6.2均值不等式.ppt

1、,1.函数f(x)= 的最大值为( ) (A) (B) (C) (D)1 【解析】选B.x0，(1)当x=0时，f(0)=0； (2)当x0时， 当且仅当 即x=1时取等号.故选B.,2.已知m0,n0且mn81,则m+n的最小值为( ) (A)18 (B)36 (C)81 (D)243 【解析】选A.m0,n0,mn81, 9, m+n 18.,3.函数y=x+ 的值域为_. 【解析】|y|=|x+ |=|x|+ =4当且仅当 |x|= 即x=2时取等号，|y|4 y-4或y4. 答案：(-,-44,+),4.已知a、b为正实数， =10,则a+2b的最小值为_. 【解析】a0,b0, =1

2、0 a+2b= (a+2b)10 答案：,5.某农场计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地.当矩形温室的边长各为_、 _时蔬菜的种植面积最大.,【解析】设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800. 蔬菜的种植面积 S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b). 所以S808- =648(m2) . 当a=2b,a=40m,b=20m时，S最大. 答案：40 m 20 m,1,利用均值不等式求最值 【例1】(1)求 +a的取值范围. (2)已知x0，y0，且

3、x+y=1，求 的最小值. 【审题指导】利用均值不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.常用的方法为：拆、凑、代换、平方.,【自主解答】(1)显然a2，当a2时，a-20.,(2)x0,y0，且x+y=1，,【规律方法】为了创造条件使用均值不等式，就需要对式子进行恒等变形，运用均值不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件.,【互动探究】把(2)中的条件改为x0,y0且 求x+y的最小值. 【解析】x0，y0且 当且仅当 即2x= 时取等号, x+y的最小值为,【变式训练】(1)(2010浙江高考)若正实数x,y满足2x+

4、y+6=xy,则xy的最小值是_ 【解析】xy=2x+y+6 +6,令xy=t2,可得t2- -60，注意到t0，解得t 故xy的最小值为18. 答案：18,(2)求函数 的最小值. 【解析】令x+1=t,则x=t-1，t0 当且仅当t= 即t=2亦即x=1时取等号，ymin=9.,2,利用均值不等式求范围问题 【例2】已知a、bR，a+b+a2+b2=24，则a+b的取值范 围是_. 【审题指导】利用 ab(a,bR)求解.,【自主解答】a2+b22ab,当且仅当a=b时取“=”, 2(a2+b2)(a+b)2,即a2+b2 当且仅当a=b时取“=”. 24-(a+b)=a2+b2 当且仅当

5、a=b时取“=”， 即(a+b)2+2(a+b)-480, 解关于a+b的二次不等式，得-8a+b6. 答案：-8，6,【规律方法】利用 ab(a,bR) 求最值时，要注意和a+b为定值时，平方和a2+b2有最小值,平方和a2+b2为定值时，和a+b有最大值.,【变式训练】已知a0，b0，a,b的等差中项是 且 求+的取值范围. 【解析】a,b的等差中项是 a+b=1,+=(a+ )+(b+ ) =(a+b)+( + ) =,均值不等式的实际应用 【例3】某食品加工厂定期购买玉米，已知该厂每天需用玉米6吨，每吨玉米的价格为1 800元，玉米的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买玉米每次需支付

6、运费900元 求该厂多少天购买一次玉米，才能使平均每天所支付的费用最少? 【审题指导】平均每天所支付的费用= 先列出平均每天所支付的费用的函数解析式，再利用均值不等式求其最值.,3,【自主解答】设该厂应每隔x天购买一次玉米，其购买量为6x吨，由题意知，玉米的保管等其他费用为36x+6(x-1)+6(x-2)+61 设平均每天所支付的费用为Y1元，则 当且仅当 即x=10时取等号. 该厂每隔10天购买一次玉米,才能使平均每天所支付的总费用最少.,【规律方法】均值不等式实际应用题的特点： (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从

7、中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解. (2)当运用均值不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用均值不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解,【变式训练】围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，所需费用为y元. (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.,【解析】(1)设矩形的另一边长为a m

8、， 则y=45x+180(x-2)+1802a=225x+360a-360 由已知xa=360,得 所以y=225x+ -360(x0). (2)x0，225x+ =10 800, y=225x+ -36010 440， 当且仅当 时，等号成立. 即当x=24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最少，最少总费用是10 440元.,用均值不等式证明简单的不等式 【例】证明不等式 a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2. 【审题指导】先把原不等式进行等价转化为2(a4+b4+c4) 2(a2b2+b2c2+c2a2)，再利用均值不等式、同向不等式的可加性即可.,【规范解答】2(a4+b4+c4

9、)=(a4+b4)+(b4+c4)+(c4+a4), a4+b42a2b2,b4+c42b2c2,c4+a42c2a2, 2(a4+b4+c4)2(a2b2+b2c2+c2a2), 即a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2.,【规律方法】证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择均值不等式及变形式来证同时要从整体上把握不等式,如a4+b42a2b2是对均值不等式的灵活运用本题先局部运用均值不等式，然后用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明这类对称不等式时具有一定的普遍性,【变式备选】已知a0,b0,c0且a+b+c=1，求证 9. 【

10、证明】因为a0,b0,c0且a+b+c=1,所以,利用均值不等式求最值的解题技巧 【典例】(2010四川高考) 设abc0，则 的最小值是( ) (A)2 (B)4 (C)2 (D)5,【审题指导】通过拆、拼、凑创造条件，利用均值不等式求最值，但要注意等号成立时的条件. 【规范解答】选B.原式=(a2-10ac+25c2)+ +ab+,【创新点拨】拆、拼、凑的典范： 本题求多个和式的最小值，故可选用均值不等式，为了使积为定值，故需对原式进行配凑，关键点在于使目标出现 的形式. 利用均值不等式求最值的解题技巧：代换：化复杂为简单，易于拼凑成定值形式； 拆、拼、凑，目的只有一个，出现定值.,【变式

11、训练】设x为正实数且x2+ =1，求 的最大值. 【解析】x0，,1.(2011日照模拟)下列结论正确的是( ) (A) xR，使2x2-x+10成立 (B) (C) 的最小值为2 (D)0 x2时，函数y=x- 有最大值为,【解析】选D.2x2-x+1=2(x- )2+ 0， xR，都有2x2-x+10不成立； x1,都有 成立， x0，都有lgx+ 2不成立； 若 则当且仅当x2+2=1时，不等式取等号，显然不可能；当0 x2时，函数y=x- 为增函数， 其最大值为 即此结论正确，故应选D.,2(2010重庆高考)已知x0，y0 ，x+2y+2xy=8 ，则x+2y的最小值是( ) (A)

12、3 (B)4 (C) (D) 【解题提示】由已知的等式消去一个未知数，转化为函数的最值问题；或用均值不等式把等式转化为关于目标式的不等式问题.,【解析】选B .方法一：因为x+2y+2xy=8， 所以 所以,方法二：因为x+2y 所以2xy 所以x+2y+2xyx+2y+ 设x+2y=A，则A+ 8， 即A2+4A-320 ，解此不等式得A-8 (舍去)或A4 ， 即x+2y4.最小值为4.,3.(2010安徽高考)若a0,b0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是_(写出所有正确命题的编号) ab1 a2+b22 a3+b33 2 【解题提示】可以利用a=b=1特值排除，

13、结合基本不等式变形转化求解,【解析】令 a=b=1，排除、； 由2=a+b ab1，命题正确； 由a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab2 ，命题正确； 由 命题正确 答案：,4.(2010山东高考)已知x，yR+，且满足 ，则xy的最大值为_. 【解析】x,yR+且 由基本不等式有 解得xy3 ，当且仅当 即 y=2时，等号成立.所以xy的最大值为3 . 答案：3,5.(2011大连模拟)已知a、b、cR+，且a+b+c=1， 求证： 【解题提示】把 中的1用a+b+c代替.,【证明】a+b+c=1 左边 又a、b、cR+ b+c 0 a+c 0 a+b 0 (b+c)(a+c)(a+

14、b)8abc 左边 =右边，故原不等式得证.,一、选择题(每小题4分，共20分) 1.已知a2, 则( ) (A)pq (B)pq (C)pq (D)pq 【解析】选A.令a-2=t，得a=t+2(t0)， (当且仅当t= 即t=1(0，+)时取等号), 又 故选A.,2.设a0,b0，若lga和lgb的等差中项是0，则 的最小值是( ) (A)1 (B)2 (C)4 (D) 【解析】选B.lga+lgb=0,ab=1,3.(2011沈阳模拟)若实数x,y满足 则x2+2y2有 ( ) (A)最大值 (B)最小值 (C)最大值6 (D)最小值6 【解题提示】本题考查均值不等式的应用，可利用整体

15、代换的方法求解.,【解析】选B.据题意可得：,4.已知不等式(x+y)( )9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( ) (A)2 (B)4 (C)9 (D)16 【解析】选B.x,y,a0, 由题意得,5.(2011青岛模拟)已知函数f(x)=|lgx|.若0ab，且f(a)=f(b)，则a+2b的取值范围是( ) (A)( +) (B) +) (C)(3,+) (D)3,+) 【解题提示】画出f(x)=|lgx|的图象可求得a、b的范围. 【解析】选C.画出f(x)的图象可知0a1b. 由f(a)=f(b)得-lga=lgb，ab=1,b= a+2b=a+ 由函数y=x+ 在(0

16、，1)上单调递减得a+2b3.,二、填空题(每小题4分，共12分) 6.若x0,则 的最小值为_. 【解析】x0, 当且仅当x= 即 x= 时等号成立. 答案:,7(2010山东高考)若对任意x0, 恒成立，则a的取值范围是_ 【解题提示】将恒成立问题转化为最值问题. 【解析】因为x0 ，所以x+ 2 (当且仅当x=1时取等号)，所以有 即 的最大值为 故a 答案: +),【方法技巧】不等式恒成立问题的解题方法 1.不等式的恒成立问题与函数最值有密切的关系，解决不等式恒成立问题，通常先分离参数，再转化为最值问题来解： cf(x)恒成立 cf(x)max; cf(x)恒成立 cf(x)min.

17、2.高次函数或非基本初等函数的最值问题，通常采用导数法解决.,8.已知数列an满足a1=36,an+1-an=2n,则 的最小值为_. 【解题提示】可由累加法求an. 【解析】an+1-an=2n an-an-1=2(n-1) an-1-an-2=2(n-2) a2-a1=21,上述各式相加得an-a1=2(n-1)+2(n-2)+21= an=a1+n2-n=n2-n+36 当且仅当n= 即n=6时取等号. 答案:11,三、解答题(每小题9分，共18分) 9已知x0，y0，且2x+8y-xy=0， 求(1)xy 的最小值；(2)x+y 的最小值. 【解题提示】把2x+8y-xy=0转化为 即

18、可.,【解析】(1)由2x+8y-xy=0 ，得 又x0,y0， 则 得xy64 ， 当且仅当 时，等号成立. 所以xy的最小值为64.,(2)方法一：由2x+8y-xy=0 ，得 x0,y2, 则x+y=y+ =(y-2)+ +1018， 当且仅当 即y=6,x=12时，等号成立. x+y的最小值为18.,方法二：由2x+8y-xy=0 ，得 则x+y =( )(x+y)=10+ 当且仅当 且 时等号成立， x+y的最小值为18.,10(2011临沂模拟)桑基鱼塘是某地 一种独具地方特色的农业生产形式，某 研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目， 该项目准备购置一块1 800平方米的矩 形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米. (1)试用x表示S; (2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值.,【解析】(1)由图形知，3a+6=x, 则总面积,当且仅当 此时，x=45. 即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米.,【探究创新】 (10分)十六届亚运会在2010年11月12日至27日在广州隆重召开，吉祥物“祥和如意乐洋洋”，寓意着“吉祥、和谐、幸福、圆满和快乐”，深受人们的喜爱！广州某玩具厂日生产x套吉祥物所