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1、The Principle of Automatic Control,作业：p179:7-2,7-4,第七章 非线性系统分析,非线性系统 系统包含1个或以上的非线性静特性的元件或期间。,y,x,O,A1,B1,图7-1 伺服电动机控制系统,非线性系统的分类： （1）非本质非线性系统 能用微偏法对非线性进行线性化处理的系统。 （2）本质非线性系统 不能用线性理论处理的系统。,第一节 控制系统的典型非线性特性 饱和非线性特性： 影响降低在大信号时的增益，增加过渡过程时间和稳态误差。 a -线性区宽度 k-线性区斜率,y,B,k,a,O,x,-a,-B,死区特性： 影响导致出现静态误差 a-死区宽度

2、 k-线性输出特征的斜率,y,k,x,O,-a,a,-B,间隙非线性： 影响系统输出在相位上出现滞后，PM减小，动态特性变坏，并扩大了稳态误差。 a -间隙宽度 k- 输出特性斜率,y,x,-a,a,k,O,B,-B,继电器非线性特性： a继电器吸合电压 ma继电器释放电压 B饱和输出电压,y,x,-a,-ma,-B,O,ma,a,B,（a） 具有滞环的继电器非线性特性： m=-1,y,x,a,B,O,-B,（b） 具有死区的继电器非线性特性： m=1,y,x,B,B,-a,a,-B,（c）理想的继电器特性： a=0 继电器非线性特性的影响：用作改善系统性能的切换元件。,y,x,-B,O,非线

3、性系统的特点： 1）非线性系统的稳定性和初始条件有关； 2）系统可能存在自持振荡，发生这种振荡时系统是稳定的； 3）叠加原理不能应用于非线性系统； 4）在频域对非线性系统进行研究主要考虑系统输出的基波分量。 研究方法： 1）描述函数法（频域） 2）相平面分析法（时域） 3）李亚普诺夫第二法（时域）,第二节 描述函数法 1.描述函数法的使用条件： a. 系统的线性部分和非线性部分可以分离；,N(A),G(j ),c(t),C(s),y(t),Y(s),x(t),X(s),r(t),R(s),+,-,b),r(t),x(t),非线性 环节,线性部分,c(t),+,-,a),b. 非线性特性具奇对称

4、特性，且输入输出关系为静特性。 c. 线性部分应具良好的低通滤波特性。 若满足以上条件，描述函数可定义为非线性环节输出基波分量与输入正弦量的复数比. 非线性环节输出的基波分量幅值； 非线性环节输出的基波分量与输入正弦信号的相角差； 输入正弦信号的振幅值。,设信号输入 输出y(t)为非正弦周期信号，其傅里叶级数展开式为： 式中： (1) 假设:非线性特性环节的特性曲线具有中心对称性质， 即y(t) 为奇函数，则A0=0. (2) 忽略高次谐波。,则非线性环节输出为： 则非线性环节的描述函数为：,典型非线性描述函数的求解： 1. 饱和非线性特性的描述函数,式中k饱和特性线段斜率； a饱和特性线区的

5、宽度； 由于饱和特性是对称的奇函数 , t /2后输出波形重复。,-1/N(A)称为描述函数的负倒数特性,Im,Re,O,a,(,),A,-1/k,2. 死区非线性特性的描述函数,由于死区特性是对称的奇函数,死区描述函数的负倒数特性为：,3.间隙特性的描述函数,式中 k回环特性的斜率； a回环特性的宽度。,系统是有滞后的,4.继电器特性的描述函数,对继电器特性的描述函数的讨论 （1）具有滞环的继电器特性 a0, m=-1 系统有滞后,y,x,a,B,O,-B,（2）无滞环有死区的继电器特性 a0, m=1,y,a,-a,-B,B,x,a),O,Re,Im,b),（3）无滞环无死区的理想继电器特

6、性 a0, m=1,y,x,B,-B,O,a),Im,Re,O,b),第三节 用描述函数法分析非线性系统 非线性系统分析 描述函数法对系统稳定性、产生自振荡的条件、自振荡的振幅及频率、消除自振荡的途径等问题, 都可得出较为符合实际的结果。,R(s),N(A),G(S),C(t),+,-,Y(s),非线性部分,线性部分,闭环频率特性 闭环特征方程： 相当于线性系统中G(j)=-l的情况, 将可能产生 等幅的周期性振荡。上式表示G(j)和-1/N(A)曲 线相交。,非线性系统的稳定性的判定方法： 在复平面上同时作出线性部分的频率特性G(j)（最小相位）及非线性部分描述函数的负倒特性-1/N(A)，

7、 则 (1)如果在复平面上, -1/N(A)曲线不被G(j)曲线所包围, 如图(a)所示, 则非线性系统是稳定的。 (2)如果在复平面上, -1/N(A)曲线被G(j)曲线所包围,如图(b)所示,则非线性系统不稳定。 (3)如果在复平面上, -1/N(A)曲线与G(j)曲线相交, 如图(c)所示, 则在非线性系统中可能产生稳定的自持振荡, 若有自振，则振荡的振幅由-1/N(A)曲线交点处对应的A值决定, 振荡的频率由G(j)曲线交点处的值决定。,等幅振荡是否为自持振荡的判定：,分析结果： (1） a点是稳定的等幅振荡点,形成可观察到的稳定自持振荡。 （2） b点的振荡状态是不稳定的, 无法观察

8、到。 （3）系统将最终呈现两种可能的运动状态：当扰动较小,其振幅小于Xb时,系统趋于平衡状态, 不出现自振荡。当扰动较大, 其幅值超过了Xb时,系统将出现自持振荡, 其振幅为Xa，角频率为a。 结论： 1.若在交点处, -1/N(A)曲线当幅值A增大时，向G(jw)包围区域以内（系统的不稳定区）移动，则该点的自持振荡是不稳定的。 2.若在交点处, -1/N(A)曲线当幅值A增大时，向G(jw)包围区域以外（系统的稳定区）移动，则该点的自持振荡是稳定的。,应用描述函数法设计系统：在线性部分加入适当的串联或反馈环节校正-1/N(A)曲线与G(j)曲线的相对位置。,典型非线性特性对稳定性的影响： （

9、1）具有饱和特性的控制系统分析 假设线性部分频率特性为 对于K1, K2分别有频率特性曲线 G1(j)， G2(j),当k=1时,分析结果： （1）K=K1时系统稳定 （2）K=K2时在P点产生稳定的自持振荡。 例 7-1：非线性控制系统入下图，参数如下： （1）求系统处于稳定边界的K值； （2）K=15时，自持振荡的振幅和频率。,2,0.1,-2,G(s),c(t),r(s),-,+,y(t),图7-25 饱和非线控制系统,解： （1）a=1,b=2, k=a/b=2,查表7.1有非线性环节的负倒数特性为： 其中Aa. 要使系统处于稳定边界， G1(j)应与（-1/2,0j)相交。,（2）线

10、性部分： 求出与实轴交点的频率,则与实轴相交于 根据要求（1），若要系统稳定。 (2)若K=15 G1(j)应与-1/N(A) 交于(-1,0j),即 图解上述方程： 令,解得A=2.5 因此K=15时，系统自持振荡，振幅A=2.5,频率,1.5,1.0,0.5,0,1,2,3,A,f(A),f(A),b1,典型非线性特性对稳定性的影响： （2）具有死区特性的控制系统分析 假设线性部分频率特性为 对于K1, K2分别有频率特性曲线 G1(j)， G2(j),分析结果： （1）K=K1时系统稳定 （2）K=K2时在b点不能产生稳定的自持振荡。 （3）死区饱和特性存在不稳定的自持振荡。 例 7-2

11、：非线性控制系统入下图，参数如下： （1）求系统处于稳定边界的K值； （2）K=25时，自持振荡的振幅和频率。,G(s),c(t),r(s),-,+,y(t),k,0,解： （1）a=1, k=2,查表7.1有非线性环节的负倒数特性为： 要使系统处于稳定边界， G1(j)应与（-1,0j)相交。,（2）线性部分： 求出与实轴交点的频率,则与实轴相交于 根据要求（1），若要系统稳定。 (2)若K=25 G1(j)应与-1/N(A) 交于(-1.67,0j),即 图解上述方程： 令,解得A=1.6 因此K=25时，系统自持振荡，振幅A=1.6,频率 但是该振荡不稳定。,1.5,1.0,0.5,0,

12、1,2,3,A,f(A),f(A),b1,第四节 改善非线性系统性能的方法 1.改变线性部分的参数或对线性部分进行校正。 1）降低线性部分的放大参数K,例如：7.1,2）在线性部分加串连校正装置：,B,B,R(s),Y(s),a),+,-,B,B,R(s),Y(s),b),+,-,非线性部分 -1/N(A)曲线为负实轴 线性部分 只要K0, G1(j)与-1/N(A)曲线必相交于负实轴，产生自持振荡。,校正：加入微分校正装置 G1(j)与-1/N(A)曲线不相交，消除了自持振荡。,3）在系统中加局部反馈校正 校正前,-a,a,R(s),Y(s),a),+,-,k,非线性部分 G1(j)包围了

13、-1/N(A)曲线，系统 不稳定。,校正： 在线性部分加入局部反馈 内部环路 线性部分,-a,a,R(s),Y(s),+,-,k,-,若 G1(j)不包围-1/N(A)曲线且不相交，系统稳定。,2. 改变非线性特性 1）改变非线性部分参数，例如7.1中 -1/N(A)曲线为负实轴的（，a/b), 通过改变a,b值，使G1(j)与-1/N(A)曲线不相交，即系统稳定。,2）并联非线性元件校正：使非线性环节变线性。,k,a,O,k,a,O,x(t),y(t),N2(A),N1(A),+,y(t),k,x(t),O,b),第五节 相平面分析法 1. 特点： 相平面分析法是在几何平面上研究非线性系统的动态过程及其性能，因此，它仅适用于一、二阶系统。对于不能用描述函数分析的二阶非线性系统，一般都可以用相平面法进行分析。 2. 基本概念： 设有非线性二阶系统： 令 有： 即：,上面两式相除，