高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线 2.2.1 抛物线及其标准方程导学案 北师大版选修

1、2.2.1抛物线及其标准方程学习目标1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程问题.知识点一抛物线的定义思考1如图，在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉链D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.这是一条什么曲线，由画图过程你能给出此曲线的定义吗？答案平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直

2、线l叫作抛物线的准线.思考2抛物线的定义中，l能经过点F吗？为什么？答案不能，若l经过点F，满足条件的点的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于l的一条直线.梳理(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线.(2)焦点：点F.(3)准线：直线l.知识点二抛物线的标准方程思考1抛物线方程中p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？答案p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线的方程中一次项决定开口方向.思考2抛物线标准方程的特点？答案(1)原点在抛物线上；(2)对称轴为坐标轴；(3)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(4)准线与对称轴垂直，垂足与焦点

3、关于原点对称；(5)焦点、准线到原点的距离都等于.思考3已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？答案一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正，则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上.焦点确定，开口方向也随之确定.梳理抛物线的标准方程有四种类型图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)焦点坐标准线方程xxyy类型一抛物线定义的解读例1方程表示的曲线是()A.圆 B.椭圆 C.线段 D.抛物线答案D解析，它表示点M(x，y)与点F(3，1)的距离等于点M到直线xy30的距离，且点F(3，1)不在直线上.根据抛物线

4、的定义，知此方程表示的曲线是抛物线.反思与感悟根据式子的几何意义 ，利用抛物线的定义，可确定点的轨迹，注意定义中“点F不在直线l上”这个条件.跟踪训练1若动圆与圆(x2)2y21相外切，又与直线x10相切，则动圆圆心的轨迹是_.答案抛物线解析由题意，动圆圆心到定圆圆心的距离比它到直线x10的距离大1，故动圆圆心的轨迹是以(2，0)为焦点，x2为准线的抛物线，其方程为y28x.类型二抛物线的标准方程及求解命题角度1抛物线的焦点坐标或准线方程的求解例2已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程.(1)y26x；(2)3x25y0；(3)y4x2；(4)yax2(a0).解(1)由方程y26x，知

5、抛物线开口向左，2p6，p3，所以焦点坐标为(，0)，准线方程为x.(2)将3x25y0化为x2y，知抛物线开口向下，2p，p，所以焦点坐标为(0，)，准线方程为y.(3)将y4x2化为x2y，知抛物线开口向上，2p，p，所以焦点坐标为(0，)，准线方程为y.(4)抛物线方程yax2可化为x2y，当a0时，2p，p，故焦点坐标是(0，)，准线方程是y.当a0)的准线与曲线x2y26x70相切，则p为()A.2 B.1 C. D.答案A解析注意到抛物线y22px的准线方程为x，曲线x2y26x70，即(x3)2y216，它表示圆心为(3，0)，半径为4的圆.由题意得4.又p0，因此有34，解得p

6、2，故选A.命题角度2求抛物线的标准方程例3求满足下列条件的抛物线的标准方程.(1)过点(3，2)；(2)焦点在直线x2y40上；(3)抛物线的焦点F在x轴上，直线y3与抛物线相交于点A，|AF|5.解(1)当抛物线的焦点在x轴上且过点(3，2)时，可设抛物线方程为y22px(p0)，把(3，2)代入得222p(3)，p，所求抛物线方程为y2x.当抛物线的焦点在y轴上且过点(3，2)时，可设抛物线方程为x22py(p0)，把(3，2)代入得(3)22p2，p，所求抛物线方程为x2y.综上，所求抛物线方程为y2x或x2y.(2)直线x2y40与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，2)，故

7、抛物线的焦点为(4，0)或(0，2)，当抛物线的焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y22px(p0)，4，p8，抛物线方程为y216x.当抛物线的焦点为(0，2)时，设抛物线方程为x22py(p0)，2，p4，抛物线方程为x28y.综上，所求抛物线方程为y216x或x28y.(3)设所求焦点F在x轴上的抛物线的标准方程为y22px(p0)，A(m，3).则由抛物线的定义得|AF|5，点A在抛物线上，(3)22pm，从而可得p1或p9.所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.反思与感悟抛物线标准方程的求法(1)定义法：建立适当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，

8、根据定义求出p，最后写出标准方程.(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值.跟踪训练3根据下列条件，求抛物线的标准方程.(1)焦点为(2，0)；(2)焦点到准线的距离是4；(3)过点(1，2).解(1)焦点在x轴的负半轴上，2，即p4.所以抛物线的方程是y28x.(2)p4，抛物线的方程有四种形式：y28x，y28x，x28y，x28y.(3)方法一点(1，2)在第一象限，要分两种情形讨论：当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y22px (p0)，则222p1，解得p2，抛物线方程为y24x；当

9、抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x22py(p0)，则122p2，解得p，抛物线方程为x2y.方法二设所求抛物线的标准方程为y2mx或x2ny，将点(1，2)代入，得m4，n，故所求的方程为y24x或x2y.类型三抛物线在实际生活中的应用例4河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？解如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设抛物线方程为x22py(p0).由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，故p

10、，得x2y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA.又知船面露出水面上的部分高为0.75 m，所以h|yA|0.752(m).所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通航.反思与感悟涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解.跟踪训练4某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长.解如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x22py(p0). 依题意知，点P(10，4)在抛物线上，所以1002p(4)，2p25.即抛物线方程为x2

11、25y.因为每4米需用一根支柱支撑，所以支柱横坐标分别为6，2，2，6.由图知，AB是最长的支柱之一.设点B的坐标为(2，yB)，代入x225y，得yB.所以|AB|43.84，即最长支柱的长为3.84米.1.抛物线y2x0的开口()A.向上 B.向下 C.向左 D.向右答案C解析抛物线方程y2x0可化为y2x.2.抛物线y28x的焦点坐标和准线方程分别为()A.(1，0)，x1 B.(2，0)，x2C.(3，0)，x3 D.(4，0)，x4答案B解析抛物线y28x的焦点坐标为(2，0)，准线方程为x2.3.已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则抛物线方程可以为()A.y2x B.y22xC.x

12、23y D.x26y答案D解析由题意知p3，故选D.4.抛物线x28y上的点M到x轴的距离为6，则点M与抛物线的焦点间的距离为_.答案8解析由抛物线定义可得|MF|68.5.分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)准线方程为y3；(2)抛物线与椭圆1的一个焦点相同.解(1)准线方程为y3，则3，p6，所以抛物线的标准方程为x212y.(2)椭圆1的焦点坐标为F1(1，0)，F2(1，0)，所以抛物线的标准方程为y24x.1.焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2mx(m0)，此时焦点坐标为F(，0)，准线方程为x；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2my(m0)，此时焦点

13、为F(0，)，准线方程为y.2.设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫作抛物线的焦半径.若M(x0，y0)在抛物线y22px(p0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|x0.40分钟课时作业一、选择题1.已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则A点的坐标为()A.(1，1) B.(1，1)C.(1，1) D.(1，0)答案B解析由抛物线的定义，可得|AF|x0，|AF|x0，x0x0，x01.把x01代入y2x，得y1，y01，点A的坐标为(1，1).2.已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(

14、1，1)，则该抛物线焦点坐标为()A.(1，0) B.(1，0)C.(0，1) D.(0，1)答案B解析抛物线y22px(p0)的准线方程为x.由题设知1，即p2，故焦点坐标为.故选B.3.动点到点(3，0)的距离比它到直线x2的距离大1，则动点的轨迹是()A.椭圆 B.双曲线C.双曲线的一支 D.抛物线答案D解析已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.4.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A.4 B.2 C.4或4 D.12或2答案C解析由题可设抛物线的标

15、准方程为x22py(p0).由定义知点P到准线的距离为4，故24，p4，x28y.将点P的坐标代入x28y，得m4.5.当a为任意实数时，直线(2a3)xy4a20恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是()A.x232y或y2xB.x232y或y2xC.y232x或x2yD.y232x或x2y答案C解析直线方程可化为3xy2a(2x4)0，由得定点P的坐标为(2，8)，利用排除法知C正确.6.已知点A(2，3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A. B.1 C. D.答案C解析因为抛物线C：y22px的准线方程为x，且点A(2，3)在准线上，故2，

16、解得p4.所以抛物线方程为y28x，焦点F的坐标为(2，0)，这时直线AF的斜率kAF.7.从抛物线y24x图像上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线焦点为F，则MPF的面积为()A.10 B.8 C.6 D.4答案A解析设P(x0，y0)，|PM|5，x04，y04，SMPF|PM|y0|10.二、填空题8.已知椭圆x2ky23k(k0)的一个焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该椭圆的离心率是_.答案解析抛物线的焦点为F(3，0)，椭圆的方程为1，3k39，k4，离心率e.9.抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是_.答案解析抛物线方程化为x2y，

17、准线为y.由于点M到焦点的距离为1，所以M到准线的距离也为1，所以M点的纵坐标等于1.10.设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF的斜率为，那么|PF|_.答案8解析如图所示，直线AF的方程为y(x2).与准线方程x2联立，得A(2，4).设P(x0，4)，代入抛物线y28x，得8x048，x06.|PF|x028.三、解答题11.已知O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，求POF的面积.解抛物线C的准线方程为x，焦点F(，0)，由|PF|4及抛物线的定义知，P点的横坐标xP3，从而yP2，SPOF|OF|yP|22.12.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程.解方法一设所求抛物线方程为x22py(p0)，则焦点F的坐标为(0，).因为M(m，3)在抛物线上，且|MF|5，故解