导数典型例题.doc

1、谢谢阅读导数典型例题 数作 考 内容的考 力度逐年增大 .考点涉及到了 数的所有内容，如 数的定 ， 数的几何意 、物理意 ，用 数研究函数的 性，求函数的最（极） 等等，考 的 型有客 （ 、填空 ）、主 （解答 ）、考 的形式具有 合性和多 性的特点.并且， 数与 内容如二次函数、二次方程、三角函数、不等式等的 合考 成 新的 点.一、与 数概念有关的 【例 1】函数 f(x)=x(x-1) ( x-2) (x-100) 在 x=0 的 数 a.0b.100 2c.200d.100 ！解法一 f(0)=( x-1)(x-2) (x-100)= （ -1）（ -2）（ -100 ） =100

2、 ！ d.解法二 设 f(x)=a101x101+ a100x100+1x+a0， f(0)= a1，而1（+ aa = -1）（ -2）（ -100 ）=100 ！. d.点 解法一是 用 数的定 直接求解，函数在某点的 数就是函数在 点平均 化率的极限 .解法二是根据 数的四 运算求 法 使 解 .【例 2】 已知函数 f(x)=，nn* ， =.解 =2+=2f(2)+ f (2)=3 f (2)，又 f(x)=， f(2)= （2）=(1+2) n-1= (3 n-1).点 数定 中的“增量x”有多种形式，可以 正也可以 ，如，且其定 形式可以是，也可以是（令 x=x-x0 得到），本

3、 是 数的定 与多 式函数求 及二 式定理有关知 的 合 ， 接交 、自然，背景新 .【例 3 】 如 的半径以2 cm/s 的等速度增加， 半径r=10 cm ， 面 增加的速度是.解 s=r2 ，而 r=r(t)，=2 cm/s ， =2 r=4 r， /r=10 =4 r/r=10=40 cm 2 /s.点 r 是 t 的函数，而 面 增加的速度是相当于 t 而言的（ r 是中 量），此 易出 “ s= r2， s =2 r， s /r=10 =20 cm 2/s ”的错误 .本 考 数的物理意 及复合函数求 法 ， 注意 数的物理意 是距离 的 化率，它是表示瞬 速度，因速度是向量，故

4、 化率可以 负值 .2004 年高考湖北卷理科第 16 是一道与 合考 数物理意 的填空 ，据 料反映： 多考生在求出距离 的 化率是 后，却在写出答案 居然将其中的 号舍去，以致痛失4 分 .二、与曲 的切 有关的 【例 4】 以正弦曲 y=sin x 上一点 p 切点的切 直 l， 直 l 的 斜角的范 是谢谢阅读谢谢阅读a.b.c.d. 解 设过曲线 y=sinx 上点 p 的切线斜率角为，由题意知， tan =y =cosx. cosx-1 ，1， tan -1 ，1，又， .故选 a.点评 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f (x0)表示曲线， y=f(x) 在点（ x0 ，

5、f(x0) ）处的切线斜率，即k=tan (为切线的倾斜角 )，这就是导数的几何意义.本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范围，极易出错.【例 5】 曲线 y=x3-ax2 的切线通过点（ 0，1），且过点（ 0，1）的切线有两条，求实数 a 的值 .m,m3 -am 2） .而 y=3 x2 -解 点（ 0 ，1）不在曲线上，可设切点为（2ax ， k 切 =3m 3-2am ，则切线方程为 y=(3 m3 -2am)x-2m3 -am 2. 切线过（ 0， 1）， 2m3-am 2+1=0.(*)设（ *）式左边为 f(m)， f(m)=0，由过（ 0，1）点的切线有 2 条，可知

6、f(m)=0 有两个实数解，其等价于“f(m)有极值，且极大值乘以极小值等于0，且 a0”.由 f(m)=2m3-am 2+1，得 f(m)= 6m 3-am 2 =2m(3m-a)，令 f(m)=0，得m=0，m=，a0， f(0) f()=0，即 a 0， -a3+1=0 ， a=3.点评 本题解答关键是把“切线有2 条”的“形”转化为“方程有2 个不同实根”的“数”，即数形结合，然后把三次方程（*）有两个不同实根予以转化 .三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于 0，且极小值小于 0”.另外，对于求过某点的曲线的切线，应注意此点是否在曲线上 .三、与函数的单调性、最（极）值有关的问题【

7、例 6】 以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号是a.、b.、c. 、d. 、解 由题意知导函数的图像是抛物线.导函数的值大于0 ，原函数在该区间为增函数；导函数的值小于0，原函数在该区间为减函数，而此抛物线与x 轴的交点即是函数的极值点，把极值点左、右导数值的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑，可知一定不正确的图形是、，故选c.点评 f(x)0（或 的实数根； an+ 1n ，n； f(x)的导数 f(x)（ 0 ，1）.=f(a ) n（1）证明： an ， nn*；（2）判断 an 与 an+1 的大小，并证明你的结论.（1）证明：（数学归

8、纳法）当 n=1 时，由题意知 a1 ，原式成立 .假设当 n=k 时， ak，成立 . f(x)0， f(x)是单调递增函数 .ak+1 = f(ak) f()=，（是方程f(x)= x 的实数根）即当 n=k+1 时，原式成立 .故对于任意自然数n*，原式均成立 .（ 2）解： g(x)=x-f(x),x ， g (x)=1- f (x)，又 0 f (x)0.g(x)在上是单调递增函数 .而 g ( )=-f( )=0， g(x)g() (x)，即 xf(x). 又由（ 1）知， an ， an f(an )=an+ 1.点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接，其中将导数知识

9、融入数学归纳法，令人耳目一新.四、与不等式有关的问题【例 9】 设 x0，比较 a=xe-x，b=lg(1+ x)，c=的大小 .解 令 f(x)=c-b=-lg(1+ x)，则 f(x)= 0 ， f(x)为上的增函数， f(x)f(0)=0 ， cb.令 g(x)=b-a=lg(1+ x)-xe -x，则当 x 0 时， g(x)=0，g(x)为上的增函数， g(x) g(0)=0 ， ba.因此， cba（ x=0 时等号成立） .谢谢阅读谢谢阅读点评 运用导数比较两式大小或证明不等式，常用设辅助函数法，如f(a)= (a)，要证明当 xa 时，有 f(a)=(a)，则只要设辅助函数 f

10、(x)= f(a)-(a)，然后证明 f(x)在 xa 单调递减即可，并且这种设辅助函数法有时可使用多次， 2004 年全国卷的压轴题就考查了此知识点 .五、与实际应用问题有关的问题【例 10 】 某汽车厂有一条价值为 a 万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高该生产线的生产能力，提高产品的增加值，经过市场调查，产品的增加值 y 万元与技术改造投入 x 万元之间满足： y 与(a-x)和 x2 的乘积成正比；当时， y=a3.并且技术改造投入比率：,其中 t 为常数，且 t.（1）求 y=f(x)的解析式及定义域；（2）求出产品的增加值y 的最大值及相应的x 值.解：（ 1）由已知，设 y=

11、f(x)=k(a-x)x2 ，当时， y= a3，即 a3=k， k=8，则 f(x)=8-( a-x)x2 .0t，解得 0x.函数 f(x)的定义域为 0x.（ 2） f (x)= -24x2+16 ax=x(-24 x+16 a) ，令 f (x)=0 ，则 x=0 （舍去），当 0x0 ，此时 f(x)在（ 0，）上单调递增；当 x时， f(x)0，此时 f(x)是单调递减 .当时，即 1t2 时， ymax =f()= ；当时，即 0t1 时， ymax =f()=.综上，当1 t 2 时，投入万元，最大增加值是，当0t1 时，投入万元，最大增加值是 .点评 f(x0)=0，只是函数f(x)在 x0 处有极值