模糊数学模型课件

1、暑期培训: 模糊数学刘云芬 2011.8.16,模糊综合评判,一、概述：什么是模糊数学,秃子悖论: 天下所有的人都是秃子,设头发根数n,n=1 显然,若n=k 为秃子,n=k+1 亦为秃子,模糊概念,模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线,年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨、礼品。,共同特点：模糊概念的外延不清楚。,术语来源,Fuzzy: 毛绒绒的，边界不清楚的,模糊，不分明，弗齐，弗晰，勿晰,模糊概念导致模糊现象,模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。,模糊性与精确性： 对立统一，相互依存，可互相转化 - 精

2、确的概念可表达模糊的意思： 如“望庐山瀑布” “飞流直下三千尺，凝是银河落九天” - Fuzzy的概念也能表达精确的意思： 如梵高的星夜向晶葵有乌鸦的麦田 模糊数学不是让数学变成模模糊糊的东西， 而是让数学进入模糊现象这个禁区，即用 精确的数学方法去研究处理模糊现象,模糊性与随机性的区别,事物 事物分确定性现象与非确定性现象 - 确定性现象：指在一定条件下一定会发生的现象 - 非确定性现象分随机现象与模糊现象 * 随机性是对事件的发生而言，其事件本身有着明确的含义， 只是由于发生的条件不充分，事件的发生与否有多种可能性 * 模糊性是研究处理模糊现象的，它所要处理的事件本身是模 糊的,模糊数学发

3、展简介,电气与电子工程协会,模糊数学的广泛应用性,模糊技术是21世纪的核心技术 模糊数学的应用几乎渗透到自然科学与社会科学的所有领域： 1）软科学方面：投资决策、企业效益评估、经济宏观调控等 2）地震科学方面：地震预报、地震危害分析 3）工业过程控制方面：模糊控制技术是复杂系统控制的有效手段 4）家电行业：模糊家电产品 5）航空航天及军事领域：指挥自动化系统 6）人工智能与计算机高技术领域：模糊推理机、F-C等 7）其它,国内外的研究现状,日本与欧美的模糊技术热 1 从八十年代起开展了模糊控制的研究与开发 2 九十年代日本兴起模糊控制技术是高新技术领域的一次革命 3 模糊产品给日本带来巨额利润

4、 4 日本模糊技术21世纪的长远规划（6个重点课题） 1）基础研究 2）模糊电脑 3）机器智能 4）人机系统 5）人与社会系统 6）自然系统,我国的模糊技术研究,70年代后期传到我国，起步晚，但发展快，与美国、法国、 日本“国际四强” 2) 理论研究居世界领先地位，但应用与发达国家有差距 3）“模糊技术产业化” 4) 近几年国内掀起了模糊控制技术的研究与开发热，成绩喜人 - 企业：大型家电集团已成功开发了国产模糊控制洗衣机 如： “小天鹅”，“海尔”，“小鸭”，“金羚” 等名牌智能洗衣机 - 研究所，高校：清华大学 北京师范大学 四川大学（刘应明院士） ,经典集合与特征函数,论域U中的每个对象

5、u称为U的元素。,概述：模糊集合及其运算,其中,函数 称为集合A的特征函数。,、模糊集合及其运算,1、模糊子集,模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：,（1）Zadeh表示法,这里 表示 对模糊集A的隶属度是 。,如“将一1,2,3,4组成一个模糊集合”可表示为,可省略,（3）向量表示法,（2）序偶表示法,若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：,例 设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为,也可用Zadeh表示法：,

6、还可用向量表示法：,A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).,另外，还可以在U上建立一个“矮个子”、“中等个子”、“年轻人”、“中年人”等模糊子集. 从上例可看出： (1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集,而经典子集是有限的； (2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观的. 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观的方法.,如：考虑年龄集U=0,100，A=“年老”，A也是一个年龄集，u = 20 A，40 呢？扎德给出了 “年老” 集函数刻画:,1,0,U,50,100,再如，B= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段

7、隶属于这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函数：,1,0,25,50,U,B（u）,2、模糊集的运算,定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义,相等：,包含：,并：,交：,余：,几个常用的算子：,（1）Zadeh算子,（2）取大、乘积算子,（3）环和、乘积算子,概述：模糊集合及其运算,（4）有界和、取小算子,（5）有界和、乘积算子,（6）Einstain算子,模糊集合及其运算,模糊集的并、交、余运算性质,幂等律：AA = A， AA = A； 交换律：AB = BA，AB = BA； 结合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C = A(BC) ； 吸收律：A(AB) = A，A( A

8、B)= A； 分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)； 0-1律： AU = U，AU = A； A = A，A = ； 还原律： (Ac)c = A ；,对偶律：(AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc；,对偶律的证明：对于任意的 xU (论域)， (AB)c(x) = 1 - (AB)(x) = 1 - (A(x)B(x) = (1 - A(x)(1 - B(x) = Ac(x)Bc(x) = AcBc (x),模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，除了排中律以外，即 AAc U， AAc . 模糊集不再具有“非此即彼”的特点，这正是模糊性

9、带来的本质特征.,例 设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集)，在U上定义两个模糊集： A =“商品质量好”， B =“商品质量坏”，并设,A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1). B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).,则Ac=“商品质量不好”, Bc=“商品质量不坏”,Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0). Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).,可见Ac B, Bc A.,又 AAc = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) U, AAc = (0.2, 0.45, 0, 0.3, 0)

10、 .,3、模糊矩阵,（1）模糊矩阵间的关系及运算,定义：设 都是模糊矩阵,相等：,包含：,模糊集合及其运算,并：,交：,余：,例：,模糊集合及其运算,（2）模糊矩阵的合成,例：,模糊集合及其运算,（3）模糊矩阵的转置,（4）模糊矩阵的 截矩阵,模糊集合及其运算,例：,模糊集合及其运算,三、隶属函数的确定,1、模糊统计法,模糊统计试验的四个要素：,模糊集合及其运算,特点：在各次试验中， 是固定的，而 在随机变动。,模糊统计试验过程：,（1）做n次试验，计算出,模糊集合及其运算,确定“青年人”的隶属函数,以人的年龄作为论域U，调查n个人选 请他们认真考虑“青年人”的含义后，提出自己认为“青年人”最

11、合适的年龄区间 对于确定年龄（如27），若n个人选中，有m个人的年龄区间覆盖27，则称m/n为27对于“青年人”的隶属频率 随着n的增加，隶属频率趋于稳定。,一个实验,在武汉建材学院进行大规模抽样调查，请被抽取的大学生给出“青年人”的区间 随机抽取129人的结果,27的隶属频率,稳定在0.78附近 A(27)=0.78,重复实验,用同样的方法 在另外两个单位做实验武汉大学，西安工学院 得到如下曲线,三所大学的调查,2、指派方法,3、其它方法,模糊集合及其运算,二、模糊聚类分析,、基本概念及定理,模糊聚类分析,例：设对于模糊等价矩阵,基于模糊等价关系的聚类,模糊聚类分析,例：设有模糊相似矩阵,模

12、糊聚类分析,二、模糊聚类的一般步骤,、建立数据矩阵,模糊聚类分析,（1）标准差标准化,模糊聚类分析,（2）极差正规化,（3）极差标准化,模糊聚类分析,、建立模糊相似矩阵,（1）相似系数法,夹角余弦法,相关系数法,模糊聚类分析,（2）距离法,Hamming距离,Euclid距离,Chebyshev距离,模糊聚类分析,（3）贴近度法,最大最小法,算术平均最小法,几何平均最小法,模糊聚类分析,3、聚类并画出动态聚类图,（1）模糊传递闭包法,步骤：,模糊聚类分析,模糊聚类分析,解：,由题设知特性指标矩阵为,采用最大值规格化法将数据规格化为,模糊聚类分析,用最大最小法构造 模糊相似矩阵得到,用平方法合

13、成传递闭包,模糊聚类分析,取 ，得,模糊聚类分析,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,取 ，得,取 ，得,模糊聚类分析,画出动态聚类图如下：,模糊聚类分析,模糊聚类分析的简要流程:,实例分析：,实例：松毛虫生态地理的模糊聚类,松毛虫的每个生态环境都具有一定的生态条件，它和气候、植被、土壤、地形、天敌等构成自然地理景观。,从湖南省38个县、市的考察资料中抽出8个地区的资料作为分类样本。从28个因子中选取了6个主要因子进行模糊聚类，现将原始资料列表如下：,第一步：数据标准化,首先，建立原始数据矩阵，对数据进行标准化处理，采用如下公式：,第二步：标定（建立模糊相似矩阵）,给论域X=1,2,3,4,5,

14、6,7,8中的元素两两之间都赋以0,1内的一个数，称为相似系数。利用如下夹角余弦公式：,现得到8个地区之间，受松毛虫侵害的受灾程度的相似矩阵如下：,应用传递闭包法，将模糊相似矩阵改造成模糊等价矩阵（略），得动态聚类图。,第三步：聚类（求动态聚类图）,现取=0.83，则可以分成三类： 常德、祁东、永兴(常灾区3、5、6)， 源陵、益阳、安仁(偶灾区4、8、1)， 龙山、茶陵(无虫区2、7),对于未知类型的地区（例如：兰山地区）欲知其属于那类？,预报：,我们可以将上述已经划分出的三类地区，以其各因子的平均值作代表，分别记为样本、。对未知地区作为样本。其生态地理因子列表如下：,各样本原始资料,重复前

15、面数据标准化、标定过程，并用传递闭包得模糊等价矩阵：,取=0.88，有,说明：兰山与祁东、常德、永兴的地理条件相同，应预报为 常灾区,作业题,为了了解儿童的生长发育规律，今随机抽样统计了男孩从出生到11岁每年平均增长的重量数据下表，试问男孩发育可分为几个阶段？,111岁儿童每年平均增长的重量,三、模糊模式识别,已知某类事物的若干标准模型，现有这类事物中的一个具体对象，问把它归到哪一模型，这就是模型识别.,模型识别在实际问题中是普遍存在的.例如，学生到野外采集到一个植物标本，要识别它属于哪一纲哪一目；投递员(或分拣机)在分拣信件时要识别邮政编码等等，这些都是模型识别.,模糊模型识别,所谓模糊模型

16、识别,是指在模型识别中,模型是模糊的.也就是说,标准模型库中提供的模型是模糊的.,模型识别的原理,为了能识别待判断的对象x = (x1, x2, xn)T是属于已知类A1, A2, Am中的哪一类？ 事先必须要有一个一般规则, 一旦知道了x的值, 便能根据这个规则立即作出判断, 称这样的一个规则为判别规则. 判别规则往往通过的某个函数来表达, 我们把它称为判别函数。 一旦知道了判别函数并确定了判别规则，最好将已知类别的对象代入检验，这一过程称为回代检验，以便检验你的判别函数和判别规则是否正确.,一最大隶属原则,最大隶属原则：,最大隶属原则：,模糊模式识别,模糊模式识别,例 细胞染色体形状的模糊

17、识别,细胞染色体形状的模糊识别就是几何图形的模糊识别,而几何图形常常化为若干个三角图形,故设论域为三角形全体.即 X=(A,B,C )| A+B+C =180, ABC 标准模型库=E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形),IR(等腰直角三角形),T(任意三角形).,某人在实验中观察到一染色体的几何形状，测得其三个内角分别为94,50,36,即待识别对象为x0=(94,50,36).问x0应隶属于哪一种三角形？,先建立标准模型库中各种三角形的隶属函数.,直角三角形的隶属函数R(A,B,C)应满足下列约束条件： (1) 当A=90时, R(A,B,C)=1; (2) 当A=180时,

18、 R(A,B,C)=0; (3) 0R(A,B,C)1.,因此，不妨定义R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90. 则R(x0)=0.955.,等腰三角形的隶属函数I(A,B,C)应满足下列约束条件：,(1) 当A = B 或者 B = C时, I(A,B,C )=1; (2) 当A = 180, B = 60, C = 0时, I(A,B,C ) = 0; (3) 0I(A,B,C )1.,因此，不妨定义 I(A,B,C ) = 1 (A B)(B C)/60. 则I(x0) =0.766.,等腰直角三角形的隶属函数 (IR)(A,B,C) = I(A,B,C)R (A,B,C);,(IR) (x0)=0.7660.955=0.766.,任意三角形的隶属函数 T(A,B,C) = IcRcEc= (IRE)c.,T(x0) =(0.766