微分几何office2003.ppt

1、微 分 几 何,用微积分方法研究几何图形的性质,包括平面几何和立体几何,用代数的方法研究图形的几何性质,代数几何 分形几何 计算几何 ,返回主目录,蓝色字母代表向量、向量函数或者矩阵，如 a 、 r (u,v)、A 等 粉红色字母代表特殊常数，如圆周率 p 和自然对数的底数 e 等 黄色字母代表特殊函数（如正弦函数 sinq 等）、特殊空间（如欧氏空间 R3 、平面R2 和实数集 R）、特殊向量（如单位坐标向量，如 i 、 j 、 k ）或者变换群 字母右上角的撇号代表对一般参数求导数，右上角或者顶上的圆点代表对弧长参数求导数,符号说明,返回主目录,第一章 预备知识 第二章 曲线论 第三章 曲

2、面的基本理论 第四章 黎曼曲率张量与测地线 例题选讲,主目录,主目录,第一章 约16学时 第二章 约12学时 第三章 约24学时 第四章 约18学时 例题选讲 约2学时 机动 约2学时 总共大约74学时 学习进度表,学时分配,返回主目录,返回主目录,第一章 预备知识,微分几何,第一章 预备知识,向量代数,向量分析,曲线与曲面的概念,等距变换,本章补充习题,第一章内容概要,本章讨论三维欧氏空间的向量代数、向量微积分、曲线与曲面的解析几何、等距变换等内容，这些内容是后面讨论曲线曲面的微分几何时所需要的 本章的重点是第三节：曲线与曲面的概念这一节包括曲线与曲面的概念、曲线的法线和曲面的切平面方程 向

3、量代数包括向量的线性运算（加法和数乘）、向量积、内积、混合积、向量的长度和夹角等内容，其中拉格朗日公式是这一节的重点 向量函数的微积分和普通函数的微积分基本类似，所以本节作为一般了解,返回章首,1.1向量代数,内容：向量积、内积、混合积的性质与计算 重点：拉格朗日公式,返回章首,集合 R3 = (x, y, z) | x, y, zR 称为三维实向量空间，其元素 (x, y, z) 叫做一个向量。,a,i,j,k,O,返回章首,1.1 向量代数-向量,例如 i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k = (0,0,1) 是 R3 的三个向量。,除了 i 、j 、k 这三个向量以外，我们

4、一般用蓝色小写英文字母或希腊字母表示向量，如a 、 r 、a、 b 等。,几何上，我们用一个箭头表示向量，箭头的起点叫向量的起点，箭头的末端点叫向量的终点。,再设 a = (x, y, z)，lR，则 l 与 a 的数乘定义为 la = lxi + lyj + lzk = (lx, ly, lz).,设 a1 = (x1, y1, z1)，a2 = (x2, y2, z2)，则它们的和定义为 a1 + a2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).,a1,a2,a1+a2,a,la,返回章首,1.1 向量代数-线性运算,设 i = (1,0,0)，j = (0,1,0)，k

5、 = (0,0,1) ，则任意向量 a = (x, y, z) 可表示为 a = xi + yj + zk（如图）,a,i,j,k,O,zk,yj,xi,xi+yj,= xi+yj+zk,返回章首,1.1 向量代数-向量,设 ai = (xi , yi , zi)（i = 1, 2）是 R3 中的两个向量，它们的内积定义为 a1 a2 = x1x2 + y1y2 + z1z2 内积具有如下性质： 正定性a a 0，等式成立当且仅当 a = 0； 对称性a b = b a； 线性性a (kb + hc) = ka b + ha c 向量 a 的长度为 |a| = (a a)1/2；长度为 1 的

6、向量叫单位向量,返回章首,1.1 向量代数-内积,1.1 向量代数-两个不等式,定理. 对任意的两个向量 a、bR3 有下面两个不等式成立： 许瓦滋不等式 a b |a| |b| 闵可夫斯基不等式 |a + b| |a| + |b| 这两个不等式中的等式成立的充分必要条件是 ab,返回章首,1.1 向量代数-两向量的夹角,向量 a 与 b 的夹角为,如果两个向量的夹角是 p/2，就称这两个向量相互垂直或正交因此两向量正交的充分必要条件是它们的内积为零,由许瓦兹不等式可知 | cosq | 1.,返回章首,1.1 向量代数-距离,两个向量 a、b 作为 R3 的点，它们之间的距离定义为 d(a,

7、b) = |a b|在 R3 上装备了这样的距离函数之后就叫欧氏空间 距离具有如下性质： 正定性d(a, b) 0，等式成立当且仅当 a = b； 对称性d(a, b) = d(b, a)； 三角不等式d(a, b) d(a, c) + d(c, b),返回章首,1.1 向量代数-向量积,a,b,ab,q,伸出右手，让大拇指和四指垂直，让四指从向量 a 朝向量 b 旋转一个较小的角度（小于180）到达 b，则大拇指所指的方向就是 ab 的方向（如图）,设向量 a、b 的夹角为 q，则它们的向量积（也叫叉积）ab 是这样一个向量，其长度为 |ab| = |a|b| sinq，方向满足右手法则：,

8、返回章首,1.1 向量代数-向量积的性质,根据向量积的定义，我们有 ij = k, jk = i, ki = j. 反交换律：ab = ba（见下图） 分配律：a (b + c) = ab + ac.,a,b,ab,a,b,ba,返回章首,1.1 向量代数-向量积的计算公式,注意：| ab | 等于由 a 和 b 张成的平行四边形的面积（如图）,设 ai = (xi , yi , zi)（i = 1, 2）是 R3 中的两个向量，则有：,a,b,q,|a|sinq,|a|b| sinq,=|ab|,返回章首,1.1 向量代数-混合积,三个向量 a、b、c 的混合积定义为 (a, b, c) =

9、 (ab) c 向量的混合积满足轮换不变性： (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b). 向量的混合积满足反交换性，即交换两个向量的位置改变混合积的符号，如 (a, b, c) = (c, b, a)，等等.,返回章首,注意：|(a, b, c)| 等于由向量 a、b、c 张成的平行四面体的体积 （如图）,b,a,c,q,|ab|,q,|c|cosq,ab,|(a, b, c)| = |(ab) c| =|ab| |c|cosq =平行四面体的体积,返回章首,1.1 向量代数-混合积的几何意义,1.1 向量代数-混合积的计算公式,设 ai = (xi , yi , z

10、i)（ i = 1, 2, 3 ）是 R3 中的三个向量，则有：,两个向量垂直的充分必要条件是它们的内积为零，两个向量平行的充分必要条件是它们的叉积为零，三个向量共面的充分必要条件是它们的混合积为零,返回章首,1.1 向量代数-拉格朗日公式,设 a、b、c、d 是 R3 的四个向量，则,特别地有,返回章首,看证明,练习题 1证明 (ab)c = (a c) b (b c) a （提示：用分量验证，并由此证明拉格朗日公式,返回章首,1.2向量分析,内容：向量函数的导数、积分、泰勒公式、复合函数求导的链式法则 重点：链式法则,返回章首,1.2 向量分析-向量函数的极限,设 r(t) 是一个向量函数

11、，a 是常向量，如果对任意的 e 0，存在 d 0，使得当 0 |t t0| d 时，|r(t) a| e 成立，则称 a 是 r(t) 当 t 趋向于 t0 时的极限，记为 , 或者记为 r(t)a (当 tt0) ,一元向量函数是形如 r(t) = (x(t) , y(t) , z(t) 的向量，其中 x(t)、y(t)、z(t) 是普通的一元函数，叫该向量函数的分量函数,返回章首,1.2 向量分析-向量函数极限的计算,这个定理表明对向量函数求极限就是对它的每个分量求极限这样，向量函数的极限就转化成普通函数的极限,定理. 设 r(t) = (x(t), y(t), z(t)，a = (x0

12、, y0, z0) ，则,当且仅当,返回章首,1.2 向量分析-向量函数的极限的性质,推论. （极限的运算性质）设当 tt0 时，有 r(t) a ，s(t) b ，l(t) c ，则我们有： r(t)s(t) ab，l(t)r(t) ca r(t) s(t) a b r(t)s(t) ab,返回章首,1.2 向量分析-向量函数的连续性,如果当 t t0 时有 r(t) r(t0) 成立，则称向量函数 r(t) 在 t0 处连续；如果 r(t) 在它的定义域内的每一点都连续，则称 r(t) 是连续函数 连续函数的和、差、积（内积、向量积、混合积、数乘）是连续的 r(t) = (x(t), y(

13、t), z(t) 在 t0 处连续的充分必要条件是每个分量 x(t)、y(t)、z(t) 都在 t0 处连续,返回章首,1.2 向量分析-一元向量函数的导数,显然，若 r(t) 在一点 t0 处可导，则它在该点处必定连续,存在，则称向量函数 r(t) 在 t0 处可导，而该极限就叫 r(t) 在 t0 处的导数，记为 r (t0)如果 r(t) 在它的定义域内处处可导，则称 r(t) 可导，此时 r (t) 叫 r(t) 的导函数（也简称导数）,设 r(t) 是一元向量函数如果极限,返回章首,1.2 向量分析-向量函数导数的性质,向量函数 r(t) = (x(t), y(t), z(t) 的导

14、数为 r(t) = (x(t), y(t), z(t) 设 l 是普通函数，r、s、u 都是向量函数，则 (lr) = lr + lr； (rs) = r s； (r s) = r s + r s； (rs) = rs + rs； (r,s,u) = (r,s,u) + (r,s,u) + (r,s,u ),返回章首,可导的向量函数 r(t) 具有固定长度的充要条件是 r (t) 垂直于 r(t),可导的向量函数 r(t) 具有固定方向的充要条件是 r (t) 平行于 r(t),1.2 向量分析-具有固定长度和固定方向的向量函数,返回章首,看证明,1.2 向量分析-一元向量函数的链式法则,定理

15、. （一元向量函数的链式法则）设 r(u) 可微的向量函数，u = u(t) 是可微的普通函数，则复合函数 r(t) = r(u(t) 也可微，并且,返回章首,1.2 向量分析-二元向量函数的偏导数,设 r(u,v) 是二元向量函数，如果极限,存在，则称它为函数 r(u,v) 在点 (u0,v0) 处关于 u 的偏导数，记为 ru(u0,v0)；同样，我们可以定义关于 v 的偏导数 rv(u0,v0),二元向量函数是形如 r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v) 的向量，其中 x(u,v)、y(u,v)、z(u,v) 是普通的二元函数,返回章首,1.2 向量分析-二元向

16、量函数的微分,返回章首,设 r(u,v) 是二元向量函数，令 Dr = r(u0 + Du, v0 + Dv) r(u0, v0). 如果存在向量 a、b 使 Dr = aDu + bDv + o(Du)2 + (Dv)2 1/2, 则称 r(u,v) 在点 (u0,v0) 处可微，而 aDu + bDv就叫 r(u,v) 在点 (u0,v0) 处的微分，记为 dr(u0,v0) = aDu + bDv r 的微分简记为 dr = aDu + bDv 或 dr = adu + bdv.,定理. 如果 r 是可微向量函数，则 dr = rudu + rvdv.,返回章首,1.2 向量分析-微分的

17、计算,1.2 向量分析-二元向量函数的链式法则,定理. （链式法则）设 r(u,v) 可微如果 u = u(s,t) 和 v = v(s,t) 有连续偏导数，则,返回章首,1.2 向量分析-向量函数的积分,其中 a = t0 t1 tk-1 tk = b 是区间 a, b 的分点，xi 是区间 (ti-1, ti) 内任一点， lk 是定义如下：,向量函数 r(t) 在区间 a,b 上的积分定义为：,返回章首,向量函数的积分就是将其每个分量进行积分,定理. 设 r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k，则有,返回章首,1.2 向量分析-向量函数积分的计算,1.2 向量分析-向量

18、函数的积分的性质,设 r(t)、s(t) 是向量函数，c 是常向量，则有,（ c 为常数）,返回章首,（ c 为常向量）,（ c 为常向量）,练习题 1已知 r (t) = a（ a 为常向量），求 r(t) 2已知 r (t) = ta，（ a 为常向量），求 r(t),返回章首,1.3曲线与曲面的概念,内容：曲线的切线与法平面、曲面的法线与切平面、曲线和曲面的参数变换、曲线的弧长等 重点：切线、法线、切平面、法平面的方程,返回章首,1.3 曲线与曲面的概念-曲线,一元向量函数 r(t) 所描绘的图形 C 叫曲线，r(t)叫曲线 C 的参数化，或者叫曲线的向量函数，t 叫曲线的参数曲线 C

19、连同它的参数化 r(t) 一起叫参数曲线 参数曲线用 C : r = r(t) 表示如果对某个 t0 使得 r(t0) 0，就称 r(t0)（或者简称 t0）是曲线的正则点如果曲线上处处是正则点，就称该曲线是正则曲线，相应的参数叫正则参数 今后为了简便，我们把“参数曲线”简称为“曲线”；把 R2 中的曲线叫平面曲线，把 R3 中的曲线叫空间曲线,返回章首,圆弧. 曲线 C: r = (cost, sint), t(0, 2p) 是正则曲线，它是一条半径为 1 的 圆弧（如图）,返回章首,t,O,cost,sint,1.3 曲线与曲面的概念-曲线的例子圆弧,( cost, sint ),1.3

20、曲线与曲面的概念-曲线的例子抛物线,抛物线. 曲线 C: r = (x, x2), x(, +) 也是一条正则曲线，它是抛物线,返回章首,圆柱螺线. 曲线 C: r = (a cost, a sint, bt), t (,+) 也是一条正则曲线，它是缠绕在半径为 a 的圆柱面 x2 + y2 = a2 上的一条圆柱螺旋线,返回章首,1.3 曲线与曲面的概念-曲线的例子圆柱螺线,r,1.3 曲线与曲面的概念-曲面,二元向量函数 r(u,v) 所描绘的图形 S 叫曲面， r(u,v) 就叫曲面 S 的参数化，也叫曲面的位置向量， 或者叫曲面的向量函数，u 和 v 都叫曲面的参数曲面 S 连同它的参

21、数化 r(u,v) 一起叫参数曲面,返回章首,S,O,参数曲面用 S: r = r(u,v) 表示设 r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)， 则 x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v) 就是曲面的参数方程,返回章首,1.3 曲线与曲面的概念-曲面的参数方程,1.3 曲线与曲面的概念-正则曲面,设曲面 S: r = r ( u , v ). 如果 ru ( u0 , v0 ) 与 rv (u0 , v0) 线性无关，就称 r (u0 , v0) 是曲面的正则点如果曲面上的所有点都是正则点，就称该曲面是正则曲面，相应的参数叫正则参数 曲面

22、S: r = r (u , v) 是正则曲面的充分必要条件是 rurv 0.,返回章首,1.3 曲线与曲面的概念-正则曲面的例子平面,平面. 设 a = (a1, a2, a3) 是 R3 的一个固定的非零向量，r0 = (x0, y0, z0) 是曲面 S: r = r(u,v) 上的一个定点，r = (x, y, z) 是该曲面上的动点如果 (r r0) a = 0，则该曲面是以 a 为法向量的平面该平面可表示成如下点法式方程：a1(x x0) + a2(y y0) + a3(z z0) = 0.,返回章首,O,r0,r,r r0,a,S,(r r0) a = 0,圆柱面. 半径为 R，中

23、心轴为 z-轴的圆柱面的向量函数为 r = (Rcosq, Rsinq, z) , 其中 0 q 2p, a z b.,返回章首,1.3 曲线与曲面的概念-曲面的例子圆柱面,1.3 曲线与曲面的概念-曲面的例子球面,球面. 半径为 R，中心为原点的球面的向量函数为 r = (Rcosj cosq, Rcosj sinq, Rsinj), p/2 j p/2, 0 q 2p.,返回章首,旋转曲面. 考虑 Oxz 平面上的曲线 C: x = j (t), z = y(t)，a t b 绕 z 轴旋转一周得到的曲面叫旋转曲面，其向量函数为： r = (j(t)cosq, j(t)sinq, y(t)

24、, a t b, 0 q 2p.,球面和圆柱面都是旋转曲面,返回章首,1.3 曲线与曲面的概念-曲面的例子旋转曲面,练习题 1讨论上面例子中的曲面的正则性. 2证明 S: r = r(u,v) 是正则曲面的充分必要条件是 rurv 0,返回章首,1.3 曲线与曲面的概念-曲线的切线和法平面,返回章首,P,O,C,r(t0),r,设有曲线 C: r = (x(t), y(t), z(t),一点 P，对应的参数设为 t0,以 r(t0) 作为方向向量的直线叫做曲线 C 在 P,曲面在 P 点的法平面,在曲线上固定,把过 P 点，且,过 P 点且垂直于切向量的平面叫做,点的切线；,切线,法平面,1.

25、3 曲线与曲面的概念-曲线的切线和法平面方程,该曲线在该点的法平面方程为,曲线 C: r(t) = (x(t), y(t), z(t) 在点 r(t0) = (x(t0), y(t0), z(t0) 处的切线方程为,返回章首,1.3 曲线与曲面的概念-切线和法平面举例,法平面方程为,解：圆柱螺线为 C: r = (acost, asint, bt), 切向量是 r = ( asint, acost, b). 所以切线方程为,例. 求圆柱螺线的切线与法平面方程,返回章首,1.3 曲线与曲面的概念-曲线的弧长,例. 求星形线（如图） C: r(t) = (acos3t, asin3t), 0 t

26、2p 的弧长,设有一段正则曲线 r(t) = (x(t), y(t), z(t)，a t b则该曲线的弧长为,返回章首,1.3 曲线与曲面的概念-曲线的弧长,解：由于星形线关于原点对称，所以只需计算曲线在第一象限部分的弧长当 0 t p/2 时有 |r(t)| = 3asintcost 所以第一象限部分的弧长为,因此，星形线的弧长为 6a,返回章首,练习题 1求旋轮线 x = a(t sint), y = a(1 cost) 在0 t 2p 一段的弧长 2求圆柱螺线 x = 3acost, y = 3asint, z = 4at 从点 (3a,0,0) 到任一点的弧长 3将圆柱螺线 r(t)

27、= (acost, asint, bt) 化成自然参数形式 4求封闭曲线 r(t) = (cos3t, sin3t, cos2t) 的全长,返回章首,S,1.3 曲线与曲面的概念-曲面的切平面,设 S: r = r (u , v) 是正则曲面，P = r (u0 , v0)因为 rurv 0，所以 ru、rv 线性无关，因此张成一张过 P 点的平面我们把由 ru(u0,v0)、rv(u0,v0) 所张成的平面叫曲面 S 在点 P 的切平面或者叫切空间，记为 TP S，P点叫切点,返回章首,P,TPS,O,切平面,r0,曲面在点 P = r0 处的切平面方程为 (R r0, ru, rv) =

28、0.,返回章首,S,P,TPS,O,ru,rv,R,R r0,1.3 曲线与曲面的概念-曲面的切平面方程,R r0 , ru，rv三个向量共面，所以它们的混合积为零。,1.3 曲线与曲面的概念-曲面的法线,切平面的法向量为 ru(u0,v0)rv(u0,v0) 法线方程是 R = (rurv)t + r0.,返回章首,O,ru,rv,rurv,R,r0,R r0,/rurv,R - r0 =(rurv)t,1.3 曲线与曲面的概念-切平面上的仿射坐标,因为 ru、rv 构成切空间的基，所以任意切向量 x 都可表示成 ru、rv 的线性组合： x = x1ru + x2rv . 我们把 (x1,

29、 x2) 叫切向量 x 的仿射坐标 由于 dr = rudu + rvdv，所以 dr 是曲面的切向量，而且它的仿射坐标为 (du, dv),返回章首,O,rv,ru,x,x2rv,x1ru,= x1ru + x2rv,1.3 曲线与曲面的概念-曲线的重新参数化,设 C: r = r(t) （tI ）是一条正则曲线，h: J I 是从开区间 J 到开区间 I 的光滑同胚（即 h 和 h-1 都是光滑映射），则称 r = rh 是曲线 C 的重新参数化,弧长与参数的选取无关,注意，如果参数曲线 r = r(t) 是正则参数曲线，则它的重新参数化 r = rh 也是正则参数曲线,返回章首,1.3

30、曲线与曲面的概念-自然参数,设有正则曲线 C: r = r(t)设 s(t) 是曲线 C 上从参数 a 到参数 t 的曲线段的弧长由于s(t) = |r (t)| 0 ，所以由反函数定理，s 有反函数t = t(s)代入曲线的向量函数就得到了以弧长为参数的向量函数 C: r = r(s),正则曲线总可以经过重新参数化，将其参数变成弧长参数,曲线的弧长参数也叫自然参数,返回章首,1.3 曲线与曲面的概念-自然参数,因为弧长函数可以取负值，所以弧长参数也可以为负值,弧长参数根据基点的不同选择可能相差一个常数,关于弧长参数，我们用 r 表示 r 对 s 的导数,r 是单位向量,返回章首,1.3 曲线

31、与曲面的概念-曲面的重新参数化,设 S: r = (x(u,v), y(u,v), z(u,v) ) 是一张曲面，(u,v)U ，其中 U 是 R2 的开区域设 V 是 R2 的另一个开区域，f : VU 是一个光滑同胚（即双方光滑的映射），则称 r = r f 是曲面 S 的重新参数化 ，f -1:(u,v)(u, v) 和 f :(u, v)(u,v) 都叫曲面的参数变换,定理. 正则曲面的切空间和法线都与曲面参数的选取无关,返回章首,1.3 曲线与曲面的概念-曲面的正反向参数变换,如果 (u,v) (u,v) 是正向参数变换，则 n(u,v) = n(u,v)；如果 (u,v) (u,v

32、) 是反向参数变换，则 n(u,v) = n(u,v),如果参数变换的雅可比行列式大于零，则称此参数变换为正向参数变换； 如果参数变换的Jacobi行列式小于零，此时的参数变换叫反向参数变换,下面的向量 n 叫曲面 S: r = r(u,v) 的单位法向量：,返回章首,内容：欧氏空间等距变换的定义、解析表达式 重点：等距变换的解析表达式,1.4 等距变换,返回章首,1.4等距变换-定义,设 a = (x1, y1, z1) ， b = (x2, y2, z2) 是 R3 中的任意两点，它们之间的距离为,如果 T: R3 R3 是一一对应，且对任意 a、b R3 有 d(a, b) = d(T(

33、a), T(b) )，则称 T 是 R3 的等距变换，也叫合同变换、保长变换或欧氏变换,返回章首,1.4等距变换-正交矩阵,如果一个 3 阶矩阵 T 满足 TT t = E ，则 T 是一个 3 阶正交矩阵，其中 T t 表示 T 的转置矩阵，E 表示 3 阶单位矩阵所有 3 阶正交矩阵关于矩阵的乘法构成群，叫三阶正交矩阵群，记为 O(3) ,由线性代数知，对任意 3 阶矩阵 A 以及任意的向量 a、b R3，有 (aA) b = a (bAt)，这里，aA 表示 13 矩阵 a 与 33 矩阵 A 的积， bAt 等也作同样的解释,返回章首,1.4等距变换-解析表达式,定理. 变换 T: R

34、3 R3 是等距变换的充要条件是存在 TO(3) 以及 pR3，使 T(r) = rT + p 对任意的 r = (x, y, z)R3 成立,看证明,返回章首,1.4等距变换-等距变换群,欧氏空间的等距变换的全体关于变换的复合构成一个群，叫等距变换群,上面的定理说明等距变换一定是形如 rT + p 的变换，并且TO(3) ，因此 T 的行列式等于 1 ,当 T 的行列式等于 +1 时，对应的等距变换叫刚体运动，简称运动；当 T 的行列式等于 1 时，对应的等距变换叫反向刚体运动,刚体运动的全体也构成等距变换群的子群，叫运动群,返回章首,1.4等距变换-切向量,设 PR3，C 是过 P 点的曲

35、线，我们把 C 在 P 点的切向量叫 R3 在 P 点的切向量过 P 点可以作很多曲线，因此就有很多切向量 R3 在 P 点的切向量的全体组成的集合记为 TP R3，叫做 R3 在 P 点的切空间,注意到 R3 在 P 点的任一切向量是某条过 P 点的曲线在该点的切向量，所以对任意 vTP R3 有如下形式 v = r (t 0) = (x (t 0), y (t 0), z (t 0) ) ,切向量也可以看成是 R3 的点，这样，R3 与 TP R3 就自然等同起来了,返回章首,1.4等距变换-幺正标架,R3 的一个标架 P; e1, e2, e3 是由 R3 的一个点 P（叫标架的原点）和

36、 P 点的 3 个线性无关的有序切向量 e1, e2, e3 所构成如果这三个切向量是两两正交的单位向量，则称相应的标架为正交标架或幺正标架,显然，O; i, j, k 是 R3 的一个幺正标架,O,e1,e3,e2,P,返回章首,1.4等距变换-正标架,设 P; e1, e2, e3 是另一个标架，其中 ei = aii + bij + cik, i =1,2,3 令,如果 det A 0 ，则称 P; e1, e2, e3 是正标架或右手标架或右手系,P; e1, e2, e3 是正标架的充分必要条件是混合积 (e1, e2, e3) 0 ,返回章首,返回主目录,第二章 曲线论,微分几何,

37、第二章 曲线论,平面曲线,空间曲线,本章补充习题,第二章内容概要,本章我们讨论平面曲线和空间曲线的微分几何性质内容包括曲线的伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率、伏雷内公式、近似结构、基本定理等 重点：伏雷内标架、曲率、相对曲率、挠率的计算、伏雷内公式的应用 如无特别说明，我们都是在曲线的正则点附近进行讨论,返回章首,2.1平面曲线,内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏雷内公式等 重点：曲率与相对曲率的计算,返回章首,2.1 平面曲线-伏雷内标架,设平面曲线 C: r = r(s) 以弧长为参数，则其切向量 a (s) = r (s) 是一个单位向量， 即 a (s) a (s) = 1 两边求导

38、数得 a (s) a (s) = 0，所以 a (s) 垂直于 a (s)，这说明 a (s) 是曲线的法向量 令 b = a / | a |，则对于每一个 s，r(s) ; a (s), b (s) 构成平面曲线 C 上的一个幺正标架，我们称之为曲线 C 上的伏雷内标架,返回章首,由导数的定义我们可知 b 总是指向曲线弯曲的那一侧,C,a(s),a(s+Ds),a(s+Ds),2.1 平面曲线- b 的指向,返回章首,2.1 平面曲线-伏雷内公式,由 b 的定义有 a (s) = |a (s)| b (s) 令 k(s) = |a (s)|，则有 a (s) = k (s)b (s). 我们

39、把 k (s) 叫曲线 C 在 r(s) 处的曲率 定理. （伏雷内公式）我们有 a = kb , b = ka .,以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式,返回章首,2.1 平面曲线-曲率计算公式,平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率为零,如果曲线方程为 y = y(x)，取 x 为参数，则曲线的参数表示为 r = (x, y(x)，其曲率为,定理. 设曲线 C: r(t) = (x(t), y(t)，则其曲率为,返回章首,2.1 平面曲线-例子,例. 求椭圆 (x2/a2) + (y2/b2) = 1 的曲率,解：椭圆可参数化为 r(t) = (a cost, b sint)，参数方程为 x

40、= acost, y = bsint，所以有 x = asint, x = acost, y = bcost, y = bsint. 代入曲率公式得,返回章首,练习题 1求曲线 y = sinx 的曲率 2求曲线 x = acos3t, y = asin3t 的曲率,返回章首,2.1 平面曲线-标准伏雷内标架,前面我们有了平面曲线上的伏雷内标架 r(s) ; a (s), b (s)但伏雷内标架不一定是平面正标架（即它们关于平面上的标准基的分量的行列式不一定为正数）但我们总可以在曲线上选取一单位法向量 n(s)，使 r(s) ; a (s), n(s) 构成正标架，这个标架叫平面曲线的标准伏雷

41、内标架,a,b,a,n,返回章首,2.1 平面曲线-相对曲率与伏雷内公式,因 a / n，所以可令 a (s) = kr (s) n(s)我们称 kr 为曲线的相对曲率 注意：相对曲率可正可负 定理. 我们有下述形式的伏雷内公式： a = krn , n = kra .,返回章首,2.1 平面曲线-相对曲率计算公式,如果曲线由 y = y(x) 给出，则相对曲率为,kr = x y y x ；,特别地，当用自然参数时，相对曲率为,定理. 在一般参数下，相对曲率为,返回章首,2.1 平面曲线-在一点附近的结构,设曲线 C: r = r(s)则 当 k (s) 不为 0 时，曲线近似于抛物线 当

42、k (s) = 0，但 k (s) 不为 0 时，曲线近似于一条近似立方抛物线（看证明）,返回章首,2.2空间曲线,内容：三个基本向量、伏雷内标架、伏雷内公式、曲率、挠率、密切平面、从切平面、一般螺旋线等 重点：曲率与挠率的计算、密切平面与从切平面方程、伏雷内公式的应用,返回章首,2.2 空间曲线-密切平面,过曲线 C 上一点 P 处的切线和曲线上位于 P 点附近的另一点 Q 作一平面 s (Q)当 Q 沿曲线趋向于 P 时 s (Q) 的极限位置 s 称为曲线 C 在 P 点的密切平面 过曲线上一点可以作无数切平面（通过切线的平面），而密切平面则是在 P 点附近最贴近于曲线的平面 平面曲线的

43、密切平面显然就是该曲线所在的平面，而直线的密切平面不确定，或者说直线有无穷多个密切平面,返回章首,2.2 空间曲线-密切平面方程,用坐标把密切平面方程表示为：,(R r(t0), r(t0), r(t0) = 0.,设曲线 C: r = (x(t), y(t), z(t) 是光滑的，P 是曲线上一点，其参数是 t0设 R = (X, Y, Z) 是 P 点的密切平面上任意一点，则密切平面方程为：,返回章首,例. 求螺旋线 r = (cost, sint, t) 在点 P(1,0,0) 处的密切平面方程,解：直接计算得 r (t) = ( sint, cost, 1), r (t) = ( co

44、st, sint, 0). 在给定点 P 处的参数 t = 0，所以有 r(0) = (1,0,0)， r (0) = (0,1,1)， r (0) = ( 1,0,0) 代入密切平面方程并整理得 Y + Z = 0,2.2 空间曲线-例子,返回章首,2.2 空间曲线-基本向量与伏雷内标架,设有空间曲线 C: r = r(s)，s 是弧长参数 单位切向量 a = r 单位主法向量 b = a / |a |（设 r 不为零） 单位副法向量 g = ab 曲线 C 的伏雷内标架 r ; a , b , g ,C,a,b,g,r,O,返回章首,伏雷内标架,法,密切,从切,C,P,b,a,g,主法向量

45、和副法向量决定的平面是法平面,切向量和副法向量决定的平面叫从切平面,切向量和主法向量决定的平面就是密切平面,2.2 空间曲线-三棱锥,返回章首,2.2 空间曲线-基本向量的计算公式,设 C: r = r(t) 由一般参数给出，则三个基本向量的计算公式为 a = r / | r | , g = (r r ) / | r r | , b = g a .,返回章首,2.2 空间曲线-例子,例. 求螺旋线 r = (cost, sint, t) 在点 P(1,0,0) 处的三个基本向量,解：直接计算得 r (t) = ( sint, cost, 1), r (t) = ( cost, sint, 0)

46、. 在给定点 P 处的参数 t = 0，所以有 r (0) = (0,1,1)，r (0) = ( 1,0,0) 代入上面的基本向量计算公式得,返回章首,练习题 1求曲线 x = acost, y = bsint, z = et 在 t = 0 点的切线、主法线、副法线、密切平面、从切平面与法平面方程 2证明曲线的密切平面与曲线的参数选取无关,返回章首,2.2 空间曲线-曲率与挠率,设 C: r = r(s) 是空间曲线，称 k (s) = |a (s)|为曲线 C 在点 r(s) 处的曲率，而 a 叫曲率向量,空间曲线除了弯曲外，还有扭转为了刻画扭转的程度，我们引进挠率的概念,我们把 t 叫

47、曲线的挠率，这里,返回章首,2.2 空间曲线-伏雷内公式,定理.（伏雷内公式） a = kb, b = ka + tg, g = tb.,返回章首,2.2 空间曲线-曲率与挠率计算公式,挠率：,曲率：,用一般参数表示的曲率与挠率计算公式,返回章首,2.2 空间曲线-曲率与挠率为零的曲线,曲线的曲率为零的充要条件是该曲线是直线 曲线的挠率为零的充要条件是该曲线为平面曲线,返回章首,2.2 空间曲线-曲率和挠率计算举例,解：直接计算得： r = ( asinq, acosq, b), r = ( acosq, asinq, 0), r = (asinq, acosq, 0), |r| = (a2

48、+ b2), rr = (absinq, abcosq, a2), |rr | = (a2b2 + a4)1/2, (r, r, r ) = a2b, 所以有 k = a/(a2 + b2), t = b/(a2 + b2).,例：求圆柱螺旋线 r = (acosq, asinq, bq) 的曲率和挠率,返回章首,练习题 1求曲线 r(t) = (acosht, asinht, at) 的曲率和挠率，这里 a 0 2求曲线 r(t) = (a(3t t3), 3at2, a(3t + t3) 的曲率和挠率，这里 a 0 3求 a、b，使曲线 r(t) = (acosht, asinht, bt

49、) 上每一点的曲率和挠率相等,返回章首,2.2 空间曲线-一般螺旋线,定理. 设有曲线 C: r = r(s)，（假定 kt 0 ）则下列条件等价： C 是一般螺线； C 的主法向量与固定方向垂直； C 的副法向量与固定方向成定角； C 的曲率与挠率之比是常数,如果曲线的切向量与固定方向成定角，则称该曲线为一般螺线,看证明,返回章首,证：由伏雷内公式得 r = a = kb， r = (kb ) = k 2 a + k b + k t g , r = 3k k a + ( k k 3 k t 2 )b + (k t ) + t k )g . 所以， (r , r , r ) = k 5 (t

50、/ k ) , 由此即得结论,例. 曲线 r = r(s) 是一般螺线的充分必要条件是 ( r , r , r ) = 0,2.2 空间曲线-例子,返回章首,2.2 空间曲线-曲线在一点附近的结构,空间曲线在一点附近的形状（设 kt 0 ）： 在法平面上的投影为半立方抛物线； 在从切平面上的投影为立方抛物线； 在密切平面上的投影为抛物线； 从不穿过从切平面； b 总是指向凹入的方向,a,b,g,返回章首,a,b,g,g,a,b,a,g,b,法平面,从切平面,密切平面,2.2 空间曲线-曲线在一点附近的结构,练习题 1求曲线 x = et cost, y = et sint, z = et 在

51、t = 0 处的切线方程 2求曲线 x = t, y = t2, z = t3 经过已知点 M0(2, 1/3, 6) 的密切平面方程.,返回章首,2.2 空间曲线-基本定理（唯一性）,定理. （唯一性）设 C: r = r(s) 与 C0: r0 = r0(s) 是两条正则的空间曲线（ s 属于区间 I 是曲线 C 的弧长参数）如果对区间 I 中的每个 s，有 k (s) = k0(s)，t (s) = t0(s)，那么，存在一个等距变换 T : R3R3，使 r0 = T r，并且 T 所对应的正交矩阵 T 的行列式为 +1，也就是说这样的两条曲线可以经过一个运动使它们重合,返回章首,2.

52、2 空间曲线-基本定理（存在性）,曲线的存在性定理和唯一性定理叫曲线的基本定理,定理. （存在性）设 k (s), t (s) 是一组定义在 0R 的一个邻域上的可微函数， 并且 k (s) 0，则存在一个包含 0 的邻域 I 和一条以弧长为参数的曲线 C: r = r(s)，sI，使得其曲率函数就是 k (s)，挠率函数就是 t (s),看证明,返回章首,返回主目录,第三章 曲面的基本理论,微分几何,第三章 曲面的基本理论,曲面的第一基本形式,曲面的第二基本形式,曲面的主方向与主曲率,高斯曲率与平均曲率,直纹面,本章补充习题,第三章内容概要,本章讨论曲面的第一基本形式、第二基本形式、法曲率、

53、主方向、主曲率、Weingarten变换、平均曲率、高斯曲率、直纹面等内容 重点：两个基本形式以及各种曲率的计算,返回章首,3.1曲面的第一基本形式,内容：第一基本形式的概念、切向量的长度和夹角、曲面曲线的弧长、曲面区域的面积等 重点：利用第一基本形式计算弧长和面积,返回章首,3.1 曲面的第一基本形式-第一基本形式的概念,设有曲面 S: r = r(u,v)，dr = rudu + rvdv 是曲面上的任一切向量，它的长度的平方记为 I = dr dr，则 I = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2, 其中 E = ru ru，F = ru rv，G = rv rv 对正则曲面而言，I

54、 是切平面上的一个正定的二次型我们称二次型 I 为曲面的第一基本形式，称 E、F、G 为曲面的第一类基本量,返回章首,3.1 曲面的第一基本形式-例子,例. 设曲面由 z = f (x,y) 给出，求第一基本形式 解：该曲面的向量函数表示为 r = r(x,y) = (x, y, f (x,y). 令 p = fx，q = fy，则 rx = (1, 0, p)，ry = (0, 1, q) 由此得 E = rx rx = 1 + p2, F = rx ry = pq, G = ry ry = 1 + q2, I = (1 + p2)dx2 + 2pqdxdy + (1 + q2)dy2.,返

55、回章首,3.1 曲面的第一基本形式-例子,例. 求球面 S2 的第一基本形式 解：球面的参数表示为 r = (Rcosjcosq, Rcosjsinq, Rsinj), 直接计算得 E = rq rq = R2cos2j, F = rq rj = 0, G = rj rj = R2, 因此 I = R2cos2j dq 2 + R2dj 2.,返回章首,练习题 1求圆柱面 r(u,v) = (Rcosv, Rsinv, u) 的第一基本形式 2求一般螺面 r(u,v) = (aucosv, ausinv, f (u) + bv) 的第一类基本量 3求悬链面 r(u,v) = (acoshuco

56、sv, acoshusinv, au) 的第一类基本量这里， coshu = (eu + e-u),返回章首,3.1 曲面的第一基本形式-曲面上曲线的弧长,曲面上的曲线 C: r = r(u(t),v(t) 切向量 r = ruu + rvv ，则该曲线相应于 a t b 的曲线段的弧长为：,返回章首,3.1 曲面的第一基本形式-曲面上的切向量与切方向,曲面上的切向量 dr = rudu + rvdv 可用其仿射坐标 (du, dv) 来表示，而该切向量所代表的切方向则可用仿射坐标的比值来 du:dv 表示 例如：假设曲面上有一条曲线 u + v = 0，则该曲线的切方向为 du:dv = 1

57、: 1 ,返回章首,3.1 曲面的第一基本形式-曲面上切方向的夹角,令两切方向分别为 d = du:dv，d = du:dv，则,给定曲面上两个切方向 du:dv 和 du:dv，设它们的夹角为 q，则可以通过计算切向量 dr = rudu + rvdv 与 dr = rudu + rvdv 的夹角来计算这两个切方向的夹角：,返回章首,曲面的第一基本形式-第一基本形式与参数选取无关,定理：曲面的第一基本形式与曲面的参数选取无关,证明：用一阶微分的形式不变性很容易证明这个定理通过直接计算也可以证明这个定理详情点击这里,练习题 1设曲面的第一基本形式为 I = du2 + (u2 + a2) dv

58、2，求其上两条曲线 u + v = 0 和 u v = 0 的夹角 2在曲面 r(u,v) = (ucosv, usinv, u2) 上，求曲线 v = u + 1 与 v = 3 u 之间的夹角 3求在第一基本形式为 I = du2 + sinh2udv2 的曲面上，方程为 u = v (v1 v v2) 的曲线段的弧长 4设一个曲面的第一基本形式为 I = du2 + (u2 + a2)dv2，求它上面由曲线 u = ()av2，v = 1 所构成的曲线三角形的周长,返回章首,3.1 曲面的第一基本形式-曲面域的面积,设有曲面 S: r = r(u,v)，(u,v)D则曲面的面积元素为,返

59、回章首,3.1 曲面的第一基本形式-曲面域的面积,如果 s 是曲面上的一个区域，G 是对应的 (u,v)-平面上的区域，则此曲面区域的面积为,返回章首,定理：曲面区域的面积与参数的选取无关,证明点击这里,由第一类基本量所决定的量叫内蕴量，由第一类基本量所决定的性质叫内蕴性质 曲面的面积、曲面上曲线的弧长、曲面上切向量的夹角等都是内蕴量,3.1 曲面的第一基本形式-内蕴量,返回章首,练习题 1求正螺面 r = (aucosv, ausinv, bv) 上由曲线 u = 0，u = a，v = 0，v = 1 所围成的四边形的面积 2求球面 r(j,q) = (acosjcosq, acosjsinq, asinj) 的面积,返回章首,3.1 曲面的第一基本形式-正交网,设曲面 S: r