固体物理复习考点

1、1 以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为：晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度， 设 n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度=（1） 对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为 晶胞内包含1个原子，所以 = （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为晶胞内包含2个原子，所以=（3）对面心立方晶体，任一个原子有

2、12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为，1个晶胞内包含4个原子，所以=.（4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，晶胞内的原子O与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高 h=晶胞体积 V= ,一个晶胞内包含两个原子，所以 =.（5）对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处

3、的O原子与中心在1，2，3，4处的原子相切，因为 晶胞体积 一个晶胞内包含8个原子，所以 =.5证明在立方晶体中，晶列与晶面（）正交，并求晶面() 与晶面()的夹角。 解答设d 是为晶面族（）的面间距 ，n为法向单位矢量，根据晶面族的定义，晶面族（）将 a,b, c分别截为 等份，即an=acos(a,n)=hd,bn=bcos(b,n)=kd,cn=ccos(c,n)=ld于是有 n=i+j+k=(hi+kj+lk)其中,i ,j,k 分别为平行于a,b,c 三个坐标轴的单位矢量，而晶列 的方向矢量为R=hai+kaj+lak=a(hi+kj+lk)由（1），（2）两式得n=R即n与R 平行

4、，因此晶列与晶面（）正交。对于立方晶系，晶面() 与晶面() 的夹角，就是晶列 R=a+b+c与晶列R=a+b+c的夹角，设晶面 ()与晶面 () 的夹角为 由RR= =得 7试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k面心立方正格子的原胞基矢可取为由,可得其倒格矢为设与晶轴a,b,c 平行的单位矢量分别为i,j,k ,体心立方正格子的原胞基矢可取为以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子， 这说明面心立方的倒格子是体心立方。将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式 则得其倒格子基矢为 可见体心立方的倒格子是面

5、心立方。11.试求质量为，原子间距为，力常数交错为，的一维原子链振动的色散关系。当时，求在和处的，并粗略画出色散关系。解：下图3.3给出了该一维原子链的示意图a2m 22112 x2n-2 x2n+1 x2n x2n+1 x2n+2 x2n+3 图3.3在最近邻近似和简谐近似下，第2n和第（2n+1）个原子的运动方程为 （1）当时，上述方程组（1）可变为 （2）为求格波解，令 （3）将（3）式代入（2）式，可导出线性方程组为 （4）令，从，有非零解的系数行列式等于零的条件可得 （5）由（5）式可解出当时，当时，其色散关系曲线如下图3.4所示：12.如有一维布喇菲格子，第个原子与第个原子之间的力

6、常数为；而第个原子与第个原子的力常数为。（1） 写出这个格子振动的动力学方程；（2） 说明这种情况也有声学波和光学波；（3） 求时，声学波和光学波的频率；（4） 求（为晶格常数）时，声学波和光学波的频率。解：（1）此题与（11）题基本相似，在最近邻近似和简谐近似下，同样可以写出第和第个原子的动力学方程为 （1）（2）为求出方程组（1）的格波解，可令 （2）于是将（2）式代入（1）式，可导出线性方程组为 （3）令，从、有非零解的系数行列式等于零的条件可得 （4）由（4）式可解出 （5）由此可知，的取值也有和之分，即存在声学波和光学波（3）由（5）式可知当时，有声学波频率，光学波频率（4）同样由（

7、5）式可知当时，有声学波频率，光学波频率13.在一维双原子链中，如，（1）求证：；。（2）画出与的关系图（设）。解：（1）在一维双原子链中，其第个原子与第个原子的运动方程为 为解方程组（1）可令 将（2）式代入（1）式可得出 从、有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得 可解出得 （4）当（4）式中取“”号时，有 （5），（5）式中有，那么（5）式可简化为 当（4）式中取“”号时，有 （6），（6）式中有，那么（6）式可简化为 （2）当时，则（4）式可化为O此时，与的关系图，即色散关系图如下图3.5所示：图3.5 一维双原子链振动的色散关系曲线14.在一维复式格子中，如果，。求

8、：(1) 光学波频率的最大值、最小值及声学波频率的最大值；(2) 相应的声子能量是多少eV?(3) 这3种声子在300K时各有多少个？(4) 如果用电磁波激发光频振动，要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长在什么波段？解：(1)由于光学波频率的最大值和最小值的计算公式分别为： 上式中为约化质量所以有： 而声学波频率的最大值的计算公式为：所以有 (2)相应的声子能量为： (3)由于声子属于玻色子，服从玻色爱因斯坦统计，则有(4)如用电磁波来激发光频振动，则要激发最大光学频率的声子所用的电磁波长应满足如下关系式：15.在一维双原子晶格振动的情况下，证明在布里渊区边界处，声学支格波中所有轻原子静止，

9、而光学支格波中所有重原子静止。画出这时原子振动的图像。解：设第个原子为轻原子，其质量为，第个原子为重原子，其质量为，则它们的运动方程为 （1） （2） （3）从、有非零解，方程组（3）的系数行列式等于零的条件出发，可得 （4）令，则可求得声学支格波频率为，光学支格波频率为在声学支中，轻原子与重原子的振幅之比为 由此可知，声学支格波中所有轻原子静止。而在光学支中，重原子与轻原子的振幅之比为 由此可知，光学支格波中所有重原子静止。图3.6 （a）声学支格波原子振动图；（b）光学支格波原子振动图17.设晶体由个原子组成，试用德拜模型证明格波的状态密度为。式中为格波的截止频率。解：在德拜模型中，假设晶

10、体的振动格波是连续介质的弹性波，即有色散关系 那么格波的状态密度为 把（5）式代入（2）式即可得 晶体中电子能带理论2. 布洛赫函数满足=, 何以见得上式中具有波矢的意义?解答人们总可以把布洛赫函数展成付里叶级数,其中k是电子的波矢. 将代入=,得到=.其中利用了(是整数), 由上式可知, k=k, 即k具有波矢的意义.1. 4. 与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？解答当电子的波矢k满足关系式时, 与布里渊区边界平行且垂直于的晶面族对波矢为k的电子具有强烈的散射作用. 此时, 电子的波矢很大, 波矢的末端落在了布里渊区边界上, k垂直于布里渊区边界的分量的模等于.2

11、. 5. 一维周期势函数的付里叶级数中, 指数函数的形式是由什么条件决定的?解答周期势函数V(x) 付里叶级数的通式为上式必须满足势场的周期性, 即.显然.要满足上式, 必为倒格矢.可见周期势函数V(x)的付里叶级数中指数函数的形式是由其周期性决定的.3. 6. 对近自由电子, 当波矢k落在三个布里渊区交界上时, 问波函数可近似由几个平面波来构成? 能量久期方程中的行列式是几阶的?解答设与三个布里渊区边界正交的倒格矢分别为, 则都满足,且波函数展式中, 除了含有的项外, 其它项都可忽略, 波函数可近似为.由本教科书的(5.40)式, 可得,.由的系数行列式的值.可解出电子的能量. 可见能量久期

12、方程中的行列式是四阶的.4. 7. 在布里渊区边界上电子的能带有何特点?解答电子的能带依赖于波矢的方向, 在任一方向上, 在布里渊区边界上, 近自由电子的能带一般会出现禁带. 若电子所处的边界与倒格矢正交, 则禁带的宽度, 是周期势场的付里叶级数的系数.不论何种电子, 在布里渊区边界上, 其等能面在垂直于布里渊区边界的方向上的斜率为零, 即电子的等能面与布里渊区边界正交.5. 8. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 其有效质量何以与真实质量有显著差别?解答晶体中的电子除受外场力的作用外, 还和晶格相互作用. 设外场力为F, 晶格对电子的作用力为Fl, 电子的加速度为.但Fl的具体形式是难以得

13、知的. 要使上式中不显含Fl, 又要保持上式左右恒等, 则只有.显然, 晶格对电子的作用越弱, 有效质量m*与真实质量m的差别就越小. 相反, 晶格对电子的作用越强, 有效质量m*与真实质量m的差别就越大. 当电子的波矢落在布里渊区边界上时, 与布里渊区边界平行的晶面族对电子的散射作用最强烈. 在晶面族的反射方向上, 各格点的散射波相位相同, 迭加形成很强的反射波. 正因为在布里渊区边界上的电子与晶格的作用很强, 所以其有效质量与真实质量有显著差别.6. 9. 带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点?解答得.将上式分子变成能量的增量形式，从能量的转换角度看, 上式可表述为.由于能带顶是能带的

14、极大值，0，所以有效质量0，所以电子的有效质量0.但比m小. 这说明晶格对电子作正功. m*m的例证, 不难由(5.36)式求得1.12. 紧束缚模型电子的能量是正值还是负值?解答紧束缚模型电子在原子附近的几率大, 远离原子的几率很小, 在原子附近它的行为同在孤立原子的行为相近. 因此，紧束缚模型电子的能量与在孤立原子中的能量相近. 孤立原子中电子的能量是一负值, 所以紧束缚模型电子的能量是负值. s态电子能量(5.60)表达式即是例证. 其中孤立原子中电子的能量是主项, 是一负值, 是小量, 也是负值.14. 等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交的物理意义是什么？解答将电子的波矢k分成平行于

15、布里渊区边界的分量和垂直于布里渊区边界的分量k. 则由电子的平均速度得到,.等能面在布里渊区边界上与界面垂直截交, 则在布里渊区边界上恒有=0, 即垂直于界面的速度分量为零. 垂直于界面的速度分量为零, 是晶格对电子产生布拉格反射的结果. 在垂直于界面的方向上, 电子的入射分波与晶格的反射分波干涉形成了驻波.15. 在磁场作用下, 电子的能态密度出现峰值, 电子系统的总能量会出现峰值吗?由（5.111）式可求出电子系统的总能量其中.对系统的总能量求微商, 其中有一项.可见, 每当时, 总能量的斜率将趋于, 也即出现峰值.17. 当有电场后, 满带中的电子能永远漂移下去吗?当有电场后, 满带中的

16、电子在波矢空间内将永远循环漂移下去, 即当电子漂移到布里渊区边界时, 它会立即跳到相对的布里渊区边界, 始终保持整体能态分布不变. 具体理由可参见图5.18及其上边的说明.18. 一维简单晶格中一个能级包含几个电子?设晶格是由N个格点组成, 则一个能带有N个不同的波矢状态, 能容纳2N个电子. 由于电子的能带是波矢的偶函数, 所以能级有(N/2)个. 可见一个能级上包含4个电子.19. 本征半导体的能带与绝缘体的能带有何异同?在低温下, 本征半导体的能带与绝缘体的能带结构相同. 但本征半导体的禁带较窄, 禁带宽度通常在2个电子伏特以下. 由于禁带窄, 本征半导体禁带下满带顶的电子可以借助热激发

17、, 跃迁到禁带上面空带的底部, 使得满带不满, 空带不空, 二者都对导电有贡献.20. 加电场后空穴向什么方向漂移?加电场后空穴的加速度,其中是空穴的质量, 是正值. 也就是说, 空穴的加速度与电场同方向. 因此, 加电场后空穴将沿电场方向漂移下去.自由电子气(自由电子费米气体)：自由的、无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。电子气的费米能和热容量1.费米分布函数在热平衡时，能量为E的状态被电子占据的概率是 2.费米能 3 每个电子对热容量的贡献常温下电子对与热容量的贡献很小。这是因为在常温下，费米球内部的电子从晶格振动获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态，只有费米面附近kBT范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级。常温下电子对与热容量的贡献很小，如何解释呢?这是因为在常温下，费米球内部的电子从晶格振动获取的能量不足以使其跃迁到费米面附近或以外的空状态，只有费米面附近kBT范围的电子才能受热激发而跃迁至较高的能级。也就是说能量随温度发生变化的只是少数电子。所以电子的热容量很小。接触电势差 热电子发射一、接触电势差上式说明两块金属的接触电势差来源于两块金属的脱出功不同，而脱出功表示真空能级和金属费米能级之差，所以接触电势差来源于两块金属的费米能级不一样高。两金属接触平衡后，价电子有费米能高的一方流向费米能低的一方，费米能差