量子力学基础王荣顺.ppt

1、第一章 量子力学基础,Chapter 1. Introduction to Quantum Mechanics,2020/9/7,目 录,量子力学产生的背景,量子力学基本原理,量子力学基本原理的简单应用,2,3,2020/9/7,第一章 量子力学基础,【教学要求】 1.掌握微观粒子的基本特征-能量量子化和波粒二象性。 2.理解量子力学的五个基本假设。 3.掌握波函数的物理意义，掌握波函数的条件和性质。 4.掌握算符的定义、线性算符和轭米算符的定义和性质。 5.理解本征方程、本征态和本征值等概念，推引定态薛定谔方程。 6.理解态叠加原理。,2020/9/7,7.掌握保里原理的概念，理解保里原理的

2、实质。 8.建立一维势箱的薛定谔方程，掌握求解薛定谔方程的过程。 【重点、难点】 1.重点:实物粒子的能量量子化和波粒二象性；波函数的意义及波函数的条件；一维箱中粒子的处理方法和过程。 2.难点：波函数的物理意义；轭米算符及薛定谔方程。,第一章 量子力学基础,一、经典物理学的困难与旧量子论的诞生,二、实物微粒波的波粒二象性,三、不确定关系,主要内容,1.1 量子力学产生的背景,第一章 量子力学基础,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,问题产生：,经典物理学,微观粒子的运动,黑体辐射,Newton力学 Maxwell电磁场理论 Gibbs热力学 Boltzmann统计物理学,氢原子光谱

3、,光电效应,一、经典物理学的困难与旧量子论的诞生,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,1.黑体辐射,黑体：能全部吸收照射到它表面上的各种波长辐射的物体。,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,1.黑体辐射,黑体：能全部吸收照射到它表面上的各种波长辐射的物体。,经典理论与实验事实间的矛盾 经典电磁理论假定，黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的，按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。,黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。,图1.1 黑体辐射分布曲线,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,Rayle

4、igh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则(能量连续)用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。 Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。,经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,经典物理学解释：能量是连续变化的。,普朗克解释： 1900年，Planck M（普朗克）假定，黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为 ,能量为 h 的整数倍的电磁能，即黑体只能不连续地以0 的整数倍一份一份地吸收或发射辐射能量。,提出新的理论：能量量子化,Planc

5、k 常数：h=6.623 10-34 JS,不能解释,h 称为能量子 (quantum of energy),1918年，诺贝尔物理学奖,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,2. 光电效应 (photoelectric effect),光电效应:光照在金属表面上，使金属发射出电子的现象。,1889年, 斯托列托夫提出获得光电流的电池方案 (左图G为电流表, C为阴极),因光的作用而逸出的电子称为光电子，光电子的定向运动所形成的电流称为光电流。,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,光电效应的实验结果: 只有当照射光的频率超过某个最小频率v时金属才能发射光电子，不同金属的v值也

6、不同。 从光照到产生光电流的时间很短，一般不超过10-9s。 光电子的最大初动能正比于照射频率v与临域频率v0 的差值，而与光照强度无关。 在单位时间里从金属表面脱出的光电子数与入射光强度成正比。,经典理论不能解释光电效应： 经典理论认为，光波的能量与其强度成正比，而与频率无关；只要光强足够，任何频率的光都应产生光电效应；光电子的动能随光强增加而增加，与光的频率无关。 与实验事实正好相反。,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,1905年，Einstein 在 Planck 能量量子化的启发下，提出光子说：,爱因斯坦 (Einstein) 光子学说,(1) 光的能量是不连续的，也是量子

7、化的。其最小单位称为一个光量子或简称光子，光子的能量为,(2) 光为一束以光速c运动的光子流，其强度 I 正比于单位体积内光子的数目即光子的密度 ,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,(4) 光子有一定的动量：,(5) 光子与电子碰撞时服从能量守恒和动量守恒定律。,(3) 光子有一定的质量：,光子的质量与光的频率或波长有关。 注意：光子没有静止质量。,光子学说对 光电效应的解释,只有 h v W, 即 v v0 时，才能产生光电效应。,体现光的波粒二象性,电子逸出功,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,3. 氢原子光谱的不连续性,微观世界中状态量子化的另一证据是原子的线状光

8、谱。早在1884年，Balmer已将当时已知的可见区14条氢谱线总结成经验公式（后被J.R.Rydberg表示成如下的波数形式）,并正确地推断该式可推广之(式中n1、n2均为正整数):,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,20世纪初，F.Paschen(1908年)、F.S.Brackett (1922年) 、H.A.Pfund (1924年)等在红外区, Lyman (1916年)在远紫外区发现的几组谱线，都可用下列一般公式表示:,2020/9/7,氢原子能级示意图与氢光谱,n=1,n=2,n=3,n=4,n=5,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,1913年，玻尔(Bo

9、hr)综合了普朗克的量子论、爱因斯坦的光子说以及卢瑟福的原子有核模型，提出：,（1）原子存在于具有能量的稳定态（简称定态），定态中的原子不能辐射能量。能量最低的定态叫基态，其余叫激发态。 （2）只有当电子从一个态（如E2）跃迁到另一定态（E1）时，才发射或吸收辐射能。其频率满足于,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,由Bohr模型, 结合经典力学运动定律, 可解出Rydberg常数的理论值，进而计算各已知线系波数. 结果与实验值相当符合.,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,【例】计算波长等于600nm的可见光的光子的能量和质量.,解：已知 光速 c=310 8 m s -

10、1 普朗克常数 h=6.626210-34 Js, 1J=1kgm2s-2 。,= 3.3110-19 J,=3.6810-36 kg,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,二、实物微粒波的波粒二象性,1. De Broglie(德布罗意）假设：,1924年，De Broglie受光的波粒二象性启发，提出实物微粒（静止质量不为零的粒子，如电子、质子、原子、分子等）也有波粒二象性。,De Broglie波的传播速度为相速度u, 不等于粒子运动速度v; 它可以在真空中传播，因而不是机械波；它产生于所有带电或不带电物体的运动，因而也不是电磁波。,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,

11、De.Broglie 波的实验证实,1927年，戴维逊、革末用电子束单晶衍射法，G.P.汤姆逊用薄膜透射法证实了物质波的存在, 用德布罗意关系式计算的波长与布拉格方程计算结果一致.,1929年, De Broglie获诺贝尔物理学奖； 1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊也获得诺贝尔奖。,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,De.Broglie 波的统计解释 及波粒二象性的统计联系,一个粒子不能形成一个波，当一个粒子通过晶体到达底片上，出现的是一个衍射点，而不是强度很弱的衍射图象。但是从大量的微观粒子的衍射图象，可揭示出微观粒子运动的波性和这种波性的统计性，这个重要的结论适用于各

12、个原子或分子中电子的行为。原子和分子中的电子其运动具有波性，其分布具有几率性。原子和分子的运动可用波函数描述，而电子出现的几率密度可用电子云描述。,2020/9/7,de Broglie波不仅对建立量子力学和原子、分子结构理论有重要意义，而且在技术上有重要应用.,使用de Broglie波的电子显微镜分辨率达到光学显微镜的千倍,为我们打开了微观世界的大门.,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,【例】在一束电子中,电子的动能为200eV,求电子的德布罗意波的波长。,解：已知电子质量m=9.1110-31 kg, 1 eV=1.6010-19 J,=8.40106 ms-1,=0.867

13、10-10 m=0.087nm,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,三、不确定关系 (uncertainty principle),1927年W.Heisenberg首先提出:具有波动性的微粒，不能同时有精确确定的坐标和动量。当它的某个坐标被确定得愈精确，则其相应的动量就愈不确定，反之亦然。满足关系式：,以子弹和电子在原子中运动为例，看出可以用测不准关系来判断研究对象是否可以用经典力学来处理。,2020/9/7,1.1 量子力学产生的背景,【例】（1）质量为0.01kg的子弹，运动速度为1000ms-1，若速度的不确定程度为其运动速度的1%，则其位置的不确定程度为：,可以用经典力学处

14、理。,（2）运动速度为1000 ms-1的电子，若速度的不确定程度为其运动速度的1%，则其位置的不确定程度为：,远远超过在原子和分子中的电子离原子核的距离，不能用经典力学处理。,一、波函数和微观粒子的状态,二、力学量和算符,三、量子力学的基本方程,主要内容,1.2 量子力学基本原理(公理）,四、态叠加原理,五、 泡利原理,2020/9/7,1.2 量子力学基本原理(公理）,假设I 对一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数(x,y,z,t) 来表示。是体系的状态函数，是体系中所有粒子的坐标函数，也是时间函数。,一、波函数和微观粒子的状态,定态波函数：不含时间的波函数 (x,y,z,) 称为定

15、态波函数。（即波函数的形式不随时间而改变）,例如：三粒子体系 = （x1 , y1 , z1 , x2 , y 2 , z 2 , x 3 , y 3 , z 3 , t）,2020/9/7,1.2 量子力学基本原理,一般是复数形式： = f + i g,由于 *=（ f + i g ) ( f i g )= f 2 + g 2 因此*是实数，而且是正值。为书写方便，常用2代替*。,的共轭复数* : *= f - i g,2020/9/7,1.2 量子力学基本原理,由于空间某点波的强度与波函数绝对值的平方成正比，即在该点附近找到粒子的几率正比于*，所以通常将用函数 描述的波称为 几率波 。,在

16、原子、分子等体系中： 称为原子轨道或分子轨道； * 称为几率密度，它就是通常所说的电子云； *d 为空间某点附近体积元 d 中电子出现的几率。,2020/9/7,单值的 即在空间每一点只能有一个值； 连续的 即的值不出现突跃；对x，y，z的一级微商也是连续函数； 有限的（平方可积的）即在整个空间的积分 为一个有限数，通常要求波函数归一化，即,1.2 量子力学基本原理,用量子力学处理微观体系时，要设法求出函数的具体形式。,例如氢原子1s态的波函数：,波函数 必须满足三个条件,符合这三个条件的波函数称为合格波函数或品优波函数 。,2020/9/7,1.2 量子力学基本原理,2020/9/7,1.2

17、 量子力学基本原理,算符：对某一函数进行运算操作，规定运算操作性质的符号。 例如： sin , cos , log , exp 等.,二、力学量和算符,假设II 对一个微观体系的每一个可观测的力 学量都对应着一个线性自轭算符。,数学运算、矩阵运算、旋转等操作,线性算符： 指算符满足下列条件,2020/9/7,1.2 量子力学基本原理,自轭算符： 指算符 能满足,或,对算符的厄米性要求来源于物理量平均值必须是实数. 在量子力学中, 物理量A的平均值用下列公式计算:,2020/9/7,1.2 量子力学基本原理,若干力学量及其算符,2020/9/7,1.2 量子力学基本原理,三、量子力学的基本方程,

18、假设 若某一力学量的算符 作用于某一状态函数 后，等于某一常数 a 乘以 ，即 那么对 所描述的这个微观体系的状态，其力学量 具有确定的值 a , a 称为力学量算符 的本征值，称为 的本征态或本征波函数，而该方程则称为 的本征方程。,2020/9/7,1.2 量子力学基本原理,一个保守体系的总能量 E 在经典力学中用Hamilton （哈密顿）函数 H 表示，即,将算符形式代入，得,能量算符,其中,称为Laplace算符,2020/9/7,1.2 量子力学基本原理,利用能量算符，得到,上式即为 Schrdinger 方程，它是决定体系能量算符的本征值和本征函数的方程，是量子力学的一个基本方程

19、。 当体系的势能项V中，不含时间变量t，体系的势能不随时间变化（亦即体系的哈密顿量不随时间变化），这种状态称为定态。这个本征态对应的本征值，就是该状态的能量。该波函数称为定态波函数。(本课程只讨论定态),2020/9/7,1.2 量子力学基本原理,对一个微观体系，自轭算符 给出的本征函数组1 ，2 ，3 ， 形成一个正交、归一的函数组。,归一性：,指粒子在整个空间出现的几率为1.,正交性：,( ij ),例如，同一原子的各原子轨道（描述原子内电子运动规律的波函数）间不能形成有效重叠。,2020/9/7,1.2 量子力学基本原理,四、态叠加原理,假设IV 若1 ，2 ， ，n 为某一微观体系的可

20、能状态，由它们线性组合得到的也是该体系可能存在的状态。 式中 c1 , c2 , ，cn 为任意常数。系数 c1 , c2 , , cn 等数值的大小，反映决定 的性质中i 的贡献；ci 2越大，相应i 的贡献越大。,2020/9/7,1.2 量子力学基本原理,五、 泡利原理,假设V 在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两个电子的自旋状态必须相反。 （或者说两个自旋相同的电子不能占据相同的轨道。）,1925年，G.Uhlenbeck(乌仑贝克）和S.Goudsmit（哥希密特）提出电子自旋假设，认为电子具有不依赖于轨道运动的自旋运动，具有固定的角动量和相应的磁矩。,1.3 量子

21、力学基本原理的简单应用,2020/9/7,1.3 量子力学基本原理的简单应用,为了说明量子力学处理问题的方法、步骤以及量子力学的一些概念，我们以一维势箱中的粒子为例，说明如何用量子力学来处理问题。,量子力学处理一个微观体系的基本步骤： 根据体系的物理条件，写出它的能量(动能、势能)函数的形式； 列出薛定谔方程； 求出薛定谔方程满足条件的解，得到体系波函数和相应的能量； 利用波函数和能量公式作出适当结论。,2020/9/7,1.3 量子力学基本原理的简单应用,一维势箱模型,V(x)=0 ( 0xl ) V(x)= ( x0 xl ),根据薛定谔方程的表达式,( 1 ) 一维势箱中粒子的n(x),

22、当x0 xl 时,V(x)=,n(x) 0,当0xl时，V(x)=0,2020/9/7,1.3 量子力学基本原理的简单应用,对一维势箱，只有 x , 且 V(x)=0, 故有,(2) Schrdinger 方程的解,上式变形为：,由此Schrdinger方程的表达式为,2020/9/7,1.3 量子力学基本原理的简单应用,该式为二阶常系数线性微分方程，其解为：,由边界条件：,(0) c1cos0 + c2sin0 =0 c1=0,这里常数 c2 不能为 0，否则波函数 (x) 处处为0 。,2020/9/7,1.3 量子力学基本原理的简单应用,故必须是,（ n = 1, 2, 3, ）,得,（

23、 n = 1, 2, 3, ）,所以,（ n = 1, 2, 3, ）,2020/9/7,1.3 量子力学基本原理的简单应用,用波函数 的归一化条件,确定待定系数 c2,得,得一维势箱内粒子运动状态的波函数和相应的能量公式:,（ n = 1, 2, 3, ）,（ n = 1, 2, 3, ）,2020/9/7,1.3 量子力学基本原理的简单应用,(3) 方程解的讨论,A：能量量子化 E 是对应 n 的值，是量子化的，而不是连续的。基态能量 E1。 能量状态由量子数 n 来表征。 n=1,2,3,. n=1时为基态，n=2 时为第一激发态，n=3 时为第二激发态。 E1=T1 （零点能）,B：离

24、域效应 因 n0，即粒子的动能不可能为零,粒子运动的空间越大，E 越小，这种效应通常称为离域效应。,（ n = 1, 2, 3, ）,2020/9/7,1.3 量子力学基本原理的简单应用,【例】 若将1个电子（m=9.110-31kg )和一个质量m=110-3kg的物体分别束缚在l=110-10和l=110-2m的一维势箱中运动，试分别计算它们的能级差En, En和零点能E1和E1 ，说明能量量子化和零点能效应是微观世界的特征。,解：,=(2n+1)6.0210-18J,=(2n+1)5.4910-61J,2020/9/7,1.3 量子力学基本原理的简单应用,=6.0210-13 J,=5.4910-61 J,结果表明： 对束缚在一维势箱中的电子来说，其能级间隔E 已完全可以观察出来，能级分立现象明显；而对于质量m=110-3kg 被束缚在 l 的一维势箱中运动的物体来说，其能级间隔E