高考理数A专题复习课件专题8立体几何共79

1、专题8立体几何,第1节空间几何体的三视图、表面积和体积,600分基础 考点&考法,600分基础 考点&考法,考点46空间几何体的结构、三视图 考点47几何体表面积的计算 考点48几何体体积的计算,返回,考点46空间几何体的结构、三视图,考法1空间几何体的结构特征 考法2空间几何体的三视图,返回,考点46空间几何体的结构、三视图,1多面体的结构特征,2.正棱柱与正棱锥的结构特征 (1)正棱柱：除棱柱的一切性质外，还有如下特征：侧棱与底面垂直(直棱柱)，底面是正多边形 (2)正棱锥：除棱锥的一切性质外，还有如下特征：顶点在底面内的射影是底面中心，底面是正多边形；侧棱长相等；侧面是全等的等腰三角形，

2、各等腰三角形底边上的高(称为斜高)相等；棱锥的高、斜高和斜足与底面中心的连线组成一个直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影组成一个直角三角形,考点46空间几何体的结构、三视图,4.三视图 (1)三视图就是从一个几何体的正前方、正左方、正上方三个不同的方向看这个几何体，描绘出的平面图形，分别称为正(主)视图、侧(左)视图、俯视图 (2)画三视图的规则：长对正、高平齐、宽相等，即正视图与俯视图一样长；正视图与侧视图一样高；侧视图与俯视图一样宽 画三视图时，重叠的线只画一条，被挡住的线(看不见的线)要画成虚线 (3)三视图的排列顺序：先画正(主)视图，俯视图放在正(主)视图的下方，侧(左)视

3、图放在正(主)视图的右方,3旋转体的结构特征,考法1空间几何体的结构特征,1计算几何体中有关线段的长的常见思路 根据几何体的特征，利用一些常用定理与公式(如正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角函数公式等)，结合题目的已知条件求解,返回,考法1空间几何体的结构特征,2有关几何体的外接球、内切球的计算问题的常见思路 与球有关的组合体问题：一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关“元素”间的数量关系，并作出合适的截面图 当球内切于正方体时，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径； 当球外接于长方体时，长方体的顶点均在球面上，长方体的体对角线(l)等于球的直

4、径(2R)，此时要用到公式l2a2b2c24R2(a，b，c为长方体的长、宽、高) 球与旋转体的组合通常作轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图解题此类问题在计算时，经常用到截面圆，如图所示，设球O的半径为R，截面圆O的半径为r，M为截面圆上任一点，球心O到截面圆O的距离为d，则在RtOOM中，OM2OO2OM2，即R2d2r2.,返回,考法1空间几何体的结构特征,返回,考法2空间几何体的三视图,1三视图的画法步骤 (1)应把几何体的结构弄清楚，明确几何体的摆放位置；(2)先画正视图，再画俯视图，最后画侧视图；(3)被遮住的轮廓线要画成虚线 【

5、注意】物体上每一组成部分的三视图都应该符合三条投影规律，务必做到长对正，高平齐，宽相等若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线的位置,返回,考法2空间几何体的三视图,返回,考法2空间几何体的三视图,2通过三视图求原几何体(或其他视图)的基本量 一般先通过三视图还原出实物图，画出该几何体的直观图，从而根据几何体的结构特征，结合相关数据求出几何体的基本量注意还原后的几何体的直观图中的边长与三视图边长的关系具体思路： (1)分析视图的意义确定其是一个平面的投影，还是面与面的交线，或者是旋转体的轮廓线的投影 (2)利用线框分析表面的相对

6、位置关系视图中的一个封闭线框一般情况下表示一个面的投影若出现线框套线框，则 可能有一个面是凸出的、凹下的、倾斜的或者是有打通的孔，两个线框相连，表示两个面高低不平或者相交 (3)将几个视图联系起来观察，确定物体的形状根据一个视图不能确定物体的形状，往往需要两个或两个以上的视图 (4)注意三视图中虚线和实线的变化，从而区别不同的物体形状,返回,考法2空间几何体的三视图,返回,考点47几何体表面积的计算,考法3.几何体表面积的计算,返回,考点47几何体表面积的计算,常见几何体的侧面积与表面积的计算公式,考法3.几何体表面积的计算,高考中几何体表面积的考查形式大致有两类：由三视图求相关几何体的表面积

7、；根据几何体的特征求常规几何体、组合体或旋转体的表面积 1由三视图求相关几何体的表面积 以三视图为载体求几何体的表面积时，需要对三视图进行适当分析，还原出空间几何体，可以根据三视图的形状与图中所给数据，以及“主视图反映几何体的长和高，左视图反映几何体的高和宽，俯视图反映几何体的长和宽”，确定原几何体中点、线、面的位置关系及主要线段的长度，进而利用相应的几何体表面积公式进行计算,返回,考法3.几何体表面积的计算,返回,考法3.几何体表面积的计算,2根据几何体(常规几何体、组合体或旋转体)的特征求表面积 (1)已知具体的几何体求表面积时，若几何体为规则几何体，直接利用“应试基础必备”表格中总结出的

8、表面积公式求解将多面体的表面积通过“裁”“展”分解为若干个平面图形的面积之和；求旋转体的表面积时，应结合旋转体的形成特征(或者自身特征)正确确定底面半径、母线长、侧面展开图的形状与边长，利用公式求解 (2)若几何体为不规则几何体，通常将所给几何体通过“割”或“补”转化成常规的柱、锥、台，先求这些柱、锥、台的表面积，再通过求和或作差求得原几何体的表面积 【说明】正四面体的表面积是,返回,考法3.几何体表面积的计算,返回,返回,考点48几何体体积的计算,考法4几何体体积的计算,返回,考点48几何体体积的计算,考法4几何体体积的计算,高考中几何体体积的计算是几何体相关问题中出题频率较高的，考查形式大

9、致有两类：由三视图求相关几何体的体积；根据几何体的特征求常规几何体、组合体或旋转体的体积 1由三视图求相关几何体的体积 已知几何体的三视图求体积的思路与已知几何体的三视图求表面积的思路相同，注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解,返回,考法4几何体体积的计算,返回,考法4几何体体积的计算,返回,考法4几何体体积的计算,2根据几何体的特征求常规几何体、组合体或旋转体的体积 计算柱、锥、台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题 (1)直接法 对于规则几何体，直接利用公式计算即

10、可 (2)割补法 当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体 (3)等积转换法 利用三棱锥的“等积性”，可以把任何一个面作为三棱锥的底面 求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算； 利用“等积性”可求点到面的距离，关键是在面中选取三个点，与已知点构成三棱锥,返回,考法4几何体体积的计算,返回,第2节空间直线、平面平行与垂直的判定及其性质,600分基础 考点&考法,700分综合 考点&考法,600分基础 考点&考法,考点49点、线、面的位置关系 考

11、点50线面、面面平行的判定与性质 考点51线面、面面垂直的判定与性质,返回,考点49点、线、面的位置关系,考法1点、线、面的位置关系,返回,考点49点、线、面的位置关系,1平面的基本性质及其推论 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 公理2的三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面 2等

12、角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补,考点49点、线、面的位置关系,考法1点、线、面的位置关系,新课标对该考点逐渐淡化考查形式主要是结合线面平行与垂直的判定与性质定理，考查点、线、面的位置关系 点、线、面的位置关系的判断方法 平面的基本性质是立体几何的基本理论基础，也是判断线面关系的基础 对点、线、面的位置关系的判断，常采用穷举法，即对各种关系都进行考虑，要充分发挥模型的直观性作用,返回,考法1点、线、面的位置关系,返回,考法1点、线、面的位置关系,返回,考点50线面、面面平行的判定与性质,考法2线面平行的判定与性质 考法3面面平行的判定与性质,返回,考点50线面

13、、面面平行的判定与性质,考点50线面、面面平行的判定与性质,考点50线面、面面平行的判定与性质,考法2线面平行的判定与性质,证明直线与平面平行的常用方法 1利用直线与平面平行的判定定理 在利用判定定理证明时，关键是找到平面内与已知直线平行的直线，可先直观判断题中是否存在这样的直线，若不存在，则需作出直线，常考虑利用三角形的中位线(即给出中点时，常通过取某边的中点作出中位线)、利用平行四边形的对边平行或过已知直线作一平面，找其与已知平面的交线进行证明 2利用面面平行的性质定理，将面面平行转化为线面平行 已知直线在一平面内，由两平面平行，则一平面内的直线与另一平面无公共点，证得线面平行； 一直线在

14、两平行平面外，且与其中一平面平行，则这条直线与另一平面平行 3利用空间向量证明线面平行 (1)证明该直线的方向向量与平面的某一个法向量垂直； (2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行； (3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示,返回,考法2线面平行的判定与性质,返回,考法3面面平行的判定与性质,1证明平面与平面平行常用的方法 (1)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行(主要方法)； (2)性质：利用垂直于同一条直线的两个平面平行证明(客观题可用)； (3)利用平面平行的传递性：两个平面同时平行于第三个平面，

15、那么这两个平面平行(客观题可用)； (4)利用向量法：通过证明两个平面的法向量平行证得两平面平行 2空间平行关系之间的转化 这也是立体几何中证明平行关系常用的思路，三种平行关系的转化可结合图记忆如下：,返回,考法3面面平行的判定与性质,返回,考点51线面、面面垂直的判定与性质,考法4线面垂直的判定与性质 考法5面面垂直的判定与性质,返回,考点51线面、面面垂直的判定与性质,1直线与平面垂直的判定与性质,考点51线面、面面垂直的判定与性质,2两个平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直 (2)两个平面垂直的判定和性质,考法4线面垂直的判定与性质,

16、线面垂直的判定与性质在高考中多次出现，考题模式主要有两类：直线与平面垂直的判定与证明；利用直线与平面垂直的性质证明线线垂直或面面垂直 证明直线与平面垂直的方法 (1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用) (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(常用方法) (3)性质：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(客观题常用)； 若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)； 若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法)； 若两

17、相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用) (4)利用空间向量：证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或者利用线面垂直的判断定理转化为证明线线垂直(利用空间向量证明线线垂直问题，证明两直线所在的方向向量互相垂直或数量积为0)(常用方法) 【拓展】在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线三线合一，矩形的内角、直径所对的圆周角为90，菱形的对角线互相垂直，直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)，直角梯形等 【说明】(1)判定定理中的两条相交直线必须保证“在平面内相交”这一条件；而且已知线面垂直，则直线与平面内

18、任一直线垂直的性质又为证明线线垂直提供了依据 (2)在空间垂直关系中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知平面图形通过计算证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中，要特别重视两个平面垂直的性质定理,返回,考法4线面垂直的判定与性质,返回,考法5面面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质的问题在高考中多次出现，考题模式主要有两类：平面与平面垂直的判定与证明；利用平面与平面垂直的性质证明线面垂直或线线垂直 1证明面面垂直的思路 (1)利用面面垂直的定义(不常用) (2)可以考虑证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行一般

19、方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决(常用方法) (3)利用空间向量：证明两个平面的法向量垂直，或者利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直 【说明】面面垂直的判定与性质为“线线垂直线面垂直面面垂直”提供了强有力的依据，也为我们证明垂直问题提供了更好的保障 若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面(客观题常用) 2空间垂直关系之间的转化 空间垂直关系之间的转化是立体几何中证明垂直关系的常用思路，三种垂直关系的转化可结合图记忆如下：,返回,考法5面面垂直的判定与

20、性质,返回,700分综合 考点&考法,综合问题12有关平行、垂直的开放性问题 综合点1与平行、垂直有关的开放性问题,返回,52,综合点1与平行、垂直有关的开放性问题,有关平行、垂直的开放性问题主要有以下三类：条件追溯型；存在探索型；方法类比探索型 类型1条件追溯型 如果知道的是试题的结论，而要求的却是试题的条件，这种试题称为条件追溯型 解题策略一般是先假设结论成立，然后以该结论作为一个已知条件，再结合题目的其他已知条件，逆推(即从后往前推)，一步一步推出所要求的条件 类型2存在探索型 如果知道的是试题的结论，而要求的却是试题的某一个存在性条件(如存在某个定点、定直线、定值等)，这种试题称为存在

21、探索型 解题策略一般是先假设结论成立，然后以该结论作为一个已知条件，再结合题目中的其他已知条件，逆推(即从后往前推)，一步一步推出所要求的特殊条件，即能否求出那个存在性条件若能求出，则存在；若不能求出， 则不存在 类型3方法类比探索型 如果知道的是试题的一个命题，要求类比得出与之类似的一个命题，这种试题称为方法类比探索型 解题策略一般是从命题的结构形式及特征入手，再进行证明说理可运用已知信息，通过延伸和推广，对某些真命题进行深化和拓展，从而得出新的命题,返回,综合点1与平行、垂直有关的开放性问题,返回,综合点1与平行、垂直有关的开放性问题,返回,第3节空间中的计算问题,600分基础 考点&考法

22、,700分综合 考点&考法,600分基础 考点&考法,考点52求空间角 考点53求空间距离,返回,考点52求空间角,考法1异面直线所成的角 考法2求线面所成的角 考法3求二面角,返回,考点52求空间角,考点52求空间角,考法1异面直线所成的角,对于异面直线所成的角，高考中常有以下几种出题方式：直接求异面直线所成的角的大小；间接求异面直线所成的角的三角函数值(正弦值、余弦值、正切值等) 求异面直线所成的角的两种方法 方法1平移法 通过作图(如结合中位线、平行四边形等)来构造平行线，作出异面直线所成的角，通过解三角形来求解具体步骤为： (1)作(找)角：用平移法过一条异面直线上的已知点，作另一条直

23、线的平行线，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角若题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线在某几何体中，且直接平移异面直线有困难，可利用几何体的特点，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角 (2)证明：说明所作(找)的角(或其补角)为异面直线所成的角 (3)求值：通过(1)(2)，将所求的角转化为一个三角形的内角，解三角形求出该角(有时可能需要通过解几个三角形得到该角的大小) (4)取舍：根据异面直线所成的角的范围正确取舍，得到结论 具体过程简记为：作(找)角证明求值取舍,返回,考法1异面直线所成的角,返回,考法2求线面所成的角,对于直线与平面所成的角，高考中常有以下几种出题方式：直接求直

24、线与平面所成的角(或其正弦值、余弦值、正切值)；已知直线与平面所成的角，求相关的量(如体积、长度等) 求直线与平面所成的角的主要方法 方法1几何法(常用方法) 即作出直线与平面所成的平面角，再通过解三角形求解具体步骤为： (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线，或过斜线上一点作平面的垂线，确定垂足的位置； (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； (3)将该角归结为某个三角形的内角(一般是直角三角形)，通过解三角形(可能需要解多个三角形)求得该角或其三角函数值 【说明】立体几何中的垂足常是特殊点，如图形的中心、垂心、重心、中点等,返回,考法2求线面

25、所成的角,求直线与平面所成的角的主要方法 方法1几何法(常用方法) 即作出直线与平面所成的平面角，再通过解三角形求解具体步骤为： (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线，或过斜线上一点作平面的垂线，确定垂足的位置； (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角； (3)将该角归结为某个三角形的内角(一般是直角三角形)，通过解三角形(可能需要解多个三角形)求得该角或其三角函数值 【说明】立体几何中的垂足常是特殊点，如图形的中心、垂心、重心、中点等,返回,对于直线与平面所成的角，高考中常有以下几种出题方式：直接求直线与平面所成的角(或其正弦值、余弦值、正切值

26、)；已知直线与平面所成的角，求相关的量(如体积、长度等),考法2求线面所成的角,返回,考法3求二面角,高考中，二面角问题是各种角度问题中出题频率最高的，考查模式大致有两类：直接求二面角的大小(或其正弦值、余弦值、正切值)；已知二面角的大小，求相关的量(如体积、长度、直线与平面所成的角等)或参数值 1作二面角的平面角的方法 利用几何法求二面角的关键在于寻求二面角的平面角，主要方法有： 方法1定义法 在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线 如图(1)，AOB为二面角a的平面角 方法2垂直法 过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二

27、面角的平面角 如图(2)，AOB为二面角l的平面角 方法3垂线法 过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角 如图(3)，ABO为二面角l的平面角,返回,考法3求二面角,返回,考法3求二面角,返回,考点53求空间距离,考法4求空间距离,返回,考点53求空间距离,空间的距离 (1)两点间的距离连接两点的线段的长度 (2)点到直线的距离从直线外一点向直线引垂直相交的直线，点到垂足之间线段的长度 (3)点到平面的距离从平面外一点向平面引垂线，点到垂足间线段的长度 连接平面外一点与平面内任一点的线段中，垂线段最短 (4)平行直线间的距离从两条平行线中一条上任意取一点向另一条直线引垂线，该点到垂足间线段的长度 (5)异面直线间的距离两条异面直线的公垂线夹在这两条异面直线间的线段的长度 (6)直线与平面间的距离如果一条直线和一个平面平行，从直线上任意一点向平面引垂线，该点到垂足间线段的长度 (7)两平行平面间的距离两个平面的公垂线段的长度,考法4求空间距离,高考中，空间距离的考查模式一般有两类：直接求空间距离(如点到平面的距离、异面直线间的距离、直线到平面的距离等，其中，以点到平面的距离考查最为频繁)；已知空间距离，求相关