第四章功与能教案

1、第四章 功与能（讨论力的空间累积,动能定理、势能定理、功能原理和机械能守恒定律）教学要求：*掌握功概念,计算直线运动及简单曲线运动中变力功。*掌握保守力作功及势能概念，计算势能及由势能求保守力。*掌握质点动能定理和质点系动能定理，解决质点在平面内运动时的简单力学问题。*掌握机械能守恒定律，分析简单系统在平面力学问题。*综合运用有关动量、角动量及功能的各定理、定律，解决质点在平面内运动时的简单力学问题。教学内容：4-1 功4-2 动能定理4-3 势能4-4 机械能守恒定律（学时：3学时）教学重点：* 变力的功的计算，功与能量的区别和关系。* 任意保守力场势能的计算。* 动能定理、功能原理及机械能

2、守恒及其应用.* 有关动量、角动量及功能的定理、定律的综合运用。作业：4-01）；4-05）；4-08）；4-10）；4-13）；4_15)；4_17)；4_20)；4_21)；4_22)。 -4-1 功一. 功 功的定义： 力F所作的功等于力F与受力点位移r的标积。 1. 恒力对直线运动物体作功 （4-1）讨论：（1） 功是标量，有正负之分。 00 力对物体作正功。 =90 A=0 力对物体不作功。 90180 A0 力对物体作负功。（2）关于受力点位移 若受力物体可视为质点，则受力点位移即质点位移。 若研究对象不是质点，有时受力点位移与物体的位移不一致，这时受力点位移指将受力部位视为质点时

3、该质点的位移。 受力点A移动2S,才能使物体位移S，计算功时，取那个位移呢？应取受力点A的位移。 用力F拉B端，弹簧上各部分的位移是不同的。B点位移最大，A点位移最小为零，计算功时，取那点位移呢？应取受力点B的 位移。（3）功是相对量。 因为位移的大小与参考系的选择有关，因此功的大小也与参考系的选择有关。 例如：匀速运动的车上有一物体m，车上一人用恒力F推物体，物体相对车位移了S，问人对物体做了多少功。 功为F与受力点位移r的标积，而r在不同的参考系中是不同的。 以车为参考系：A1=FS 以地为参考系：A2=F（S+ut） 可见功的计算与参考系有关。2. 变力对曲线运动物体作功 * 元功：物体

4、在某一位置作一元位移dr ，力作的元功为： （4-2）* 力F的功：物体由初始位置a经路径L到b 过程中，力作的功为： （4-3 ） （力F沿路经L的线积分） 3功的几何表示变力F（随位置变化的函数关系）： 则：力F的功为曲线与横轴包围的面积阴影部分。 二 合力的功 多个力同时作用在质点上， 合力为： 合力的功为： 合力的功等于各分力做的功的代数和。三 功率力的功率定义：力在单位时间做的功。设在dt时间内，力F作的功为dA，则功率为： 由于及，代入上式，为： 功率为力与质点速度的点积。* 作功公式： * 国际单位制：功的量纲为ML2T2，单位为J(焦耳)，功率的量纲为ML2T-1，单位为W(瓦

5、)。四 一对力的功一对力特指两个物体间的作用力和反作用力。一对力的功指在一个过程中一对力作功的代数和。一对力的元功之和： （4-4）dr12是质点m2对质点m1的相对元位移。 结论：（1）一对力的元功等于其中一质点受力与该质点对另一质点相对元位移的点积。（2）一对力的功仅决定于力和质点间的相对位移，由于相对位移与参考系的选择没有关系，因此一对力作的总功与参考系的选 择无关。 （3）一对力做的总功： 系统中的二质点由初态时的相对位置a变化到未态时相对位置b，一对力作的总功为： （4-5）-例4.1 一绳长为l，小球质量为m的单摆竖直悬挂，在水平力F的作用下，小球由静止极其缓慢地移动，直至绳与竖直

6、方向的夹角为q，求：力F做的功。 解： 因小球极其缓慢地移动，近似认为加速度为零，所受合力为：水平力F、重力G、拉力FT, 矢量和 F + G + FT = 0 由于合力的切向分量：可得： 力F做功 例4.2 一对质量分别为m1和m2的质点，彼此间存在万有引力作用。 设m1固定不动，m2在引力作用下由a经某路径l运动到b。已知m2在a点和b点时距m1分别为ra和rb，求：万有引力的功。 解 作例4.2图，取m1为坐标原点，某时刻m2对m1的位矢为r，引力F与r方向相反。当m2在引力作用下完成元位移dr时，引力做的元功为： 由图可见：=dr（此处dr为位矢大小的增量）故上式可以写为 总功为： 注

7、意：万有引力功只与质点的初态末态的相对位置、有关，与路径l没有关系“保守力” -4-2 动能定理一 质点的动能定理 设一质点在变力作用下，沿一条曲线路径运动，在a点、b点速率分别为V1和V2。 当质点在某一位置移动一元位移时，力F对质点所作的元功为： 力在切线方向的分量 根据 以及 代入上式，则： 动能定义： 上式为： (4-6) 质点动能定理(微分形式)表明：力对质点做的元功等于质点动能的微增量。 考虑质点从a经路径L运动到b，相应的动能变化，将(4-6)式积分： (4-7) 质点动能定理（积分形式）表明：合外力对质点做的功等于质点动能的增量。讨论：（1）（4-7）式中，各量均系对同一质点，

8、相对同一参考系而言。（2）动能定理是与一段做功的过程相联系，表明了合功与初、未状态动能的变化关系，不涉及中间各个瞬时的运动状态。（3）功和动能的概念不能混淆质点运动状态一但确定，动能就惟一确定了，动能是运动状态的函数，是反映质点运动状态的物理量。功是和质点受力并经历位移这个过程相联系的，过程意味着状态变化，所以功不是描写状态的物理量，它是过程的函数。二 质点系的动能定理质点系的总动能定义为各质点动能之和 对系统中第i个质点，应用质点的动能定理 对系统中所有质点求和 即： (4-8) 质点系的动能定理所有外力对质点系做的功与内力做功之和等于质点系动能的增量。讨论：（1） 质点的动能因外力做功而改

9、变，又可内力做功而改变，不同于质点系的动量定理和质点系的角动量定理。（2） 质点系的动能定理，实际上概括了质点的动能定理。（3） 当A内+A外= 0时，Ek2=Ek1。表明，在外力和内力对质点系所做的合功等于零时，质点系的动能守恒。-例4.3 一链条长为l，质量m，放在光滑的水平桌面上，链条一端下垂，长度a。假设链条在重力作用下由静止开始下滑，求：链条全部离开桌面时的速度。 解 解：重力做功只体现在悬挂的一段链条上，设某时刻悬挂着的一段链条长为x，所受重力 经过位移元dx，重力的元功为： 当悬挂长度由a变为l(离开桌面)时，重力的功为： 根据动能定理，外力的功等于链条动能的增量。 得 例4.4

10、 质量为mB的木板静止在光滑桌面上，质量为mA的物体放在木板B的一端，现给物体A一初始速度使其在B板上滑动（图(a)），设A、B之间的摩擦因数为 ，并设A滑到B的另一端时A、B恰好具有相同的速度，求：B板的长度以及B板走过的距离 (A可视为质点)。 解 解：A向右滑动时，B给A一向左的摩擦力，A给B一向右的摩擦力，摩擦力的大小为，将A、B视为一系统，摩擦力是内力，因此系统水平方向动量守恒，设A滑到B右端时二者共同速度为v。解得 再对A、B系统用质点系动能定理（摩擦力功是一对力的功），设B不动，A相对B移动L，摩擦力的功为，代入质点系动能定理 可得： 再单独对B板应用质点动能定理，此时B板受的摩

11、擦力做正功 得：-4-3 势能一 保守力和非保守力保守力的定义 做功与做功具体路径无关，只与系统始末状态的相对位置有关。沿任一闭合路径做的功等于零保守力。 （如：重力、弹簧力、万有引力）非保守力做功与路径有关的力。如：摩擦力等。二 势能1重力的功： 地球与质点为一系统，重力是系统一对内力，总功只与相对位移有关。设地球不动，质点m在重力作用下由a (ha)经路径acb到达b (hb)，在元位移dr中，重力做的元功为： （是元位移dr在h方向的分量）重力做的功为： （4-9）结论：（1） 重力做功只与重力系统(地球与质点)的始末相对位置ha、hb有关，与做功的具体路径没有关系（如质点经虚线adb路

12、径到达b点） （二者相同，而且 ）（2） 闭合路径中重力的总功为： 重力为保守力 2弹力的功： 弹簧和振子构成的系统，弹力是一对内力。设弹簧一端固定，另一端振子受弹力。弹力做的元功为： 弹力的功为： (4-10)结论：弹力的功与做功路径无关，振子经历任何闭合路径，弹力的功等于零，弹力是保守力。3万有引力的功： 由例4.2计算过万有引力的功万有引力是保守力。 总之保守力F沿任一闭合路径做功等于零，用数学公式可为： （保守力的环流-环路积分等于零) 4系统的势能（）： 功是物体(系统)在运动过程中能量变化的量度。分析保守力做功，认识另一种形式的能量 势能： 其中：第一项与系统初态时的相对位置(ha

13、、xa、ra)相联系，第二项与系统末态时的相对位置(hb、xb、rb)相联系，因此，保守力做功改变的是与系统相对位置有关的一种能量。定义势能或势函数，用表示。与初态位形相关的势能用表示，与末态位形相关的势能用表示，上面三式就可以归纳为 (4-11) 系统的势能定理说明：势能是系统共有的能量，是一种相互作用能，势能的概念只与保守力联系在一起。非保守力没有相应的势能。三 势能的计算 势能曲线1重力势能取为势能零点，质量m的物体的重力势能为： 若令，则：* 重力势能曲线图(a) 过原点的直线2弹性势能取为势能零点，当弹簧伸长(或后缩)x时，弹性势能： 若令，则： （以弹簧的原长，为势能零点）* 弹性

14、势能曲线图(b)抛物线3 引力势能两质点构成的(万有)引力系统，其相对位置以r表示。以二质点相距时为势能零点，引力势能为： 若令，无穷远为零势能，则： （引力势能是一负值） * 引力势能曲线图(c) 双曲线的一支可见： 当时， （一般认为二质点相距较远时系统引力势能为零）。 当时，一个不合理的结果，因此。注意：一复杂的系统可能包含不止一个势能，如一个竖直悬挂的弹簧振子就既有重力势能，又有弹性势能。把各种势能的总和定义为系统的势能，势能定理依然成立： 即：在一个过程中系统内保守力的总功等于系统势能的减少量。四 由势函数求保守力 按势能计算的公式：势能(势函数)是保守力对空间的积分，反之，保守力是

15、势能(势函数)对空间的导数。设质点在保守力F作用下沿l方向元位移dl（如图），按势能定理: 式中：是保守力F在l方向的分量，为势能的微增量，将dl移到等式右边，得： （4-13）式中： 为势能(势函数)对l方向的一阶导数，表示势能沿l方向的变化率。表明：保守力在某方向的分量等于势能在该方向变化率的负值。负号表示保守力的方向指向势能减少的方向。* 重力势能 ( h为参考方向) 重力 * 弹性势能 ( x轴为参考方向)弹力 * 引力势能 ( r为参考方向)引力 在一般情况下，势函数为空间位置的多元函数 ，例如：，如令l分别等于x,y,z,则由上面结论有： 保守力F等于其势函数梯度的负值。* 运算符

16、号 梯度算符(矢量算符)， 梯度 - Gradient grad 散度 - Didergence div 旋度 - Curl curl- 例4.5 原子间的相互作用力是保守力，存在作用势能，已知某双原子分子的原子间相互作用的势函数为：其中: a、b为常量，r为两原子间的距离，求：原子间作用力的函数式及原子间相互作用力为零时的距离。解 已知势函数求保守力可用(4-13)式 欲求二原子间相互作用力为零时的距离，可令F = 0： -4-4 机械能守恒定律一 质点系功能原理按质点系的动能定理： 而内力分为保守力和非保守力，内力的功相应分为保守力的功A内和非保守力的功A内非保。由 及 动能和势能都是系统

17、因机械运动而具有的能量-机械能故有： （4-14） 质点系功能原理：外力与非保守内力做功之和等于质点系机械能的增量。二 机械能守恒定律 如果外力与非保守内力不做功或做功之和等于零，系统的机械能守恒。 若： 则： 机械能守恒定律在机械能守恒的前提下，系统的动能和势能可互相转化，各组成部分能量可互相转移，但它们的总和不会变化。-例4.6 下图劲度系数k的轻弹簧下端固定，沿斜面放置，斜面倾角。质量m物体从与弹簧上端相距为a位置以初速度沿斜面下滑并使弹簧最多压缩b。求：物体与斜面之间的摩擦因数。 解 解 将物体、弹簧、地球视为一个系统，重力和弹力是保守内力，正压力与物体位移垂直不做功，只有摩擦力Fk为

18、非保守内力且做功。根据系统功能原理，摩擦力做功等于系统机械能的增量，并注意到弹簧最大压缩时物体速度为零，有：以及 可得： 例4.7 两质量为和的木板，用劲度系数k的轻弹簧连在一起，放置在地面上（下图）。问：至少要用多大的力F压缩上面木板，才能在该力撤去后因上面的木板升高而将下面的木板提起？ 解 解： 加外力F后弹簧压缩，处于平衡 (图 (a)，撤去F，会向上运动，F足够大以至弹力F1足够大，m1上升至弹簧由压缩转为拉伸将m2提离地面。将m1、m2、弹簧和地球视为一个系统只有保守内力做功，机械能守恒。m2恰好提离地面时为末态，初末态动能均为零。设弹簧原长时为坐标原点和势能零点(图 (b)，机械能

19、守恒，为: (1)（式中为压力F作用时弹簧的压缩量）由图4-15(a)可得 (2)（式中x为m2恰好能提离地面时弹簧的伸长量）由图4-15(c)可知，要求： (3)联立求解方程(1)、(2)、(3)式，得： 故，使提离地面的最小压力为： 例4.8 轻弹簧下端固定在地面，上端连接一质量M的木板，静止不动，一质量m0的弹性小球从距木板h高度处以水平速度平抛，落在木板上与木板弹性碰撞，设木板没有左右摆动，求：碰后弹簧对地面的最大作用力。 解： （分过程讨论）* 第一个分过程：m0平抛到达木板时，其水平和竖直方向速度分别为： (1) (2)* 第二个分过程：小球与木板的弹性碰撞过程，将小球与木板视为一个系统，动量守恒。因碰后木板没有左右摆动，小球水平速度不变，因竖直方向动量守恒：设碰后小球速度竖直分量为，木板速度为V (3)因弹性碰撞，系统动能不变： (4)* 第三个分过程：碰后木板的振动过程，将木板、弹簧和地球视为一个系统，机械能守恒。取弹簧为原长时作为坐标原点和势能零点，并设木板静止时弹簧已有的压缩量为