自动控制理论课件5-5

1、系统开环频率特性曲线靠近(-1,j0)点的程度表征了系统的相对稳定性。它距离(-1,j0)点越远，闭环系统的相对稳定性越高。,系统的相对稳定性通常用相角裕度和幅值裕度Kg 来衡量。,5.4.4 系统的相对稳定性和稳定裕度,（1）相角裕度,（2）幅值裕度Kg和对数幅值裕度h,开环幅相曲线上：幅值等于1的矢量与负实轴的夹角。,开环对数频率曲线上：当幅频特性为0(dB)时，相频特性与 线之间的角度差。,开环幅相曲线上：幅相曲线与负实轴交点处幅值的倒数。,开环对数频率曲线上：当相频特性为 时，对数幅频特性的负值 。,说明：,对于一个稳定的最小相位系统，其相角裕度应为正值，幅值裕度应大于1（或大于0分贝

2、）。,确定系统的相对稳定性时，应当同时给出相角裕度和幅值裕度。但在粗略估计系统的瞬态响应指标时，有时主要对相角裕度提出要求。,保持适当的稳定裕度，可以预防系统中元件性能变化可能带来的不利影响。为了得到较满意的瞬态响应，一般相角裕度应当在3060之间，而幅值裕度应大于6db。,稳定的一阶和二阶系统，其相角裕度为正值，幅值裕度为无穷大。,例5-17 一单位负反馈控制系统，其开环传递函数为,试分别求（1）K=0.1，（2）10，（3）1000时，系统的相角裕度和幅值裕度的分贝值。,解：,令,解得,例 一单位负反馈控制系统，其开环传递函数为,试确定相位裕度为45的K值。,解：,当 时，应有,例 单位负

3、反馈系统的开环频率特性数据如下：,（1）求幅值裕度和相位裕度； （2）系统幅值裕度为20dB时，求增益K应变化的倍数； （3）系统相位裕度为50o时，求增益K应变化的倍数。,5.5 利用频率特性分析闭环系统的性能,利用系统的开环频率特性分析闭环系统的性能,利用系统的开环频率特性求出闭环频率特性，再根据闭环频率特性分析闭环系统的性能,时域和频域性能指标的关系和性能指标的估算,5.5.1 开环对数幅频特性与闭环系统性能的关系,对于最小相位系统，开环对数幅频特性与相频特性是对应的，可以只用开环对数幅频特性分析闭环系统的性能。,将开环对数幅频特性分为三个频段,低频段： 中频段： 附近的区段 高频段：,

4、介绍 “三频段” 的概念：,低频段：反映了闭环系统的稳态性能,中频段：反映了闭环系统动态性能（快速性、平稳性）,高频段：反映了闭环系统抗高频干扰的能力,低频段：,低频段通常是指20lg|G(j)|的渐近线在第一个转折频率以前的区段，低频段的特性完全是由开环传递函数中积分环节个数 和开环增益K决定的，反映了闭环系统的稳态性能。在稳定的条件下，低频段斜率越负、位置越高，稳态精度越高。,中频段：,中频段是指开环对数幅频曲线20lg|G(j)|在截止频率c附近(或0分贝附近)的区段，这段特性集中反映了闭环系统动态响应的平稳性和快速性。下面在假定闭环系统稳定的条件下，对两种极端情况进行分析。,(1)如果

5、20lg|G(j)|曲线的中频段斜率为-20，且占据的频率区间较宽,系统的动态性能相当于一阶系统。其阶跃响应没有振荡，平稳性好；调节时间ts=3/c，截止频率c越高，ts越小，系统的快速性越好。,(2)如果20 lg|G(j)|曲线的中频段斜率为-40，且占据的频率区间较宽,若只从动态性能分析，可近似认为整个开环特性为-40的直线，其对应的开环传递函数为：,对于单位反馈系统，闭环传递函数为：,这相当于零阻尼的二阶系统。系统处于临界稳定状态，动态过程持续振荡。,若只从动态性能分析，可近似认为整个开环特性为-20的直线。其对应的开环传递函数为：,对于单位反馈系统，闭环传递函数为：,因此，中频段斜率

6、如果是-40或更陡，所占频率区间不宜过宽。否则，%及ts显著增加。通常希望中频段的斜率为-20且占据较宽的频带,以期得到良好的平稳性；而以通过提高c来保证快速性的要求。,高频段：,高频段是指20lg|G(j)|曲线在中频段以后(10c)的区段,这部分特性是由系统中小时间常数的环节决定的，由于远离c，一般分贝值又较低，故对系统的动态响应影响不大。,由于高频段20lg|G(j)|0，|G(j)|1，故对单位负反馈系统，有：,在高频段，开环与闭环对数幅频特性近似相等，直接反映了系统抑制输入端高频干扰的能力。高频段的分贝值越低，系统的抗干扰能力就越强。,注意：用三频段概念分析系统是在闭环稳定的前提下使

7、用的。,5.5.2 由开环频率特性求闭环频率特性,单位负反馈系统闭环传递函数：,闭环频率特性：,绘制闭环频率特性一般采用工程图解方法：,等M圆图和等N圆图,尼柯尔斯图,：根据开环幅相曲线求闭环幅频、 相频特性的工具图,：根据开环对数幅相曲线求闭环幅频、 相频特性的工具图,等M圆图,令,两边平方,整理后得,如果 ，上式为,如果 ，上式为,直线,每给一个M对应一个圆,等M圆的使用： 将 曲线重叠在具有相同比例尺的等M圆上，根据 曲线与等M圆的交点，确定 。,当 与某一M圆相切不再进入更深的区域，相切M圆的M值就是闭环幅频特性的峰值 ，切点处的 就是峰值频率 。,等N圆图,令,即,每给一个N对应一个

8、圆,整理后得,两边同时加上,等N圆的使用： 将 曲线重叠在具有相同比例尺的等N圆上，根据 曲线与等N圆的交点，确定 。,尼柯尔斯图,闭环频率特性：,所以,单位负反馈系统的开环频率特性：,尼柯尔斯图线： 以 为纵坐标， 为横坐标，计算出坐标平面上每一点对应的M（dB) 值和 （度）值，将M相同的点连接起来， 相同的点连接起来，得到两簇曲线。尼柯尔斯图线就是等M线和等 线图。,尼氏图的使用,根据单位负反馈系统的开环对数幅相曲线，在尼氏图上确定闭环对数幅频和相频曲线。,说明：,一般查尼氏图的范围：,对于非单位反馈系统，由于闭环频率特性,1. 先由 在尼氏图上求出,2. 再求,由于,输入一定幅值的零频

9、(=0)信号，即直流或常值信号，若M(0)=1，则表明系统响应的终值等于输入，静差为零。如M(0)1，表明系统有静差。,零频振幅比M(0),谐振峰值是指闭环幅频特性的最大值,与谐振峰值相对应的频率称为谐振频率。,闭环谐振峰值 和谐振频率,频带,是指幅频特性M()的数值衰减到0.707 M(0)时所对应的频率。 大，则一方面表明系统重现输入信号的能力强，这意味着系统的快速性好；另一方面系统抑制输入端高频声的能力就弱。,频带宽，峰值小，过渡过程性能好。这是稳定系统动态响应的一般准则。,闭环频域性能指标,5.5.3 时域指标和频域指标的关系,时域指标： 调节时间,超调量,静态误差系数,开环频域指标：

10、 相角裕度,幅值裕度,截止频率,常用的性能指标有,二阶系统频域指标与时域指标的关系,谐振频率,带宽频率,截止频率,相角裕度,超调量,调节时间,谐振峰值,高阶系统频域指标与时域指标的关系,谐振峰值,超调量,调节时间,式中,一阶系统频域指标与时域指标的关系,本章小结,频率特性是线性定常系统对不同频率的正弦信号的稳态响应特性。频率特性是线性定常系统的数学模型之一，可以由系统的其它数学模型（传递函数、微分方程等）方便地转换，或用实验法来确定。,2. 频域法是一种图解的方法。在工程分析和设计中，通常把频率特性画成一些曲线，这些曲线包括幅频特性和相频特性曲线，幅相频率特性曲线，对数频率特性曲线以及对数幅相

11、曲线等，其中以幅相频率特性曲线，对数频率特性曲线应用最广。在绘制对数幅频特性曲线时，可用简单的渐近线近似地绘制，必要时可进行修正。,3. 对于最小相位系统，幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，根据对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数。,5. 根据系统的开环频率特性曲线，利用等M圆图和等N圆图、或者尼柯尔斯图，可以求得系统的闭环频率特性。,6. 对于最小相位系统，根据开环对数幅频特性三频段特性，可以分析闭环系统的性能。也可以由开环频率特性求得闭环频率特性，再根据闭环频率特性分析闭环系统的性能。,4. 利用乃奎斯特稳定判据和对数频率稳定判据，可根据系统的开环频率特性来判断闭

12、环系统的稳定性。系统的相对稳定性用稳定裕量定量表示。稳定裕量包括相角裕量和幅值裕量。,7. 在系统的开环频率特性和闭环频率特性曲线上，可分别定义开环频域指标和闭环频域指标。根据频域指标可以估算系统的一些时域性能指标。,应用MATLAB绘制频率特性,设系统的开环传递函数为：,1. 用MATLAB函数绘制幅相曲线 （乃奎斯特曲线）,函数调用方式：,函数调用后直接在屏幕上显示幅相曲线。 向量w包含了用户要分析的以弧度/秒表示的各个频率点,MATLAB会自动计算这些点的频率响应。若没有指定w向量，则该函数自动选择频率向量进行计算。,函数运行后不在屏幕上产生图形，而是将计算结果返回到矩阵re、im和w中

13、。矩阵re和im分别表示频率响应的实部和虚部，它们都是由向量w中指定的频率点计算得到的。,num=4; den=1,3,2; nyquist(num,den),解： MATLAB程序如下：,运行结果：,2. 用MATLAB函数绘制对数频率特性 （博德图）,函数调用方式：,向量w包含了用户要分析的以弧度/秒表示的各个频率点,MATLAB会自动计算这些点的频率响应。若没有指定w向量，则该函数自动选择频率向量进行计算。,当命令不包含左端返回变量时，函数运行后会在屏幕上直接画出博德图。如果命令表达式的左端含有返回变量，bode()函数将返回w指定频率点上的幅值和相角，相角是以度来表示的，幅值为增益值（

14、不是分贝值）。这时屏幕上不显示频率响应图。,例5-21 设单位反馈系统的开环传递函数为,利用MATLAB软件绘制其开环对数频率特性曲线。,解：,n=4; d=1 3 2 0; bode(n,d) grid,MATLAB程序如下：,运行结果：,3. 用MATLAB函数计算稳定裕度,函数调用方式：,返回的变量对（Gm, Wcg）为幅值裕量的值与相应的相角穿越频率，而（Pm, Wcp）则为相位裕量的值与相应的幅值穿越频率。若得出的裕量为无穷大，则其值为Inf，这时相应的频率值为NaN(表示非数值)。,如果已知系统的频率响应数据，还可以由下面的格式调用此函数。,其中(mag, phase, w)分别为频率响应的幅值、相位与频率向量。,例 已知