结构力学-第四章-结构位移计算-3

1、31,结构力学,Structural Mechanics,周 强,土木工程学院风工程试验研究中心 E-mail：,第4章 静定结构的位移计算,概论 变形体系的虚功原理 位移计算的一般公式 单位荷载法 静定结构在荷载作用下的位移计算 图乘法 静定结构温度变化时的位移计算 静定结构支座移动时的位移计算 线弹性结构的互等定理,4-1,4-2,4-3,4-4,4-5,4-6,4-7,4-8,4-6 静定结构温度变化时的位移计算,一、概述,图示简支梁上、下边缘温度分别升高t1和t2，求任一截面K 任意方向的位移。,静定结构在温度变化、杆件制造误差情况下不产生内力，但材料热胀冷缩及制造误差引起的变形，可使

2、结构产生符合约束条件的自由位移，这类位移仍可采用变形体系的虚功原理。,二、计算公式,虚拟状态的外力和内力,实际状态的位移和变形,设温度沿杆件截面高度线性分布，即在发生温度变形后，截面仍保持为平面，剪切变形 。建立虚拟状态，由变形体虚功原理：,4-6 静定结构温度变化时的位移计算,实际状态微段上的变形 和 ：,杆轴处的温度：,微段ds轴向变形、两端面转角,4-6 静定结构温度变化时的位移计算,单位力弯矩图中该杆弯矩图的面积。,单位力轴力图中该杆轴力图的面积。,正负符号取决于虚功是正功还是负功。 若杆的轴心处的温度t0 是升高，而单位力轴力图中该杆受拉力，则此杆的内力虚功为正功，此项取正号，反之取

3、负号。 若温度变化t使杆弯曲而某侧受拉，而单位力弯矩图中该杆的弯矩也使该侧受拉，则虚内力做正功取正号，反之为负号。,4-6 静定结构温度变化时的位移计算,例1: 图示刚架，各杆均为矩形截面，截面高h=40cm，截面形心位于截面高度1/2处。l=4m设刚架内部温度上升10外部下降20。线膨胀系数=110-5，试求D点的竖向位移。,解 (1) 在D点作用一向上的单位力F=1，作弯矩图 和轴力图,4-6 静定结构温度变化时的位移计算,(2)计算 D点的竖向位移。,两侧的温度差为,有,杆轴线处的温升值为,4-6 静定结构温度变化时的位移计算,例2: 图示桁架，受日照均匀温升30。求C点竖向位移。,解：

4、在C点作单位力并求出各杆轴力 。,己知各杆 t0= 30,t = 0,故,4-6 静定结构温度变化时的位移计算,制造误差引起的位移计算：,每个上弦杆加长8mm,求由此引起的A点竖向位移。,4-6 静定结构温度变化时的位移计算,一、计算公式,静定结构仅考虑支座移动时不产生内力和变形，属刚体系位移计算问题，可沿待求位移位移方向虚拟广义单位力建立虚拟状态，采用刚体虚功原理。,A,B,C,实际状态,4-7 静定结构支座移动时的位移计算,设力状态中支座反力为 ，支座实际位移为 ，由刚体系虚功方程：,A,虚拟状态,符号规定： 、 方向一致，乘积为正，反之为负。,如 支座向下移动 ，欲求C点竖向位移，建立图

5、示虚拟状态。,4-7 静定结构支座移动时的位移计算,例3: 三铰刚架如图所示，若支座A下沉C，求BD柱的转角。,解：(1) 在BD柱上作用单位力矩M =1，求支座反力。,(2) 代入公式计算得：,结果得正值表示柱的转角方向与所假定的单位力矩的方向相同。,4-7 静定结构支座移动时的位移计算,例4: 图示刚架右边支座的竖向位移By=0.06m(向下)，水平位移Bx=0.04m(向右)，已知l=12m，h=8m。试求由此引起的A端转角A,4-7 静定结构支座移动时的位移计算,1. 功的互等定理,F1作用下产生的内力和变形称为第一状态，F2作用下产生的内力和变形称为第二状态。,先加F1然后加F2的情

6、况，整个加载过中系统做的总功为,表示由编号为j 的力引起i点的位移。,先加F2后加F1，整个过程中系统做的总功为,4-8 线弹性结构的互等定理,因为线弹性体系做功与加荷的次序无关，有,故得,虚功互等定理：状态的力在状态的位移上做功等于状态的力在状态的位移上做功。,4-8 线弹性结构的互等定理,由功的互等定理 可推出位移互等定理,2. 位移互等定理,令功的互等定理中的力F1=F2=1 ,则有,位移互等定理：由单位荷载F1 引起的与荷载F2相应的位移21，在数值上等于由单位荷载F2引起的与荷载F1相应的位移12。这里用小写的字母表示单位力引起的位移。,在一般情况下位移互等定理可写成：,4-8 线弹

7、性结构的互等定理,注意：位移互等定理适用于广义力及其对应的广义位移。,上图表示了两个状态的线位移12 与21互等。,上图表示了线位移12数值上等于角位移21。,4-8 线弹性结构的互等定理,3. 反力互等定理,第状态，支座1产生单位位移 1V=1而引起支座反力k11 和 k21 。,第状态，支座2产生单位位移2V=1而引起支座反力k12 和 k22,4-8 线弹性结构的互等定理,由功的互等定理，第状态的力在第状态的位移上做虚功 ，等于第状态的力在第状态的位移上做虚功 。故有,即,一般情况下可写成,4-8 线弹性结构的互等定理,支座i由于支座j发生单位位移所引起的支座反力kij，等于支座j由于支

8、座i发生单位位移而引起的支座反力kji。,注意：反力互等定理也适用于其他广义力的互等。,例： k12 是反力矩， k21是反力，两者互等只是数值上互等。,4-8 线弹性结构的互等定理,4. 反力位移互等定理,单位广义力引起的结构中某支座的反力等于该支座 发生单位广义位移所引起的单位广义力作用点沿其 方向的位移，但符号相反。-反力位移互等定理,4-8 线弹性结构的互等定理,小 结 本章讨论了虚功原理以及应用虚功原理来求解结构的位移。虚功原理又分为虚位移原理和虚力原理，它们都是虚功原理的具体应用。前者用于求内力和反力，后者用于求位移。在应用虚功原理时要涉及两个量：力系和位移。这两者是彼此无关的，但

9、却需满足一定的条件。力系必须是平衡的；位移必须是符合约束条件的、无限小的连续位移。由于力与位移两者彼此无关，因此可以虚设一组力系(虚力原理)，让它在实际的结构位移上做功, 列出虚功方程，从中求出未知位移。,这就是虚力原理表达的虚功方程。也就是位移计算的一般公式最基本的形式。,小结,位移和变形( )是结构在给定条件下所具有的. 是实际的位移状态。力系( )则是虚设的。 虚拟力系的设置应当根据所求位移来相应的设置，并根据需要求出其相应的反力和内力。,变形(, )是泛指的，若是荷载引起的则代入公式(6.3.3) 即导出公式(6.5.2）。若是温度引起的，则代入公式(6.3.1a) 、(6.7.1a) 和(6.7.2b)即导出温度变化引起的位移计算公式(6.7.3a)。 若计算支座移动引起的位移，则因静定结构因支座位移不会引起结构变形，只会引起结构的刚体位移, 这时=0 。公式等号右边前一项为零，只剩后一项. 这就是公式(4.7.4)。,小结,虚功原理本身适用于任何变形体，