1-3核电子学基础

1、核电子学与核辐射仪器,覃国秀 Tel:核工系 2011/02/28,上次课关键点,时域分析与频域分析,本堂课主要内容：,信号与系统基础-拉普拉斯变换 1、概述 2、拉普拉斯变换 3、常用函数的拉普拉斯变换 4、拉普拉斯反变换 5、拉普拉斯变换性质,1、概述,拉普拉斯方法在电学、力学等许多科学领域中具有广泛的应用。尤其在电路理论的研究中，在相当长时间内，电路理论和工程方面，几乎无例外的使用拉普拉斯变换方法。从数学的角度看，拉氏变换方法是求解线性微分方程的工具，它的优点有： 1、使求解步骤简化，可同时得到特解和齐次解； 2、拉氏变换将“微积分”运算转化为“乘除法”运算；

2、3、有些不能用傅里叶变换的函数，可用拉氏变换； 4、拉氏变换可以把时域中的“卷积”运算变换为转换域中的乘法运算。,2、拉普拉斯变换,有些函数f(t)不满足绝对可积的条件，那是由于在时间t趋于无穷的时候，f(t)衰减的太慢。为了满足绝对可积的条件，可以用指数函数e-t去乘f(t)。如果取足够大的正值，则当t时，f(t)e-t将衰减较快，但这时若t-，e-t将起增幅的作用。因此，有必要在t=0的两侧取不同的衰减因子e-1t和e-2t，以使f(t)e-1t 和f(t)e-2t分别在t和t-的过程中都减幅。其一般表达式为,傅里叶变换,乘衰减因子,例：,1,2、拉普拉斯变换,上式如果令s=+j，则可得到

3、,其反变换为,以上就是拉普拉斯变换及其逆变换。,2、拉普拉斯变换,在电子技术中，所遇到的信号大多为有始函数，在t0的范围内其函数值为0，此时拉普拉斯变换及其逆变换为,单边拉普拉斯变换,2、拉普拉斯变换,拉普拉斯变换的收敛域 对某一函数，并不是所有的值，都能使f(t)e-t为有限值。即并不是在所有的值上，函数f(t)的拉普拉斯变换都存在，而是只有在值的一定范围内，f(t)e-t是收敛的。通常把使f(t)e-t满足绝对可积条件的值的范围称为拉氏变换的收敛域。,例：,求下列脉冲信号的收敛域。,0,s平面,（1）单位阶跃信号,（2）指数函数,答案：,3、常用拉普拉斯变换,阶跃函数,3、常用拉普拉斯变换

4、,指数函数,3、常用拉普拉斯变换,幂函数,使用分部积分法，得,则,3、常用拉普拉斯变换,正弦函数,同理，可求得余弦函数的拉氏变换为,3、常用拉普拉斯变换,冲激函数,4、拉普拉斯反变换,部分分式展开法 设F(s)为有理函数，由两个多项式之比表示，即,当F(s)为有理函数时，其逆变换的条件是mn。 当mn时，先要将上式化为真分式，然后再求其逆变换。,例：,4、拉普拉斯反变换,部分分式展开法 D(s)=0的根为实根且无重根 对D(s)进行因式分解得,将上式展开为n个简单分式之和，即,Ki为待定系数，为了确定它，上式两边乘以(s-pi)，再令s=pi，则,（1）,（2）,将上式代入（1）式，得,（3）

5、,求以下函数的原函数。,4、拉普拉斯反变换,部分分式展开法 D(s)=0的根包含共轭复根 设f(s)有一对共轭复根-j，则,其拉氏逆变换为,求以下函数的原函数。,4、拉普拉斯反变换,部分分式展开法 D(s)=0的根包含有重根 设D(s)=0有一个r次重根，则,为了确定K1r，将上式两边同乘以(s-p1)r，则,（4）,（5）,令s=p1，得,为了确定K1(r-1)，将（5）式两边对s求导，再令s=p1 ，得,依次类推，可分别求得系数K1r，K1(r-1) ，其一般公式为,求以下函数的原函数。,4、拉普拉斯反变换,围线积分法 像函数F(s)的拉氏反变换为,根据复变函数理论中的留数定理可知，若函数f(z)在区域D内除有限个奇点外处处解析，C为D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则,（6）,（7）,将（7）式中的f(z)换成像函数F(s)，则,式中，Respi是被积函数在s=pi处的留数。如果s=pi为单极点，则,如果s=pi为重极点，则,5、拉普拉斯变换性质,线性 时间平移,5、拉普拉斯变换性质,s域平移 尺度变换,如已知Lf(t)=F(s)，求下列函数的拉氏变换。,5、拉普拉斯变换性质,时域微分 时域积分,5、拉普拉斯变换性质,s域微分 s域积分,已知函数 ，试求 的像函数。,解法1：根据定义,解法2：根据微分性质,5、拉普拉斯变换性质,卷积定理,