高二数学多面体和正多面体 球的体积和表面积 人教版

1、江苏省苏州中学高二数学多面体和正多面体 球的体积和表面积【教学内容】第九章 直线 平面 简单几何多面体和正多面体 球的体积和表面积【教学目标】1、掌握多面体的有关概念和欧拉公式2、掌握球的有关概念、性质及球的体积和表面积的求法。【知识重点与难点】1、正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体；2、简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的关系满足欧拉公式V+F-E=2；3、球既是中心对称，又是轴对称的简单几何体，它的任何截面均为圆面；（1）球面被经过球心的平面截得的圆叫做大

2、圆；（2）球面被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆；球的截面有以下性质：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球半径R及截面半径r有下面的关系：4、在球面上，两点之间的最短连线的长度，是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫两点的球面距离。区别球面上两点A、B的直线距离与球面距离。球面距离的计算步骤：（1）计算线段AB的长；（2）计算A、B对球心O的张角AOB（写成弧度）（3）计算大圆弧AB的长（弧长等于圆心角的弧度数乘以半径）5、球的体积公式： （R为球半径） 球的表面积公式6、球的有关“接”与“切”的问题，常通过适当的轴截面化归为圆中问题解决。【典型

3、例题分析】例1：判断题（1）过球面上两个点，只能作一个大圆（）（2）球是与定点的距离等于定长的点的集合（）（3）地球的经线是地球的半个大圆（）（4）地球的纬线是地球的大圆（）解：（1）错。若这两个点恰好是球直径的两个端点，那么就可以作无数多少大圆。 （2）错。与定点的距离等于定长的点的集合是球面，球面所围成的几何体才叫球体（简称球） （3）对。 （4）错。点评：有关球的问题中常出现地球经纬度的问题。某地的经度就是过这点的经线与地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的度数。经线是半个大圆。某地的纬度是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数。纬线除赤道外均为小圆。例2：在北纬45线

4、上的A、B两点，点A在东经30，点B在东经120，若地球的半径为R，求A、B两地在球面上的最短距离？分析：A、B两地在球面上的最短距离就是A、B两点的球面距离，即过A、B的大圆在A、B间的劣弧的长度。因此关键要求出AOB的大小。若要求AOB只需求线段AB的长，而在AO1B中可求出AB的长。解：A在北纬45线上O1AO=45，A、B的经度差为90O2O1r2r1O2r2OAO1B=90RtAO1B中，AO1B中，AO1B=60A、B的球面距离为例3：用两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9，16，则这两平行平面间距离是。分析：不必画球的直观图，只需画出轴截面，将空间问题转化为平面问题。因为

5、球是对称的所以这两个截面可能在球的同侧或异侧。解：设O1半径为r1 r12=16 r1=4 O2半径为r2 r22=9 r2=3O O若两个截面在球心同侧，则两平行平面间距离O1O2=4-3=1若两个截面在球心异侧，则两平行平面间距离O1O2=4+3=7例4：在球面上有四个点P、A、B、C，若PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求球的表面积？分析：，关键求出球的半径R。此题需要画出球的直观图。由题意可知，ABC是正三角形，三棱锥P-ABC中，P在平面ABC内的射影O1是ABC的中心，也是截面ABC的圆心，OO1平面ABC。而且题中AO1可以求出。因此在RtPO1A和RtOO1

6、A中运用勾股定理即可。解：设球半径为R，作PO1平面ABC与O1，连接OO1、AO、AO1PA、PB、PC两两垂直，又PA=PB=PC=aAB=BC=CA= P在平面ABC内的射影O1是正ABC的中心，也是截面的圆心。OO1平面ABCP、O1、O共线ABC中，点拨：1、本题中要善于把已知条件转化为已熟练的棱锥中的问题。 2、此题中球O既是四面体PABC的外接球，也是棱长为a的正方体的上接球，由于正方体的对角线长为，故球O的半径为。例5：若球半径为R，则球的内接正方体与外切正方体的棱长之比为。分析：（1）球的内接正方体的8个顶点应落在球面上； （2）球的外切正方体的6个面都与球相切。 分别画出适

7、当的轴截面，（1）应取球正方体的对角面作轴截面；（2）如图应取A、B、C、D作截面。解：（1）中设正方体棱长为a，则 （2）中设正方体棱长为b，则b=2RA BD COA BD COB CO A DO a:b=1: (1) (2)A DB C点拨：几何体之间“接”与“切”的问题，必须明确“接”“切”的位置画出能体现元素间数量关系的截面，借助平面图形来研究。例6：三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6，其余各棱长为5，求出三棱锥的内切球的体积。分析：虽然知道三棱锥的各个面与球相切，但还是很难画出一个恰当的剖面来体现球的半径与三棱锥的棱长之间的关系。我们发现内切球的球心O到三棱锥的四个面的距离相等

8、均等于内切球半径R，因此考虑用三棱锥体积的不同求法来计算R。解：取CD中点E，连结AE、BE。BC=BD=5，E为CD中点BECD同理AECDCD平面ABEABE中，AE=BE=4各侧面全等，面积均为12，设内切球半径为R。点评：多面体如果有一个内切球（半经为R），多面体n个面的面积分别为S1、S2、S3Sn，把球心与多面体的顶点连结起来，多面体被分割成n个以表面为底面，R为高的小棱锥则多面体体积【同步练习】一、选择题1、半径为5的球被一平面所截，若截面圆的面积为16，则球心到截面的距离为（） A、4B、3C、2.5D、22、若球的表面积扩大为原来的2倍，则球的体积比原来增加了（） A、2倍B

9、、4倍C、2D、（2-1）倍3、圆柱形容器的内壁底半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面将下降（） A、B、C、D、4、设地球半径为R，在北纬30圈上有甲、乙两地，它们的经度相差120，则这两地的纬度线长为（） A、RB、2R C、R D、R5、半径为1的球面上有三点A、B、C，若它们的球面距离均为，则三棱锥O-ABC的表面积是（） A、B、 C、D、6二、填空题6、湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则这球的半径为。7、凸多面体的顶点数为V，面数为F，且各个面都是四边形，则V-F=。8、棱长

10、为a的正八面体的对角线长为。9、自半径为R的球面上一点Q作球的互相垂直的三条弦QA、QB、QC，则QA2+QB2+QC2=。10、四个半径为R的球两两外切，其中三个放在水平桌面上，第四个放在这三个之上，则第四个球的最高点离开桌面的高度为。三、解答题11、A、B、C是球O表面上三点，AB=6cm，ACB=30，点O到点A、B、C所在截面的距离为5cm，求球O的表面积。12、已知半径为R的球面上有两个不同的点A、B，A、B连线不过球心，AB=m，过A、B的所有截面圆中，面积最大的圆的面积是多少？最小的圆的面积是多少？13、把直径分别为6cm，8cm ，10cm的三个铜球熔制成一个较大的铜球，再把这

11、个铜球削成一个棱长最大的正方体，求正方体的表面积和体积。参考答案一、选择题1、B 设截面圆半径为r，则2、D 设球原来的半径为r，扩大后的半径为R，则 3、A 两小球的体积之和等于下降的水柱体积设下降xcm，则4、C 北纬30纬度圈半径为 这两地的纬度线长为纬度圈周长的，为5、B 设球心为O，半径R=1，AOB=，AB的球面距离为，同理：，三棱锥O-ABC中，OA=OB=OC=1，AB=BC=AC=，二、填空题6、13cm 设AB为空穴直径，AB=24，CD为球直径， CD=2R，CM=8， 由AM2=CMDM得122=8（2R-8） 得R=137、2 由题意，棱数代入欧拉公式V+F-E=V+F-2F=V-F=28、 由AC=AD=AE=AB，可得OC=OD=OE=OB 且BC=CD=DE=EB，因此 BCDE为正方形BD=CE=， 同理AF=9、把QA、QB、QC看作球内接长方体的三条棱 则QA2+QB2+QC2=(2R)2=4R210、2（1+）R 所求的高度为四个球的球心构成的正四面体的高再加上两个球的半径，正四面体O1-O2O3O4的高三、解答题：11、解：画出三棱锥O-ABC，OA=OB=OC=R，作OD平面ABC于D，连结CD，则D为ABC外心，CD为ABC外接圆半径，设为r，由正弦定理RtOCD中，R=OC=球O的