2019届高考数学复习平面解析几何第九节圆锥曲线的综合问题课件文.pptx

1、第九节圆锥曲线的综合问题,总纲目录,考点突破,考点二圆锥曲线中的定义、定值问题,考点一圆锥曲线中的范围、最值问题,考点三圆锥曲线中的探索性问题,考点一圆锥曲线中的范围、最值问题,典例1(2017山西太原模拟)已知椭圆M:+=1(a0)的一个焦点为F (-1,0),左,右顶点分别为A,B.经过点F的直线l与椭圆M交于C,D两点. (1)当直线l的倾斜角为45时,求线段CD的长; (2)记ABD与ABC的面积分别为S1和S2,求|S1-S2|的最大值.,考点突破,解析(1)由题意知c=1,b2=3, 所以a2=4,所以椭圆M的方程为+=1, 易求得直线方程为y=x+1,联立方程,得 消去y,得7x

2、2+8x-8=0,=2880, 设C(x1,y1),D(x2,y2), 所以x1+x2=-,x1x2=-,所以|CD|=|x1-x2|=. (2)当直线l的斜率不存在时,直线方程为x=-1, 此时ABD与ABC的面积相等,|S1-S2|=0; 当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x+1)(k0),方法技巧 圆锥曲线中的最值(范围)问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法:一是几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是代数法,即把要求最值(范围)的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.,1-1(

3、2017云南第一次统一检测)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右 顶点分别为A、B,且长轴长为8,T为椭圆上一点,直线TA、TB的斜率之积为-. (1)求椭圆C的方程; (2)设O为原点,过点M(0,2)的动直线与椭圆C交于P、Q两点,求+ 的取值范围.,解析(1)由题意可知A(-4,0),B(4,0). 设T(x,y),则直线TA的斜率为k1=,直线TB的斜率为k2=. 于是由k1k2=-,得=-, 整理得+=1. (2)当直线PQ的斜率存在时,设直线PQ的方程为y=kx+2,点P、Q的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 由 消去y,得(4k2+3)x2+16kx-32=0, 由根与

4、系数的关系知x1+x2=-,x1x2=,从而,+=x1x2+y1y2+x1x2+(y1-2)(y2-2)=2(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+ 4 =-20+, 因为k20, 所以-20+-, 当直线PQ的斜率不存在时,+的值为-20. 综上所述,+的取值范围为.,典例2(2017课标全国,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+ y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足=. (1)求点P的轨迹方程; (2)设点Q在直线x=-3上,且=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过 C的左焦点F.,考点二圆锥曲线中的定义、定值问题,解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),则

5、N(x0,0),=(x-x0,y),=(0,y0). 由=得x0=x,y0=y. 因为M(x0,y0)在C上,所以+=1. 因此点P的轨迹方程为x2+y2=2. (2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n), 则=(-3,t),=(-1-m,-n),=3+3m-tn,=(m,n),=(-3-m,t-n). 由=1得-3m-m2+tn-n2=1,又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0. 所以=0,即. 又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.,1.定点问题的常见解法 (1)根据题意选择参数,建立一个含参数的直线系或曲线系方程,

6、经过分析、整理,对方程进行等价变形,以找出适合方程且与参数无关的坐标(该坐标对应的点即为所求定点). (2)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点符合题意.,方法技巧,2.求定值问题常见的方法 (1)从特殊情况入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.,2-1(2017陕西宝鸡质量检测(一)已知椭圆C:+=1(ab0)经过(1, 1)与两点. (1)求椭圆C的方程; (2)过原点的直线l与椭圆C交于A,B两点,椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|.求证:+为定值.,解析(1)将(1,1)与两点代入椭圆C的方程, 得解得 椭圆C的方

7、程为+=1. (2)证明:由|MA|=|MB|,知M在线段AB的垂直平分线上,由椭圆的对称性知A,B关于原点对称. 若点A,B是椭圆的短轴顶点,则点M是椭圆的一个长轴顶点, 此时+=+=2=2. 同理,若点A,B是椭圆的长轴顶点,则点M是椭圆的一个短轴顶点,此时,+=+=2=2. 若点A,B,M不是椭圆的顶点,设直线l的方程为y=kx(k0), 则直线OM的方程为y=-x,设A(x1,y1),B(-x1,-y1), 由解得=,=, |OA|2=|OB|2=+=,同理|OM|2=, +=2+=2, 故+=2为定值.,典例3(2015课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与 直

8、线l:y=kx+a(a0)交于M,N两点. (1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程; (2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.,考点三圆锥曲线中的探索性问题,解析(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a). 又y=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程 为y-a=(x-2),即x-y-a=0. y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a= -(x+2),即x+y+a=0. 故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0. (2)存在符合题意的点.证明如下: 设P(0,b)为符

9、合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.,将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0. 故x1+x2=4k,x1x2=-4a. 从而k1+k2=+=. 当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补, 故OPM=OPN,所以点P(0,-a)符合题意.,规律总结 解决探索性问题的注意事项 探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在. (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论. (2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件; (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取合适的方法解题.,3-1在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆 +y2=1有两个不同的交点P和Q. (1)求k的取值范围; (2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由.,解析(1)由已知条件知,直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程得+ (kx+)2=1, 整理得x2+2kx+1=0.,直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于=8k2-4=4k2-20,解 得k. 即k的取值范围为. (2)不存在. 理由如下:设P(x1,y1),Q(x2,y