高等数学随堂讲义高等数学第七版概率论

1、第二部分概 率,（一）事件的概率 （二）条件概率与事件的独立性 （三）随机变量及其分布 （四）随机变量的数字特征,（一）事件的概率,1、随机事件 2、概率的概念及性质 3、古典概型,1、随机事件,在随机试验中，对某些现象的陈述为随机事件（也简称事件）。 对于指定的一次试验，一个特定的事件可能发生，也可能不发生，这就是事件的随机性。,例1（p1），投掷一枚均匀骰子，观察朝上面的点数，我们关注“出现点数不大于4”这个事件（记之为A）。 当试验结果出现3点时，事件A发生； 当试验结果出现5点时，事件A不发生。 总之，在试验前，无法判断事件A是否发生。,事件的关系,（1） （B包含A）。 （2）A=B

2、（A与B相等）； （3）A与B互斥（A，B不能在一次试验中同时发生）,事件的运算,例7（p3）有两门火炮同时向一架飞机射击，考察事件A=击落飞机，依常识，“击落飞机”等价于“击中驾驶员”或者“同时击中两个发动机”，因此A是一个较复杂的事件，如记Bi=击落第i个发动机,i1,2，C=击中驾驶员，相对A而言，B1、B2及C都较A为简单。我们可以用B1、B2及C表示A A= B1B2C 这可以简化复杂事件A的概率计算。,事件的分解的要点是：正确使用事件的运算建立各简单事件之间的关系。,2、概率的概念及性质,概率是事件发生的可能性大小的度量 概率的统计定义频率的稳定值，常常用于概率的近似计算，是非常有

3、用的。但要注意，试验次数要足够多。,概率有以下性质,事件的加法公式及推广:对于任意事件A、B、C,有,概型的要求： 有限性：可能结果只有有限个； 等可能性：各个可能结果出现是等可能的。 概率的计算公式,3、古典概型,例1（p8）设有批量为100的同型号产品，其中次品有30件。现按以下两种方式随机抽取2件产品：（a）有放回抽取，即先任意抽取1件，观察后放回批中，再从中任取1件；（b）不放回抽取，即先任取1件，抽后不放回，从剩下的产品中再任取1件。试分别按这两种抽样方式求 （1）两件都是次品的概率； （2）第1件是次品，第2件是正品的概率。,解：容易验证满足古典概型的要求 记A=两件都是次品， B

4、 =第1件次品，第2件正品 只讨论有放回情况（不放回情况是类似的）， 计算样本点总数，注意随机抽取2件产品的试验可以看成有放回地二次抽取，每次取一件。而每次抽取均有100种可能结果，依计算原理，一共有n100*10010000种可能结果，此即样本点总数。,而构成事件A的样本点的条件必须每次抽取来自30件次品，因此每次有30种可能结果，k30*30900种可能结果，于是 同理，可得,例8（p13）设一年有365天，求下述事件A，B的概率： A n个人中没有2人生日相同； B n个人中至少有2人生日在同一天。 提示：由于每个人的生日可以是365天中的 任意一天，因此n个人的生日有365 种 可能结

5、果，这就是样本点总数。,n,为求事件A的有利样本点数，注意到为保证不同生日，必须且只须，除第一人外，其余的人的生日只能在365天中除去前面已选定生日的余下天数中随机挑选。因此有利于A样本点数 k365*364*（365-n+1） 又注意到事件A，B之间有关系BA，使用P(B)=1-P(A)直接可得P(B)，这一方法是十分常用的，读者须掌握。,（二）条件概率与事件的独立性,1、条件概率 2、全概率公式和贝叶斯公式 3、事件的独立性,1、条件概率,例2（p18）生命表 生命表是人身保险精算的重要依据，下表是美国1976年的部分生命表。,其中第3列的死亡率就是到达该年龄还存活条件下，在之后的一年内死

6、亡的条件概率。例如，为求50岁时的死亡率，记事件A个体在50岁存活，B 个体在50到51岁之间死亡，注意到此时AB=B，因而 所以，50岁人的死亡率为 这正好是第3列的第一个数字（须除以1000）,例3（p19）一批零件共100个，其中次品有10个，今从中不放回抽取2次，每次取1件，求第一次为次品，第二次为正品的概率。 解 记A第一次为次品， B 第二次为正品， 要求P(AB)，由乘法公式，先求P(BlA)及P(A) 已知P(A)=0.1，而P(BlA)90/99， 因此 P(AB) P(A)P(BlA)0.1*90/990.091,2、 全概率公式和贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，称P(A1)，

7、 ，P(An)为先验概率，而P(A1lB) ， ，P(AnlB)为后验概率，它表示在有了试验结果B已发生的附加信息下，对先验概率的修正。,例5（p20）血液化验 一项血液化验以概率0.95将带菌病人检出阳性，但也有1的概率误将健康人检出阳性。设已知该种疾病的发病率为0.5，求已知一个个体体检出阳性条件下，该个体确实患有此种疾病的概率。,此例的“结果”是血液化验检出是阳性，产生此结果的两个可能“原因”是：一带菌；二健康人。问题是从已知“结果”是由“带菌”产生的条件概率：P(带菌l阳性) 记B阳性，A1带菌， A2不带菌 已知 由Bayes公式得到,带菌 不带菌总和 阳性 0.95 1.99 2.

8、94 非阳性 0.05 197.01 197.06 总和 1 199 200 其中数字0.95，1.99是由假设条件及公式 0.951*0.95 1.99199*0.01 算出，因此已检出阳性条件下（总共2.94人），带菌（只有0.95人）的条件概率为,为什么验出是“阳性”，而事实上为“带菌”的概率如此小？以下是平均总数为200人的分类表：,3、 事件的独立性,例10（p25）保险赔付 设有n个人向保险公司购买人身意外险（保险期为1年），假定投保人在一年内发生意外的概率为0.01，求： （1）该保险公司赔付的概率； （2）多大的n使得以上的赔付概率超过0.5。 答案（1）10.99 （2）n6

9、85 本例表明，虽然概率为0.01的事件是小概率事件，它在一次试验中是实际不会发生的；但若重复做n次试验，只要n685，该小概率事件至少发生一次的概率要超过0.5，因此决不能忽视小概率事件。,n,n,（三） 随机变量及其分布,1、 随机变量的分布函数 2、离散型随机变量的分布 3、连续型随机变量的分布 4、二维随机变量的联合分布与边缘分布,1、随机变量的分布函数,2、离散型随机变量的分布,例5（p33）袋中有5个球，分别编号1,2, 5，从中同时取出3个球，以X表示取出的球的最小号码，求X的分布律与分布函数。 解：由于X表示取出的3个球中的最小号码， 因此X的所有可能取值为1,2,3，X1表示

10、3个球中的最小号码为1，那么另外两个球可在2,3,4,5中任取2个，这样的可能取法有 种；而在5个球中取3个球的可能取法共有 种，,例10（p38）设每分钟通过某交叉路口的汽车流量X服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率。 解 设X服从参数为的泊松分布，由题意知 P(X=0)=P(X=1) 可解得 1 因此，至少有两辆车通过的概率为 P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-2e,-1,3、连续型随机变量的分布,常用连续型分布,标准正态分布N(0,1)的密度函数图像,4、二维随机变量的联合分布和边缘分布,（四） 随机变量的数

11、字特征,1、 数学期望 2、 方差和标准差 3、 协方差和相关系数 4、 大数律和中心极限定理,1、数学期望,期望的性质,例5（p79）分赌本问题（point problem） 甲乙二人各有赌本a元，约定谁先胜三局赢得全部赌本2a元，假定甲、乙二人每一局的取胜概率相等。现已赌三局结果是：甲二胜一负。由于某种原因赌博中止，问如何分2a元赌本才合理？ 提示：如果甲乙两人平均分，对甲是不合理的；能否依据现在的胜负结果2：1来分呢？但仔细推算也是不合理的，当时著名数学家和物理学家Pascal提出一个合理的分法是：如果赌局继续下去，他们各自的期望所得就是他们应该分得的。,例11（p82）把n个球放进M只盒子，假定每只球落入各个盒子是等可能的，求有球的盒子数X的数学期望。,2、 方差和标准差,例有两批钢筋（每批10根）它们的抗拉强度为： 第一批 110，120，120，125，125，125，130，130，135，140 第二批 90，100，120，125，125，130，135，145，145，145 可计算出两批数据的平均数都是126，但直观上第二批数据比第一批数据与平均值126有较