对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解

1、最新资料推荐2.1对数与对数运算1对数的概念一般地，如果ax n (a0，且 a1)，那么数x 叫做以 a 为底 n 的对数，记作x log an，其中 a 叫做对数的底数， n 叫做真数说明： (1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y ax 的另一种表达形式，例如：34 81 与 4 log 381 这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax n? x logan，从而得对数恒等式： alogann.(2) “ log同”“ ”“”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面(3)根据对数的定义，对数logan(a

2、0，且 a 1)具有下列性质： 零和负数没有对数，即n0 ； 1 的对数为零，即 loga1 0； 底的对数等于 1，即 log aa 1.2对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度(1)基本公式 loga(mn ) log am log an ( a0， a1，m 0，n0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和m loga n logam log an (a0 ，a1，m0，n0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数 logamnnlog am (a0

3、， a1， m0， nr )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数(2)对数的运算性质注意点 必须注意 m0， n0，例如 loga( 3) ( 4)是存在的，但是 log a( 3)与 log a( 4)均不存在，故不能写成 log a( 3) ( 4) log a( 3) loga( 4)m 防止出现以下错误：loga (mn) log amlogan， log a(mn) log amlogan ， log a n log am， log amn (log am)n.log an3对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10 的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底1最新资料

4、推荐公式： logbnlog cn(b0，且 b1； c0，且 c1； n0) clog b证明设 log bn x，则 bxn.两边取以 c 为底的对数，得 xlogcb log cn.所以 x log cn，即 log bnlog cn.log cblog cb换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log bn1或 logbnlognb 1 (n0 ，且 n1； b0，且 b 1)；lognbmm(2)log bnn nlog bn(n0； b0，且 b1； n0， m r

5、).题型一正确理解对数运算性质对于 a0 且 a1，下列说法中，正确的是() 若 mn，则 logam logan； 若 log am log an，则 m n； 若 log am2 logan2，则 m n； 若 mn，则 logam2 logan2.a 与 b 与 cd 、 、 、 解析 在 中，当 m n0时， logam 与 log an 均无意义，因此 log am log an 不成立在 中，当 logam logan 时，必有 m0 ， n0 ，且 m n，因此 m n 成立在 中，当 logam2 logan2 时，有 m0， n0，且 m2 n2，即 |m | |n|，但未必

6、有mn.例如， m 2， n 2 时，也有 log am2 logan2，但 mn.在 中，若 m n 0，则 loga m2 与 log an2 均无意义，因此log am2 log an2 不成立所以，只有 成立答案 c点评 正确理解对数运算性质公式， 是利用对数运算性质公式解题的前提条件， 使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件2最新资料推荐题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：32(1)2log 32log 3 9 log 38 5log53；(2)lg25 23lg8 lg5 lg20 (lg2) 2；log52log79(3).1 3log5 3log7 4分析利用对数

7、的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算解 (1)原式 2log 32 (log 332log 39) 3log 32 3 2log 32 5log 32 23log 32 3 1.102(2)原式 2lg5 2lg2 lg 2 lg(2 10) (lg2) 2lg(5 2) (1 lg2) (lg2 1) (lg2) 2 2 1 (lg2) 2 (lg2) 23.1(3) log 52log 522log 732log79113 log53log7 4log 5log7 433lg2 lg3 lg53.lg7

8、 lg31 lg42lg53 lg7点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、 商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值； 另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值题型三对数换底公式的应用计算： (log 2125 log425 log 85)(log 52 log254 log1258)分析由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值3最新资料推荐解方法一原式log 253 log2 25 log25

9、log52 log 54 log58log 24log28log 525log 51252log25 log 252log523log 523log 25 2log223log22log52 2log55 3log 551 3 13 log25(3log 52)log22 13log25 13.log25方法二原式 lg125 lg25 lg5lg2 lg4 lg8lg2lg4 lg8lg5 lg25lg1253lg52lg5lg5lg22lg23lg2 lg2 2lg2 3lg2lg5 2lg5 3lg5 13lg5lg2 13.3lg23lg5点评 方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；

10、 方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非 1 的正数为底 )，然后再化简上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法已知 log( x 3)( x2 3x) 1，求实数 x 的值错解由对数的性质可得x2 3x x 3.解得 x1或 x 3.错因分析对数的底数和真数必须大于0 且底数不等于1，这点在解题中忽略了23x x 3，x正解由对数的性质知2 3x0，xx 30 且 x3 1.解得 x1，故实数x 的值为 1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有： loga1 0，logaa 1，alog ann (a0 ，且 a1， n

11、0) 1 (上海高考 )方程 9x 63x7 0 的解是 _解析 9x63x 70，即 32x 63x 7 0 (3x 7)(3x 1) 0 3x 7 或 3x 1(舍去 ) x log 37.4最新资料推荐答案log37ex， x0，则 g g1 _.2 (辽宁高考 )设 g(x)ln x，x0，2解析g1 ln10 ，解析由题意得a 31，解得 3a0，2设 a log 32，则 log 38 2log 36 用 a 表示的形式是()2a a 2b 3a (1 a)c5a 2d a2 3a 1答案a解析 a log32， log38 2log 363log 322(log 321) 3a2

12、(a 1) a 2.3 log 56log 67log78log 89log910 的值为 ()1a 1 b lg5 c.lg5d 1 lg2答案c解析原式lg6 lg7 lg8 lg9 lg10lg101. lg5lg5lg5 lg6 lg7 lg8 lg94已知 loga (a2 1)log a2a0，则 a 的取值范围是 ()1a (0,1) b.0， 21， 1d (1， )c. 25最新资料推荐答案c0 a1， a0 ，a1， loga(a2 1)log a2a， 0a1. 1a0 ，a 1)在 1,3 上最大值与最小值之和为2f( x) aa ，则 a 的值为()11a 4b.4c

13、3 d.3答案d6若方程 (lg x)2 (lg7 lg5)lg x lg7 lg50 的两根为， ，则 等于 ()1a lg7 lg5b lg35 c 35 d. 35答案d解析 lg lg (lg7 lg5) lg35 lg 1351 35.1 _.7已知 f(log 2x) x，则 f 2答案2解析令 log 2x1，则 21 x， f1 21 2.22228 log ( 2 1)( 2 1) _.答案 1解析log 21(2 1)(21)2 1) log 2 12 1 log(1 1.21)2 19已知 lg2 0.301 0， lg3 0.477 1， lgx 20.778 1，则

14、x _.答案0.06解析 lg2 0.301 0， lg3 0.477 1，而 0.301 0 0.477 1 0.778 1， lgx 2 lg2 lg3，即 lgx lg10 2 lg6. lgx lg(6 10 2 2)，即 x 610 0.06.10 (1)已知 lgxlg y 2lg( x 2y)，求 logx的值；2y(2)已知 log189 a,18b 5，试用 a，b 表示 log 365.6最新资料推荐解 (1)lg x lgy 2lg( x 2y)， xy (x 2y)2，即 x25xy 4y2 0.即 (x y)(x 4y) 0，解得 x y 或 x 4y，x0，又 y0

15、， x2y0 ，x2y0 ， x y，应舍去，取x 4y.则 log 2x log24y log24 lg4 4.yylg 2(2) 18b 5， log 185 b,又 log 189 a， log365 log185blg1836log18(18 2)b18 b181 log21log 18 9b b1 (1 log189)2 a.11设 a，b， c 均为不等于1 的正数，且 axby cz，111 0，求 abc 的值xyz解令 ax by cz t (t0 且 t1)，则有 1 logta， 1 logtb，1 logt c，xyz又111 0， log tabc 0， abc 1.

16、x yz12已知 a， b， c 是 abc 的三边，且关于x 的方程 x2 2x lg( c2 b2 ) 2lg a 1 0有等根，试判定 abc 的形状解关于 x 的方程 x2 2x lg( c2 b2)2lg a 1 0 有等根， 0，即 4 4lg( c2 b2)2lg a1 0.即 lg(c2b2)2lg a0，故 c2 b2a2， a2 b2 c2， abc 为直角三角形2 2.1对数与对数运算(一 )学习目标7最新资料推荐1理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化2了解常用对数与自然对数的意义3理解对数恒等式并能用于有关对数的计算自学导引1如果 a(a0 且 a1) 的 b 次

17、幂等于 n，就是 ab n，那么数 b 叫做以 a 为底 n 的对数，记作 b logan，其中 a 叫做对数的底数， n 叫做真数2对数的性质有：(1)1 的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数3通常将以10 为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10n 可简记为 lgn， logen 简记为 lnn.b4若 a0 ，且 a1，则 a n 等价于 log an b.一、对数式有意义的条件例 1求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x 10)； (2)log ( x 1)(x 2)； (3)log (x1) (x 1)2.分析由真数大于零，底数大

18、于零且不等于1 可得到关于x 的不等式 (组 )，解之即可解 (1)由题意有 x 100， x10，即为所求x 20，(2)由题意有x 10且 x 11，x 2，即 x1 且 x2.x1且 x2，(x 1)20，(3)由题意有x 10且 x 11，解得 x1 且 x0， x1.点评在解决与对数有关的问题时，一定要注意： 对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移 1在 b log (a 2) (5 a)中，实数a 的取值范围是 ()8最新资料推荐a a5 或 a2b 2a5c2 a3 或 3a5d 3a0解析由题意得a 20，a 21 2a0)；(1)alogablog bclog

19、cn 的值 (a，b， c r1(2)42(log 29 log 25)解 (1)原式 (alog ab)log bclog cnblog bclog cn (blogb c)log cn clog cn n.2log 299(2)原式 2(log 29 log25) 2log 25 5.点评对数恒等式alogan n 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2) 指数中含有对数形式； (3) 其值为真数变式迁移 3计算： 3log 315 ( 3)log 3 .5解原式5 31log 315 (3log 31)1255 251 6 555 .1一般地，如果 a(a0，a 1)的 b 次幂等于 n

20、，就是 ab n，那么 b 叫做以 a 为底 n 的对数，记作 log an b，其中 a 叫做对数的底数， n 叫做真数2利用 ab n? b logan (其中 a0， a1， n0)可以进行指数与对数式的互化3对数恒等式：alogan n( a0 且 a 1)10最新资料推荐一、选择题1下列指数式与对数式互化不正确的一组是()0a 10 1 与 lg10b2711与 log271 13333clog 319 与 91322d log 551 与 51 5答案c2指数式b6 a (b0，b1)所对应的对数式是()a log 6aab log6 b aclog ab6d logb a 6答案

21、 d3若 logx(52) 1，则 x 的值为 ()a. 52 b. 5 2c. 5 2 或 5 2 d 2 5答案 b4如果 f(10x) x，则 f(3)等于 ()a log 310310b lg3 c 10 d 3答案b解析方法一令 10xt，则 x lgt， f(t) lgt， f(3) lg3.方法二令 10x 3，则 x lg3 ， f(3) lg3.15 212log25 的值等于 ()a 2 5b 2 5c25d 1522答案b解析11121log25 22 log 25 22log2522211最新资料推荐 251 2 5.2二、填空题6若 5lgx 25，则 x 的值为 _

22、答案100解析 5lgx52 ， lgx2， x102 100.7设 loga2m， log a3 n，则 a2mn 的值为 _答案12解析 log a2 m，log a3n， am 2， an 3， a2m n a2man (am)2an 223 12.8已知 lg6 0.778，2则 102.778 2 _.答案600解析102.778 22lg6 600. 1010三、解答题9求下列各式中x 的值1 2x(1)若 log 3 1，则求 x 值；2(2)若 log 2 003(x 1) 0，则求 x 值解 (1) log 3 1 2x 1， 12x 399 1 2x 27，即 x 13(2

23、) log 2 003(x2 1) 0 x2 1 1，即 x2 2 x 2210求 x 的值： (1)x log 2 4； (2)x log 93； (3)x 71 log75；1(4)log x8 3；(5)log 2x 4.解(1)由已知得：2 x4，2 21x 22， x2， x 4.22(2)由已知得：x2x193，即 3 3 .2 2x1， x 1.247(3)x 77log 75 75 5.12最新资料推荐 3(4)由已知得： x 8，即13311x 2， 2， x .x2141(5)由已知得： x216.2.2.1 对数与对数运算 (二 )学习目标1掌握对数的运算性质及其推导2能

24、运用对数运算性质进行化简、求值和证明自学导引1对数的运算性质：如果a0， a1， m0， n0，那么，(1)log a(mn ) log am log an；m(2)log a n logam logan；(3)log amn nlogam(nr )logcb2对数换底公式：log ab logca.一、正确理解对数运算性质例 1若 a0， a1， x0， y0 ， xy，下列式子中正确的个数有() logaxlog ay log a (x y)； logax log ay loga (xy)；x logay log axlog ay； loga(xy) logaxlog ay.a 0 个b

25、1 个c 2 个d 3 个答案a解析对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如logax logax， logax 是不可13最新资料推荐分开的一个整体四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件变式迁移 1若 a0 且 a1， x0，n n* ，则下列各式正确的是()1na log ax log axb (log ax) nloga xc(log ax)nlog axnd logax loga1x答案a二、对数运算性质的应用例 2计算

26、：7(1)log 5352log 5 log 57 log5 1.8；(2)2(lg2)2 lg2lg5(lg2) 2 lg2 1；(3) lg 27lg8 lg 1 000； lg1.2(4)(lg5) 2 lg2 lg50.分析利用对数运算性质计算9解(1)原式 log5 (5 7) 2(log 57 log53) log57 log 55 log55 log 57 2log 57 2log 53 log 57 2log 53 log55 2log 55 2.(2)原式 lg2(2lg2 lg5) (lg2 1)2 lg2(lg2 lg5) 1lg2 lg 2 1 lg2 1.332lg3

27、 3lg2 23lg3 6lg2 33(3)原式2(lg3 2lg2 1) .lg3 2lg2 12(4)原式 (lg5) 2lg2 (lg2 2lg5) (lg5) 2 2lg5 lg2 (lg2) 2(lg5 lg2) 2 1.点评要灵活运用有关公式注意公式的正用、逆用及变形使用变式迁移 2求下列各式的值：(1)log 5352log12log 5 1 log 514；250(2)(1 log 63)2 log6 2log618 log64.14最新资料推荐解 (1)原式1 2 log5(5 7) 2log 2 22 log5(5 2) log5(2 7) 1 log 57 1 2 log

28、 52 log 52 log57 2.(2)原式 log 262 log 62log 6(3 6) log622 log62(log 62 log 63 1) (2log 62) 1.三、换底公式的应用例 3 (1)设 3x 4y 36，求 2x 1y的值；(2)已知 log189 a,18b 5，求 log 3645.解(1)由已知分别求出x 和 y. 3x 36,4y 36， x log 336， y log 436，由换底公式得：log 36361，y log 36361，x log363log363log364log3641 log 363，1log 364，xy21 2log 363

29、 log364 log36(3 24) log 3636 1.(2) log 189 a,18b 5， log 185 b. log3645 log 1845 log 18(9 5) log 1836 log18(18 2)log189 log185a ba b1 log182182 a.1 log 18 9点评指数式化为对数式后，两对数式的底不同， 但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除变式迁移 3(1) 设 log34log4 8log8m log 416，求 m；(2)已知 log1227 a，求 log 616 的值解(1)利用换底公式，得lg4 lg8 lgm 2，lg3

30、 lg4 lg8 lgm 2lg3 ，于是 m 9.15最新资料推荐3lg3(2)由 log 1227a，得 2lg2 lg3 a， lg32alg2lg32a3 a， lg23 a. log6164lg24lg3 lg22a 13 a4(3 a).3 a1对于同底的对数的化简常用方法是：(1) 收“ ”，将同底的两对数的和 (差 )化成积 (商 ) 的对数；(2) 拆“ ”，将积 (商)的对数拆成对数的和 (差 )2对于常用对数的化简要充分利用“ lg5 lg2 1”来解题3对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值一、选择题1 lg8 3lg5 的值为 ()a 3b 1c 1d 3

31、答案d解析lg8 3lg5 lg8 lg5 3 lg1 000 3.2已知 lg2 a， lg3 b，则 log36 等于 ()a ba ba.ab.ba bc.a b d.a b答案blg6 lg2 lg3 a b 解析 log 36 lg3 lg3 b .3若 lga，lg b 是方程 2x2 4x 1 0 的两个根，则11a 2 b.2c4 d.4a2的值等于 ()lgb16最新资料推荐答案a解析由根与系数的关系，得lga lgb 2，lg algb 1，2 lgab 2 (lga lgb)2 (lga lgb)24lg algb2 1 2 4 2.24若 2.5x 1 000,0.25y 1 000，则 1 1等于 ()x y11a. 3b 3 c 3d 3答案a解析由指数式转化为对数式：x log 2.51 000， y log 0.251 000，111则 log 1 0002.5log 1 0000.25 log 1 00010 .xy35设函数 f( x) logx(a0，且 a 1)，若 f(x x222) 8，则 f(x) f(x ) f(xa1 2 x2 005122 005的值等于 ()a 4 b 8 c 16 d 2log a8答案c解析因为 f(x)log ax， f(x1x2x2 005) 8，222所以