相反。,令：,简谐振动的动力学微分方程,注意： 仅由系统本身决定，与振动情况无关。,若某系统的运动规律满足上述微分方程，且 由系统性质决定，则该系统做简谐振动。,（该判断方法具有一般性，不仅适用于机械振动）。,3、运动学方程（振动方程）,由：,可解得：,或：,简谐振动是围绕平衡位置的周期运动。,A 振幅（ 离开平衡位置的最大距离）, 角频率（2秒内振动次数或单位时间相位改变）,相位（

3、 描述运动状态的量 ）, 初相位,1)、确定研究对象，分析受力。 2)、找出平衡位置（受合外力为零的点），写出回复力（或回 复力矩）的表达式。 3)、写出动力学方程 （利用牛顿第二定律或刚体定轴转动定律）。,4、简谐振动的判椐,1)、如果质点所受的力可以表示为：,2)、质点的位移与时间的关系可以表示为,或,则质点做简谐振动。,步骤：,5、简谐振动的速度和加速度,由：,1) v、a 与 x 的 相同。,2),4) 三者相位依次差/ 2 。,3) a 与 x 方向相反，且成正比。,2、描述简谐振动的特征量,(1) 振幅A 物体离开平衡位置的最大位移。,(2) 角频率 ,(3)相位( ) 和 初相,

4、(4)相位差,两个同频率的简谐振动：,同相,两振动步调相反。, 同相和反相,两振动步调相同。,反相, 超前和滞后,x2 比 x1 较早达到正最大。,x1 比 x2 较早达到正最大。,(5) 振幅和初相位的确定,由：,初始条件：,写为：,联立1)和2)式，得：,b）仅由 中之一不能决定 ，需由 其中两个方程可求出。,a） 尚需满足1）和 2）所决定的状态。,例题9-1 单摆：质量m，摆长l，试分析单摆的运动规律。,解：单摆受力如图所示。取逆时针方向为角位移的正方向，则重力沿摆球运动轨迹的切向分量为：,若 很小，则有：,即：,摆球的切向运动方程为：,其中：,单摆的周期：,例题 一长为 l 的均匀细

5、棒悬于其一端的光滑水平轴上，做成一复摆。此摆作微小摆动的周期为多少？,解：均匀细棒可看作刚体，分析所受力矩：取逆时针为正方向。,很小，则：,即：,由转动定律：,所以是简谐振动，其周期为：,例题9-4 一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。求此简谐振动的表达式。,解：质点作简谐振动，其振动方程及速度表达式分别为,由振动曲线可知,即,可以确定,则该简谐振动的表达式为,三、简谐振动的旋转矢量表示法, 振幅A,作坐标轴 O x , 自O 点作一矢量 OM ，用 表示 。,t 时刻 与x 轴的夹角 相位 t + ,以恒定角速度 绕O 点作逆时针转动 角频率,在t = 0 时与x 轴的夹角 初相 ,矢量

6、的端点M 在x 轴上的投影点P 的坐标为：,所P点的运动为简谐振动。,P点的速度和加速度分别代表着简谐振动的速度和加速度。,例题9-4、一作简谐振动的物体，其振动曲线如图所示。试写出该振动的表达式。,解：振动方程为,由振动曲线可知，振幅为,t = 0 时，,且其初始速度,作旋转矢量图。,可得其振动初相位为,又 t =1s 时，,由旋转矢量图可知：,则振动方程为：,例题9-5 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅 A = 0.12 m，周期T = 2 s，当 t = 0 时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06m ，此时向x 轴正向运动。求：(1)此振动的表达式。 (2)从初始时刻开始第一次通过平

7、衡位置的时间。,利用旋转矢量法求解，根据初始条件就可画出振幅矢量的初始位置，从而得到：,解 (1)取平衡位置为坐标原点。,设振动方程为：,(2) 由旋转矢量图可知，从起始时刻到第一次质点通过原点，旋转矢量转过的角度为：,v0 0 时， 在3，4象限。 v0 0 时， 在1，4象限。 x0 0 时，在2，3象限。,讨论：,四、 简谐振动的能量,2、简谐振动的势能,1、简谐振动的动能,3、简谐振动的总能量,(以弹簧振子为例),振动能量曲线如右图,1）Ep与 Ek 振幅相同，变化规律相同，周期相同，相位相反。,2）系统总能量守恒，与振幅的平方成正比，动能与势能相互转换，系统与外界无能量交换（无阻尼自

8、由振动系统）,3）EA2，这是一切振动形式的共同性质。,4、能量平均值,简谐振动系统的动能和势能在一个周期内的平均值相等，且等于总能量的一半。, 简谐振动的重要特征,一、同方向同频率简谐振动的合成：,合振动的运动方程：,合成结果仍为简谐运动 合振动与分振动在同一方向，且有相同频率。,讨论：,(1),(2),同相， 合振幅最大,反相， 合振幅最小,当A1 = A2 时，质点静止。,(3) 一般情况（相位差任意）,相位差在同频率简谐振动合成中起决定性作用,一、 机械波的产生,3、横波和纵波,(1)横波:传播方向与振动方向垂直（如：绳上波）,2、机械波产生的条件: (1)要有振源(波源)； (2)要

9、有传播振动的弹性媒质。,1、机械波:机械振动在弹性媒质中的传播。,(2)纵波:传播方向与振动方向平行（如：声波）,横波有波峰和波谷；只能在固体中传播。,纵波有疏部和密部；可在固体、液体和气体中传播。,由弹性力结合的连续媒质,注意：波动只是振动状态在媒质中的传播，不论横波还是纵波，在传播过程中，媒质中各质点并不随波前进，只是在各自的平衡位置附近振动。,(2)波前:某时刻在最前面的波面,(3)波射线:沿波的传播方向作的射线,简称波线,在各向同性均匀介质中，波线与波面垂直.,(1)波面:t 时刻相位相同的点组成的空间曲面(波阵面),4、波的几何描述波面、波线、波前,可用任意一条波线上的波动情况代表整

10、个波的传播情况。,二、 描写波动的物理量,横波: 相邻的两个波峰（或波谷）之间的距离; 纵波: 相邻的两个密部（或疏部）之间的距离。,波长反映了波的空间周期性。,1、波长:同一波线上相邻的、相位差为2的两质元间的距离。 即一个完整波形的长度.（ ）,2、周期：波前进一个波长的距离所需要的时间 ，或一个完 整的波通过波线上某一点所需要的时间（ T ）,周期反映了波的时间周期性。,3、频率：单位时间内波前进距离中所包含的完整波的数 目。（ ）,4、波速：在波动过程中，某一振动状态在单位时间内传播的 距离叫做波速，也称相速。（u ）,说 明：,3）波长由波源和媒质共同决定。同一频率的波其波 长将随媒

11、质的不同而不同。,2）波速的大小取决于媒质，与频率无关。,5、波程差对应的相位差,波线上相距为 的两点间的相位差 为,由于波线上单位长度对应的相位差为 ，所以：,在平面波的传播过程中，若波源作简谐振动，媒质中各质元均按余弦（或正弦）规律振动，则此平面波称为平面简谐波。,一、 平面简谐波的波函数,1、平面简谐波,2、波函数,波动过程中，各质元的位移 y 随时间 t 和质元所在空间位置 x 变化的函数关系称为波函数，又称为波的表示式。,x 表示不同质元在x轴上的坐标。 y 表示离开平衡位置的位移。,3、平面简谐波波函数的建立,在理想无吸收的均匀无限大媒质中，要建立平面简谐波的波函数，只要得到波线上

12、任意点的振动表达式即可。,要写出波线上任意点P 的振动表达式，可从点 P 与点 O 之间的波程差或时间差两个方面来考虑: （假设波沿x正方向传播）,（1）由波程差求波函数,点 P 的相位落后于点 O 的相位，落后的相位为：,设O点质元的振动方程为,则P点的振动方程为：,由于点P是任意一点，因此波动过程中任意一点的振动位移随时间的变化规律为,此即沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数。,（2）由时间差求波函数,点P的振动时间落后于原点O。振动从点O传到点P所需的时间为,P点在 t 时刻重复的是O点 t -t 时刻的振动状态：,波函数的不同形式,若波沿x轴负方向传播，则波函数的形式为：,二、 波函数的

13、物理意义,1、 x 确定时（x = x0）为该处质点的振动方程，对应曲线为该处质点振动曲线。,2、 t 确定时（t = t0）为该时刻各质点位移分布，对应曲线为该时刻波形图。,其中:,注意:波形图与振动曲线的区别。,3、 t, x 都变化时，表示不同时刻,不同平衡位置处各质元的位移情况，即所有质元位移随时间变化的整体情况 行波。,波形曲线(波形图),波函数描述了波形(相位)的传播，速度为u 在t时间内，整个波形以速度u向前推进了x=ut。,例题9-7、一平面简谐波沿x轴的正方向传播，已知其波函数为 (SI) 求：(1)波的振幅、波长、周期和波速；(2)媒质中质元振动的最大速度；(3) 画出t1

14、=0.0025 s 和 t2=0.005 s 时的波形曲线。,解: (1) 将已知的波函数写成标准形式,将上式与 比较，可得,(2) 媒质中质元的振动速度为,其最大值为,(3),t1=0.0025 s 时，波形表达式为,t2=0.005 s 时，波形表达式为,波形图如下所示：,例题9-8、一平面简谐波以400m/s的波速沿x轴正方向传播。已知坐标原点O处质元的振幅为0.01m，振动周期为0.01s，并且在t=0时刻，其正好经过平衡位置沿正方向运动。求：(1) 波函数；(2) 距原点2m处的质点的振动方程；(3) 若以2m处为坐标原点，写出波函数。,解：(1)由题意，原点处质元在 t=0 时，初

15、始位移 y0=0，初始速度v00，根据旋转矢量法得其初相位为,因此O点的振动方程为,所以其波函数为,(2)将x=2m代入波函数，得到2m处质点的振动方程为,解：(3)如果坐标原点设在2m处，则原点振动方程为：,所以新坐标下的波函数为,例题9-8、一平面简谐波以400m/s的波速沿x轴正方向传播。已知坐标原点O处质元的振幅为0.01m，振动周期为0.01s，并且在t=0时刻，其正好经过平衡位置沿正方向运动。求：(1) 波函数；(2) 距原点2m处的质点的振动方程；(3) 若以2m处为坐标原点，写出波函数。,例题、有一平面简谐波沿x方向传播，已知P点的振动规律为 ，在下列四种坐标选择下，写出波函数

16、及距 P 点为 b 的 A 点的振动方程。,解：四种情况下A点的振动都比P点落后，根据相位差可写出它们对应的波函数：（此时A点为任意点，坐标为x）,P、A间距为b时，四种情况下A点的振动方程均为：,A点相位比P点落后,例题9-10、一平面简谐波在t=0时的波形如图(a)所示，在波线 上x=1m 处质元P的振动曲线如图(b)所示。求该平面简谐波的波函数。,解: 由图(a)可得,由图(b)可得,由图(b)可知P点处质元在 t = 0 时向下运动，因此波是沿x轴负方向传播的。则对于O点处，t = 0 时：,由旋转矢量法可得O处质元的初相为:,所以波函数为,例题9-11、一平面简谐波在 t=1s 时的

17、波形如图所示。若已知波的振幅A、波速u 和波长，求：(1)该简谐波的波函数；(2)P点处质点的振动方程。,对于x=0处的质点，在 t=1s 时：,解：(1)由于波沿x轴负方向传播，设波函数为,由旋转矢量法：,所以波函数为:,(2) 将 代入波函数，得 P点处质点的振动方程为：,三、 波动方程,平面波波动方程,推广:,任何物理量 满足上式，则以波动形式传播。,四、 波的能量,1、波的能量：,以棒内简谐纵波为例：,细长棒，沿x轴放置，密度 、横截面为S。,任取质元dx，质元的体积为 ，质量为 。,设平面纵波的波函数为（设 ）：,则质元的振动速度为,质元的振动动能为,（1）质元的动能,（2）质元的势

18、能,波在传播过程中，质元不断受到相邻质元的挤压和拉伸而产生弹性形变，因而具有弹性势能。,假设在 t 时刻，质元左端的振动位移为y，右端的位移为y+dy，则质元的伸长量为dy，其应变为,根据胡克定律,( Y为杨氏模量),又,考虑到,可以得出,则质元的弹性势能为,将式代入，结合 ，整理可得质元的势能为：,（3）质元的总机械能:,（4）能量密度: （单位体积内波的能量）,（5）平均能量密度（能量密度在一个周期内的平均值）,所以，波动过程中，某个质元的动能和势能同时达到最大（平衡位置处），也同时达到最小（最大位移处），而总机械能随时间作周期性变化。,波动是能量传递的一种方式，能量以速度 u 传播。,一

19、、 波的叠加原理,当几列波在媒质中传播时：,不论是否相遇，各列波仍将保持其原有的频率、波长、振动方向等特征继续沿原来的传播方向前进，不受其它波的影响。,在几列波相遇处，质元的振动是各列波单独存在时对该 质元所引起振动的合成。,波的叠加原理,波传播的独立性原理,注意：波的叠加原理仅在弱波条件时成立，强冲击波 则不成立。,遵守叠加原理的波称为线性波，否则称为非线性波。,二、 波的干涉,1、干涉现象: 在一定条件下，两波相遇，在媒质中某些位置 的点振幅始终最大，另些位置振幅始终最小， 而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保 持不变，这种现象称为波的干涉现象。,2、产生干涉的条件：, 两波源具有恒定的

20、相位差。, 两波源的振动方向相同。, 两波源具有相同的频率。,满足上述条件的称为相干波。,3、干涉加强、减弱条件：,设有两个频率相同的波源S 1 和S 2,传播到 P 点引起的振动为：,在 P 点的振动为同方向同频率振动的合成。,由叠加原理，P 点合振动为：,其中：,干涉加强的条件,干涉减弱的条件,当两波源的初相位相同时，相干条件可写为：,干涉加强,干涉减弱,例题9-12、如图所示，S1和S2是两相干波源，相距1/4波长，S1比S2的相位超前 。设两列波在S1、S2连线方向上的强度相同且不随距离变化，问S1、S2连线上在S1外侧各点处的合成波的强度如何？又在S2外侧各点处的强度如何？,解：(1

21、) S1外侧各点以任意点M表示，两波在此相遇时的相位差为：,所以在S1外侧各点的合振幅A=0，波的强度也为零。,(2) S2外侧各点以任意点N表示，两波在此相遇时的相位差为：,所以在S2外侧各点的合振幅A=2A0，合振动强度:,为两波源单独存在时强度的4倍。,三、 驻波 （驻波是干涉的特例）,1、驻波: 两列振幅相同，而传播方向相反的相干波，其合成 波是驻波。,设有两列相干波，振幅相同，初相皆为零，分别沿 x 轴正、负方向传播，选初相位均为零的表达式为：,2、驻波的形成 :,其合成波称为驻波，其表达式 ：,整理可得：,驻波方程,各点作频率相同、振幅不同的简谐振动 。,3、驻波的特征：,（1） 波节和波腹：,波节：振幅为零的点称为波节。,波腹：振幅最大的点称为波腹。,两相邻波节间的距离 / 2。,两相邻波腹间的距离 / 2。,两相邻波节