CH1概率论基础新

1、2020/9/3,随机信号分析,任通菊,1,2,2020/9/3,本课程是通讯工程、网络工程和信息工程等多个专业方向所共有的一门重要学科基础课。讲述随机信号的基本概念，基本分析方法及其应用。基本内容包括：随机信号的基本概念、随机信号的概率特性和矩特性、随机信号的功率谱分析、随机过程的平稳性与各态历经性、随机信号与噪声通过线性系统、高斯与窄高斯随机过程等。,课程简介,3,2020/9/3,要求学生通过本课程学习掌握随机信号的基本理论与特性、随机信号的基本分析方法，培养学生用随机信号的分析方法分析问题、解决问题的能力。,课程目标,课程基础：概率论、信号与系统 后续课程：通信原理及从事统计信号处理研

2、究,4,2020/9/3,本课程对毕业要求的支撑,1.毕业要求3 掌握信号分析与信号处理的基本理论和方法,2.毕业要求9 在基础知识上具备扩展学习的能力，具有技术知识与课程内容的自学经历,5,2020/9/3,概率论基础 第一章 概率论基础 随机过程的基础理论 第二章 随机信号 第三章 平稳性与功率谱密度 第四章 各态历经性与随机实验 随机过程的应用 第五章 随机信号与线性系统 第六章 带通随机信号,本书内容安排(共32课时),6,2020/9/3,3.3节 3.4节 5.2节 （5.2.1 , 5.2.2） 5.3节 （5.3.1 , 5.3.2） 6.2节 （6.2.1 , 6.2.2 ,

3、 6.2.3 ） 6.3节 （6.3.1 , 6.3.2 , 6.3.3 ） 6.4节 （6.4.1 , 6.4.2 ）,自学章节,（要考试）,7,2020/9/3,成绩构成：,上课时间: 116周,考核方式: 一页纸开卷,答疑时间： 课前，课后，周五3、4节和下午,答疑地点： 科B楼 232,上课时间及考核方法,平时30% 期末70%,8,2020/9/3,参考书,1.随机信号分析 赵淑清 郑薇 编 哈工大出版社,2.随机过程 毛用才等编著 西安电子科技大学出版社,欢迎访问随机信号与系统课程网站38/wlxt/listcourse.asp?courseid

4、=0159,3.随机过程导论,2020/9/3,我命在我，不在天地。 天助自助者。 主动还是被动是成功与失败的关键。 梅花香自苦寒来。 听好每堂课，课后研读教材，做好每次作业。 学会读书，读专业书，读文学作品（修身养性）,与同学们共勉,9,2020/9/3,第1章 概率论基础,本章将复习与总结概率论的基本知识 也扩充一些新知识点，比如： 1) 利用单位阶跃函数、冲激函数表示离散随机变量的概率分布函数、概率密度函数； 2) 特征函数。,10,教学要求：掌握随机变量的概念、特点，掌握随机变量的分析方法；掌握随机变量的函数的分析方法，掌握特征函数的含义及运算及典型分布。,2020/9/3,1.1 概

5、率公理与随机变量 1.2 多维随机变量与条件随机变量 1.3 随机变量的函数 1.4 数字特征与条件数学期望 1.5 特征函数,11,讲 1.3.1 1.5.1,利用单位阶跃函数、冲激函数表示离散随机变量的概率分布函数、概率密度函数,2020/9/3,1.1 概率公理与随机变量,关于随机试验,确定性现象 ： 在一定条件下必然发生（或必然不发 生）的现象。,随机现象 ： 在条件相同的一系列重复观察中，会时而出现时而不出现，呈现出不确定性，并且在每次观察之前不能准确预料其是否出现，这类现象称之为随机现象。,12,2020/9/3,随机试验（Random Experiment）： 对随机现象做出的观

6、察与科学实验。 E,随机实验的特点： a.不唯一性 b.不确定性 c. 可重复性,样本点 （ Sample Point ）,把随机实验 E 的每一个基本可能结果称为随机实验的样本点，记为i 。,13,2020/9/3,随机事件（ Random Event ）,实验 E 中满足一定条件的样本点的集合称为随机事件,是的子集。记为 A , B , ,每个样本点称为基本事件，样本空间是必然事件，是不可能事件。,14,随机实验的全部样本点构成的集合，称为随机实验的样本空间，记为 ,样本空间 （Sample Space ）,2020/9/3,概率,事件是随机的。赋予事件一个出现可能性的度量值，称为概率（P

7、robability）。 常由相对频率（Relative frequency）来计算，,15,2020/9/3,1.1.2 随机变量 Random Variable（R.V.）,（1）定义 若定义在样本空间上的单值实函数 ，将随机实验的基本可能结果i与实数xi对应起来，有如下函数关系： 则 称为随机实验E中的随机变量，简记为X。,1.随机变量定义：,X 的取值范围称为值域或状态空间,R.V.一般用大写字母 X, Y , Z , ,16,2020/9/3,（2）类型：,连续RV (C.R.V. ) ：X 的取值连续，对应无穷多个样本点,离散RV (D.R.V. ) : X 的取值离散，状态可能有

8、限或无限,状态,混合RV (M.R.V. ) : X 的取值离散或连续,1,2,i,X(),x2,xi,x1,样本空间,随机变量,随机变量值域,17,2020/9/3,随机变量不同于普通变量在于其随机性，表现在两点上： 变量可以有多个取值，并且永远不能预知它到底会取哪个值； 变量取值是有规律的，这种规律用概率特性来明确表述； 因此，凡是讨论随机变量就必然要联系到它的取值范围与概率特性。,18,2020/9/3,2. 随机变量的概率分布函数(概率累积分布函数) Probability Distribution Function,定义,即，F(x) 是R.V.X.落在区间 上的概率。,19,3.

9、随机变量的概率密度函数 Probability Density Function,定义,复习：概率分布函数、概率密度函数的性质及计算等相关概念,2020/9/3,D.R.V.的 F(x) 用单位阶跃函数表示,20,2020/9/3,21,D.R.V.的 f(x) 用单位冲击函数表示,2020/9/3,例1.4 均匀骰子实验：定义R.V.X的取值为,解：,是离散型的，分布律描述最为方便：,状态,概率,或者采用列表,22,2020/9/3,分布与密度函数，,或,23,2020/9/3,1.2 多维随机变量与条件随机变量,1.2.1 多维随机变量(随机向量),各 R.V.之间可能有一定的关系, 也可

10、能没有关系 即 相互独立,1,2,i,X1() X2() XK(),X1(),多维映射,X2(),XK(),X1,X2,XK,24,2020/9/3,1. 二维随机变量 (X,Y)及其分布,联合概率分布函数 ：,联合概率密度函数 ：,25,类似概率的乘法规则,2020/9/3,令： ，有,D.R.V.,26,复习：二维、多维概率分布函数、概率密度函数的性质及计算等相关概念,2020/9/3,27,2020/9/3,例1.5 某电子系统有部件A1和A2 , 状态：normal与false，,随机变量X1和X2 ：,求： (1)系统工作情况的样本空间和随机向量(X1,X2)的联合状态空间 (2)

11、A1和A2 独立时，计算(X1,X2)的概率密度函数,28,2020/9/3,X1和X2的联合状态空间,解: (1)系统状况的样本空间,29,2020/9/3,A1和A2 独立时，取值概率：,30,2020/9/3,的概率密度函数,作业：1.9 1.11,31,32/93,2020/9/3,2. n维随机变量及其分布,设有n维随机变量,n维（联合）分布函数为:,n维（联合）密度函数为：,2020/9/3,33,1.3 随机变量的函数,函数形如,或,构成从样本空间到实数域的复合映射，导致新的随机变量。,34,2020/9/3,定理1.1: 已知R.V.X 的 , 现有R.V. 。,设X与Y之间的

12、关系是单调的，并且存在反函数，即 ，,若反函数的导数 h(Y) 也存在，则,B为Y的值域,对于连续型随机变量，有:,1.3.1 一元函数,2020/9/3,35,解：反函数为 ,反函数的导数为1/a , 于是,例1.11 已知随机变量 的密度函数，求随机变量 的密度函数。,2020/9/3,设已知二维随机变量(X,Y)的 f (x , y)，现有,且反函数的二阶偏导存在，则,设函数映射是单调的,反函数存在,雅可比行列式,36,1.3.2 二元函数,2020/9/3,例1.13 已知 X、Y的联合概率密度，求 Z=X+Y 的密度函数,解：定义辅助变量 U = Y , 则,可得：,如果X与Y独立：

13、,37,作业：1.16,2020/9/3,例1.15 复随机变量 ，其实部与虚部独立，且 ， ，讨论振幅R与相位的概率特性。,1.3.3 瑞利与莱斯分布(自学),解：函数、反函数关系与雅可比行列式，,，,38,2020/9/3,于是，,边缘概率密度函数为：,瑞利分布,根据X与Y独立，有,39,2020/9/3,均匀分布,40,2020/9/3,0,0,41,2020/9/3,1.4 数字特征与条件数学期望,1.4.1 R.V.X的数学期望（统计平均或集合平均）,连续随机变量:,离散随机变量:,expectation , mean,42,2020/9/3,1.4.2 矩与联合矩,k阶矩（Mome

14、nt）与(k+r)阶联合矩（或混合矩）（Joint moment）如下，,1) 原点矩：,2) 中心矩：,43,2020/9/3,几个重要的矩,(2) 随机变量X的方差 Variance,方差描述了R.V.偏离均值的程度,(1) 均方值,44,随机变量的标准差:,2020/9/3,(3) 相关矩 relation,45,(4) 协方差矩 Covariance,有：,2020/9/3,(5) 相关系数,的数值越大，随机变量 和 关联程度越大。,表示X和Y是线性相关的,表示X和Y是彼此无关的,01 ， 正相关 1 0 ， 负相关,46,作业：1.14,2020/9/3,随机变量的统计特性：,概率特

15、性,矩特性,特征函数（矩发生函数 ）,1.5 特征函数,47,2020/9/3,1. 基本概念,定义1.2： 随机变量X的特征函数（Characteristic function）定义为,式中 ， 为确定的实变量。,1.5.1 (一维)特征函数,48,2020/9/3,离散随机变量 X,连续随机变量 X,且,49,2020/9/3,特征函数与概率密度函数的关系,（是一个特殊的变换对）,可以通过傅立叶变换求特征函数与概率密度函数变换对,定理1.5（唯一性定理）密度函数 与特征函数 相互唯一确定。,说明： 特征函数 必定存在，通常是复数，以另外一种方式全面地描述着随机变量的概率特性。,50,202

16、0/9/3,例1.21 求参数为 的指数分布的特征函数。,解：,51,2020/9/3,补充例 随机变量的特征函数为 ，求其概率密度函数 。,解：由题知 X 为离散R.V.,即：,52,2020/9/3,2. 基本性质,性质1. 独立随机变量之和的特征函数是它们各自特征函数之积，即,且：,53,2020/9/3,证：,54,2020/9/3,解： ，其中， 是独立同分布的，服从01分布，且 ， 。,例1.20 求二项分布 的特征函数。,55,2020/9/3,性质2. 随机变量的线性变换的特征函数,设随机变量X的特征函数为 ，a和b为确定实数。则随机变量 Y=aX+b 的特征函数为,证明： Y 的特征