Lecture7_使用导数的最优化方法.ppt

1、最优化方法 Optimization第十二讲,第十章 使用导数的最优化方法 (分三讲),无约束优化问题算法,最速下降法 牛顿法 共轭梯度法 拟牛顿法 信赖域法 最小二乘法,最速下降法,最速下降方向,取搜索方向:,步骤:,带精确线搜索的最速下降法,例:,第一次迭代,解:,第二次迭代,最速下降法的收敛性,二次函数情形,最速下降法表示为,Kantorovich不等式,定理（最速下降法二次情形）,定理：,条件数,非二次情形,结论：在相继两次迭代中,梯度方向互相正交.,基本思想 用一个二次函数去近似目标函数f(x), 然后精确地求出这个二次函数的极小点.,牛顿法,牛顿方向,定理：,步骤:,用Newton

2、法求解无约束问题会出现以下情形：,（1）收敛到极小点,（2）收敛到鞍点,（3）Hesse矩阵不可逆，无法迭代下去,优点:（1）Newton法产生的点列x(k)若收 敛，则收敛速度快-具有至少二阶收敛速率。,(2) Newton法具有二次终止性,缺点:,（1）可能会出现在某步迭代时，目标函数值上升. （2）当初始点远离极小点时，牛顿法产生的点列可能不收敛，或者收敛到鞍点，或者Hesse矩阵不可逆，无法计算. （3）需要计算Hesse矩阵，计算量大.,步骤:,阻尼牛顿法,修正牛顿法,共轭梯度法,共轭方向,定义：,例：,定理1,证明：,定理2：,证明：,定理3：,共轭梯度法(FR法),记号：,在共轭

3、梯度法中，初始点处的搜索方向取 为该点的负梯度方向，即取,而以下各共轭方向d(k)由第k次迭代点x(k)处的 负梯度-gk与已得的共轭向量d(k-1)的线性组合来确定。,以此类推，得,定理:,FR共轭梯度法,例:,一般函数的共轭梯度法,迭代的延续方法：,FR共轭梯度法,这是一种求解无约束极值问题的有效算法，由于 它既避免了计算二阶导数、矩阵及其求逆过程， 又比最速下降法的收敛速度快， 特别是对高维问题具有显著的优越性， 所以，它被公认为 求解无约束极值问题最有效的算法之一。,拟牛顿法(Quasi-Newton Method),基本原理：,阻尼牛顿法:,拟牛顿条件,拟牛顿法步骤,秩1校正,一般策

4、略：,校正矩阵,DFP拟牛顿法,定义：,DFP公式,DFP法计算步骤:,例: 用DFP方法求解下列问题：,第 一 次 迭 代,第二次迭代,DFP拟牛顿法-,定理：,推论：,定理：,信赖域方法,基本思想：在当前迭代点的某个邻域内（通称取 为以当前迭代点为中心的球域，称为信赖域）， 根据已知的有关优化问题的信息，确定一个模型 函数来近似原来的目标函数；然后，在该领域内 极小化模型函数确定可能的改进点；最后，根据 一定标准决定是否接受这个可能的改进点。,基本原理,子问题,信赖域半径的确定,通过比较迭代过程中模型函数和目标函数的下 降量,确定下一个迭代过程的信赖域半径.,步骤：,子问题的精确求解法,必

5、要性证明,充分性证明,第一次迭代:,第二次迭代:,第三次迭代:,非线性最小二乘法,问题,给定(t i, y i), i=1,n, 拟合一个函数y=f(t, x)， 其中x为待定的参数向量, f 对x非线性。,优化模型,记误差,根据目标函数是 r(x) 的二次函数的特点构造简单算法,非线性最小二乘拟合,讨论,牛顿法要计算Hessian矩阵，其中S计算量大,若 f 对x线性, 则化为线性最小二乘拟合,此时S=0,特定算法考虑如何忽略或近似矩阵S。,Gauss-Newton算法：忽略矩阵S,f用R代替，下降方向dk满足,G-N算法,收敛性依赖 f 对 x 的线性程度, 及偏差r的大小,非线性最小二乘拟合,牛顿方程,Leven