24.1.2.1垂径定理.ppt

1、,垂 径 定 理,赵州石拱桥,1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,你 能 解 决 吗,圆的对称性,圆是轴对称图形吗？,如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？,你是用什么方法解决上述问题的?,圆是中心对称图形吗？,如果是,它的对称中心是什么?,你又是用什么方法解决这个问题的?,探究,如果是,它的对称中心是什么?你能找到多少条对称轴？,圆的对称性,圆是轴对称图形.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,可利用折叠

2、的方法即可解决上述问题.,圆也是中心对称图形.,它的对称中心就是圆心.,用旋转的方法即可解决这个问题.,探究,AM=BM,垂径定理,AB是O的一条弦.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,做一做P86,思考,作直径CD,使CDAB,垂足为M.,右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,小明发现图中有:,由 CD是直径, CDAB,做一做,垂径定理,如图,小明的理由是:,连接OA,OB,C,D,M,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时

3、,点A与点B重合,做一做P86思考,垂径定理三种语言,定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.,老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,CDAB,如图 CD是直径,AM=BM,CDAB,垂径定理的逆定理,AB是O的一条弦,且AM=BM.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,过点M作直径CD.,右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,小明发现图中有:,由 CD是直径, AM=BM,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,探究,你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!,垂径定理的逆定理,

4、如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论., CD是直径, AM=BM, CDAB,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦., CD是直径, AM=BM, C

5、DAB,挑战自我垂径定理的推论,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相等吗?,老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:,垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.,思考,挑战自我画一画,如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.,挑战自我填一填,1、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ）,2、如图，过 O的半径OC的中点D，

6、作弦AB OC， 已知 O的直径是4，则AB的长是（ ）,B,3、已知O的弦AB长为4cm，弦AB的 弦心距为2cm，求 O的直径。,挑战自我,4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,如图，圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H， EF=10，HG=6，AH=4，求BE的长。,M,N,小 结,、圆的轴对称性,、垂径定理及其逆定理的图式,赵州石拱桥,1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).,你

7、是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？,赵州石拱桥,解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根 据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高. 由题设,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R27.9（m）.,答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.,回顾垂径定理及其推论 何为弦心距,垂径定理,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论., CD是直径, AM=BM, CDAB,二、如图， O中，线段EF两端点分别是弦AB、CD的中点，EF过圆心O，CDAB吗？为什么？,分析：,CD

8、AB,CFE= BEF,CFE=90 ,BEF=90 ,OFCD,OE AB,OF过圆心,点F是CD中点,OE过圆心,点E是AB中点,C,作法,1.连接AB；,2.画AB的中点C；,D,已知一条弧，你能作出它的圆心吗？,C,D,E,F,不是,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧。 ( ),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心。 ( ),（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分。 ( ),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。( ),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分.（ ）,判断：,（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（ ）,（7）平分弦的直线

9、，必定过圆心。（ ）,（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。 （ ）,垂径定理三角形,已知：如图，直径CDAB，垂足为E . 若半径R = 2 ，AB = , 求OE、DE 的长. 若半径R = 2 ，OE = 1 ，求AB、DE 的长.,d + h = r,在a,d,r,h中，已知其中任意两个量,可以求出其它两个量.,垂径定理的应用,例1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OECD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.,解:连接OC.,老师提示: 注意闪烁的三角形的特点.,船能过拱桥

10、吗,2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？,相信自己能独立完成解答.,船能过拱桥吗,解:如图,用 表示桥拱, 所在圆的圆心为O,半径为Rm, 经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 相交于点C.根 据垂径定理,D是AB的中点,C是 的中点,CD就是拱高. 由题设得,在RtOAD中，由勾股定理，得,解得 R=3.9（m）.,在RtONH中，由勾股定理，得,此货船能顺利通过这座拱桥.,垂径定理的应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.,垂径定理的逆应用,在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.,D,C,已知：AB是O直径，CD是弦，AECD