数据处理与实验设计第2章

1、实验数据处理与实验设计,第二章 实验数据的整理,1,实验数据的整理,误差分析 整理列表 曲线标绘 求取数学模型,2,第一节实验数据的列表整理,评定实验精度的几个特征值 1. 平均值 2. 均方差 3.平均值标准差,等精度测量,不等精度测量,3,第一节实验数据的列表整理,实验数据的初步整理步骤,1. 求出算术平均值,2. 求出各测定值的均方差,3. 确定其最大可能误差，并验证各测定误差是否 超过最大可能误差,4. 确定其算术平均值的均方差,4,第一节实验数据的列表整理,例： 整理某亚高效过滤器灰尘穿透个数的结果,5,第一节实验数据的列表整理,1. 求出算术平均值,2. 求出各测定值的均方差,3.

2、 确定其最大可能误差，并验证各测定误差是否 超过最大可能误差,最大可能误差,第六个测定值不可靠,6,4. 确定其算术平均值的均方差,第一节实验数据的列表整理,算术平均值,练习题,如果实验中，某气体流量计的相对误差为12，那么，应指定量测多少次，才能保证其结果的相对精度是10，5，3和1？,7,第一节实验数据的列表整理,三. 实验结果的数据表,1.标题应该醒目，恰当的说明主题； 2. 数据的名称和单位，应在表格的名称栏中表明，不宜和数字附在一起； 3. “过大”或“过小”的数据，应该用“乘数10”来表达，并将它放在表头； 4. 表中的数字应与测定精确度相适应，注意有效数字的运算和写法,8,第二节

3、实验数据的插值,差值法： 就是根据已知实验点的数据，找出一个原函数关 系的简单表达式，时他们在给定的若干点处符合 实验值，用词表达式近似的找出差值点的数值。,内插法,外推法,常用的方法：线型插值法，图解法，拉格朗日法 及样条函数法,9,第二节实验数据的插值,例： 已经测得不同直径的圆柱中心冷却速度如下：,图解法： 选一个坐标系，以横坐标表示圆柱直径，纵坐标表示中心冷却速度，然后将已知的测定点标注在图上，用光滑曲线将这些点连接起来，即得到了近似的函数曲线。在曲线上，找出横坐标为40的点，那么纵坐标即为所求的插值结果。,求40cm的圆柱中心冷却速度。,10,第二节实验数据的插值,11,第二节实验数

4、据的插值,线性插值法： 线性插值就是我们早已用过的部分正比法，他是把插值区间的函数关系，近似当作直线来处理。 设被插值的原函数 ， ， 的值分别为 则通过此两点 ， 的直线方程为：,12,第二节实验数据的插值,13,拉格朗日法：,设 为给定的节点， ， 为相应的函数值，求一个次数不超过 的多项式 ，使其满足 ， . 这类问题称为插值问题。 称为被插值函数， 称为插值函数， 称为插值节点,一、问题提出,14,几何解释 求代数多项式 ，使其通过给定的点，并用它近似已知曲线 .,15,定理1 设 为给定的彼此互异的 个插值节点，则存在唯一的次数不超过 的多项式 ，满足条件 , .,二、存在唯一性,1

5、6,三、Lagrange插值多项式的构造 求一个n次多项式 , 使其满足如下条件 其中 为Kroneker符号. 注意到当 时, 为 的根, 故可设 ,其中C 为待定常数. 此时由另一条件当 时, 得, 得到常数C,进而得到基函数 从而Lagrange插值多项式可以表示为,17,四、线性插值和抛物插值 当n=1时,插值结点为 , 相应的函数值为 ,插值基函数满足 故线性插值多项式可表示为 几何意义:通过两点的直线.,18,当n=2时,插值结点为 , 相应的函数值为 ,插值基函数满足 故抛物插值多项式可表示为 几何意义:通过三点的抛物线.,19,第二节实验数据的插值,有了这n个n1次多项式，可写

6、出插值多项式 本例已知： x1=19; x2=25; x3=25; x4=75; y1=105; y2=55; y3=19; y4=10; 求x40时y的值。,20,例2.求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格 朗日型插值多项式。,21,解：用4次插值多项式对5个点插值,22,23,于是有,24,评价,优点: Lagrange基函数容易构造,结构紧凑,便于理 论研究. 缺点: 当增加或减少插值结点时,基函数需要重新 构造,不便于实际的计算使用,25,第三节如何正确的绘制实验结果曲线,4-2-2图解法处理实验数据,作图时要先整理出数据表格，并要用坐标纸作图。,作图步骤：

7、实验数据列表如下,1、选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小 坐标分度值的选取应能反映测量值的有效位数，一般以 12mm对应于测量仪表的最小分度值或对应于测量值的次末位数）。,作图六点要求：,26,2、标明坐标轴： 用粗实线画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。,4、 连成图线： 用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。图线正穿过实验点时可以在点处断开。,3、标实验点： 实验点可用“+”、“*”、“。”等符号标出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号）。,27,由

8、图上A、B两点可得被测电阻R为：,5.标出图线特征： 在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的某些参数。利用所绘直线可给出被测电阻R大小：从所绘直线上读取两点 A、B 的坐标就可求出 R 值。,6.标出图名： 在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些必要的说明。,电阻伏安特性曲线,28,电学元件伏安特性曲线,横轴坐标分度选取不当。横轴以3 cm 代表1 V，使作图和读图都很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和读图，一般以1 mm 代表的量值是10的整数次幂或是其2倍或5倍。,29,改正为：,电学元件伏安特性曲线,30,定容气体压强温度曲线,1.2000,1.6000

9、,0.8000,0.4000,图3,P(105Pa),t(),60.00,140.00,100.00,o,120.00,80.00,40.00,20.00,图纸使用不当。实际作图时，坐标原点的读数可以不从零开始。,31,改正为：,定容气体压强温度曲线,1.0000,1.1500,1.2000,1.1000,1.0500,P(105Pa),50.00,90.00,70.00,20.00,80.00,60.00,40.00,30.00,t(),32,第三节如何正确的绘制实验结果曲线,一. 坐标的选择,1.直角坐标；,优点：最常用的方式，也是最熟悉的方式,优点： A 变量之一在所研究的范围内，有若干

10、数量级的变化 时，例如横坐标在20，40，60，80，100，500， 1000，2000，4000，此横坐标，如采用直角坐标的 花，曲线开始部分的坐标点几乎无法描绘。 B 当自变量在起始阶段的少许变化，引起因变量有剧 烈变化 时 C 当需要将非线性函数关系，变换成执行函数关系时。,2. 单对数坐标纸；,33,第三节如何正确的绘制实验结果曲线,3.双对数坐标；,4. 极坐标；,34,二 比例尺的选择 1.两个坐标比例尺应遵守的比例法则,第三节如何正确的绘制实验结果曲线,保证两个坐标轴各自所取的比例应遵守一定的关系,两轴比例尺的选择应保证“双双误差”面积成正方形,35,第三节如何正确的绘制实验结

11、果曲线,二. 比例尺的选择,1.两个坐标比例尺应遵守的比例法则；,两轴比例尺的选择应保证“双双误差”面积成正方形。,例： 当自变量x为1，2，3，4时，因变量y为8.0，8.2，8.3，8.0。现在任取坐标轴比例尺来作图，如纵坐标比例尺取得过分短或者过分长时，所获得两个曲线则完全不同。,36,第三节如何正确的绘制实验结果曲线,在本例子中，自变量测定误差为0.05，而因变量测量误差为0.02。 取沿x轴1单位为20mm，实验点的底边在图上的 宽度：,为保证点的高度在图上也等于2mm时，纵坐标1 个单位就应等于M mm（M为待定比例尺），即按,37,第三节如何正确的绘制实验结果曲线,38,第三节如

12、何正确的绘制实验结果曲线,2. 单坐标轴比例尺的选择,1.比例尺的大小，应保证所描出的实验误差“点”的面 积，通常在24mm2之内，且应使所有测试数据 易于在图面上绘出确切的坐标点。,2. 自变量至于x轴上，因变量置于y轴上，沿y轴标示的 变量应该包括所研究区间的全部变化值；,3. 应使所绘曲线，占满坐标纸面，如果是直线关系，应使 其尽量接近一根斜率为1的直线。,39,第三节如何正确的绘制实验结果曲线,四. 通过数据点描绘曲线的方法,1. 标绘数据点是，可用各种符号，如圆圈，矩形，三角形等，符号的大小应与观测值的准确度相当。,标绘数据点是，要求所配曲线与各数据点最接近，并不希望曲线都通过所有的数据点，曲线应该圆滑。,当实验点间隔很大时，可用拉格朗日插值法来不 同某 些中间点的数据。,4. 用最少二乘法对所配曲线做数量上的评定。,40,第三节如何正确的绘制实验结果曲线,五. 评价曲线好坏的标准,当测试数据 与曲线上数值 的偏差 最少时，即均方差 最小时，这条曲线就是最好的曲线。,41,第三节如何正确的绘制实验结果曲线,五. 评价曲线好坏的标准,方案a.,方案b.,方案c.,42,1标题(title) 标题一般写在表格的上方，内容应包括时间、地点、主要事件，不要过于简练，要求用最少的文字说清楚。 2标目(heading) 横标目要按时间前后或数量大小