高考数学人教A一轮复习课件42平面向量的基本定理及向量坐标运算

1、第二节 平面向量的基本定理及向量坐标运算,【知识梳理】 1.平面向量基本定理 (1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_向量, 那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 1,2,使a=_.,不共线,1e1+2e2,(2)基底:_的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底.,不共线,2.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两 个单位向量i,j作为基底,该平面内的任一向量a可表示 成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把有序数 对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=_,其中a在x轴 上的坐标是x,a在y轴上的坐标是y.,(x,

2、y),3.平面向量的坐标运算,(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(x,y),(x2-x1,y2-y1),4.向量共线的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab_.,x1y2-x2y1 =0,【特别提醒】 1.三点共线与向量共线的关系 设 是平面内不共线的向量,若存在实数1,2 使 ,则当1+2=1时,A,B,C三点共线. 反之,当A,B,C三点共线时,1+2=1.特别地,当 1=2= 时,C是A与B的中点.,2.两个向量作为基底的条件 作为基底的两个向量必须是不共线的.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(必修4P101T5改编)已知向量a=(2,3),

3、b=(x,6)共线,则实数x的值为() A.3B.-3C.4D.-4,【解析】选C.因为向量a=(2,3),b=(x,6)共线, 所以26-3x=0,即x=4.,2.(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点,若P1(1,3),P2(4,0)且P是P1P2的一个三等分点,则点P的坐标为() A.(2,2)B.(3,-1) C.(2,2)或(3,-1)D.(2,2)或(3,1),【解析】选D.由题意得 或 =(3,-3). 设P(x,y),则 =(x-1,y-3), 当 时，(x-1,y-3)= (3,-3), 所以x=2,y=2时，即P(2,2). 当 时，(x-1,y-3)= (3,

4、-3), 所以x=3,y=1,即P(3,1).,感悟考题试一试 3.(2016全国卷)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且ab,则m=_.,【解题提示】因为两个向量平行,所以利用向量共线的坐标表示进行计算. 【解析】因为ab,所以-2m-43=0,解得m=-6. 答案:-6,4.(2015全国卷)已知点A(0,1),B(3,2),向量 =(-4,-3),则向量 =() A.(-7,-4)B.(7,4) C.(-1,4)D.(1,4),【解析】选A.因为 =(3-0,2-1)=(3,1),所以 =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).,5.(2017荆州模拟)在ABCD中,AC为一

5、条对角线, =(2,4), =(1,3),则向量 的坐标为_.,【解析】设 =(x,y),因为 所以(1，3)=(2，4)+(x,y)， 所以 即 所以 =(-1，-1)， 所以 =(-1，-1)-(2，4)=(-3，-5). 答案：(-3，-5),考点一平面向量基本定理及其应用 【典例1】(1)如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是(),A.e1与e1+e2B.e1-2e2与e1+2e2 C.e1+e2与e1-e2 D.e1-2e2与-e1+2e2,(2)(2017福州模拟)在ABC中,点P是AB上一点, 且 ,Q是BC的中点,AQ与

6、CP的交点为M, 又 则实数t的值为_.,【解题导引】(1)利用基底的概念来逐一判断. (2)首先利用条件确定P点的位置,再利用平面向量基本定理确定基底,从而联立方程得t.,【规范解答】(1)选D.选项A中,设e1+e2=e1,则 无解; 选项B中,设e1-2e2=(e1+2e2),则 无解; 选项C中,设e1+e2=(e1-e2),则 无解; 选项D中,e1-2e2=-(-e1+2e2),所以两向量是共线向量.,(2)因为 所以 即 所以 即P为AB的一个三等分点(靠近A点)， 又因为A，M，Q三点共线，设,所以 又 故 解得 故t的值是 答案：,【母题变式】1.在本例(2)中，试用向量 表

7、示 【解析】因为 所以 即 所以,2.在本例(2)中,试问点M在AQ的什么位置? 【解析】由(2)的解析 及= 知， 因此点M是AQ的中点.,【规律方法】 应用平面向量基本定理的关键点 (1)基底必须是两个不共线的向量. (2)选定基底后,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把相关向量用这一组基底表示出来.,(3)强调几何性质在向量运算中的作用,用基底表示未知向量,常借助图形的几何性质,如平行、相似等. 提醒:在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.,【变式训练】如图,已知OCB中,A是CB的中点,D是将 分成21的一个内分点,DC和OA交于点E,设 (1)用a和b表示

8、向量 (2)若 求实数的值.,【解析】(1)由题意知,A是BC的中点，且 ，由平行四边形法则，得 所以,(2)由题意知， 故设 因为 所以 因为a与b不共线，由平面向量基本定理， 得 解得 故,【加固训练】 1.(2017广州模拟)设a是已知的平面向量且 a0,关于向量a的分解,有如下四个命题: 给定向量b,总存在向量c,使a=b+c; 给定向量b和c,总存在实数和,使a=b+c;,给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使a=b+c; 给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使a=b+c.,上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是() A.1B.2C.3D

9、.4,【解析】选B.对于, 因为a与b给定,所以a-b一定存在,可表示为c, 即c=a-b, 故a=b+c成立,正确; 对于,因为b与c不共线, 由平面向量基本定理可知正确;,对于,以a的终点为圆心,以为半径作圆,这个圆必须和向量b有交点,这个不一定满足,故错误; 对于,由向量加法的三角形法则(不共线两边的和大于第三边),即必有|b|+|c|=+|a|,而给定的和不一定满足此条件,所以是假命题.,2.若a与b不共线,已知下列各组向量a与-2b;a+b与a-b;a+b与a+2b;a- b与 a- b.其中可以作为基底的是_(只填序号即可).,【解析】因为a与b不共线,所以,对于,显然a与-2b不

10、 共线;对于,假设a+b与a-b共线,则存在实数,使 a+b=(a-b),则=1且-=1,由此得=1且=-1矛 盾,故假设不成立,即a+b与a-b不共线;同理,对于 ,a+b与a+2b也不共线;对于, a- b= （a- b）,故a- b与 a- b共线.由基向量的定义知,都可以作为基底,不可以. 答案:,3.如图,在梯形ABCD中,ADBC,且AD= BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设 ,试用a,b为基底表示向量,【解析】,考点二平面向量的坐标运算 【典例2】(1)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),则m-n的值为_.,(2)向量a,b,

11、c在正方形网格中的位置如图所示,若 c=a+b(,R),则 =_.,【解题导引】(1)利用向量坐标的运算法则及向量坐标的唯一性列方程组求解. (2)结合图形建立适当的平面直角坐标系,利用平面向量的坐标运算及平面向量基本定理列方程组求解.,【规范解答】(1)因为a=(2,1),b=(1,-2),所以ma+nb=m(2,1)+n(1,-2)=(2m+n,m-2n).又因为ma+nb=(9,-8),所以 解得 所以m-n=-3. 答案:-3,(2)以向量a,b的交点为原点,原点向右的方向为x轴正 方向,正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系如 图,则A(1,-1),B(6,2),C(5,-1),所

12、以a=(-1,1), b=(6,2),c=(-1,-3),根据c=a+b得(-1,-3)= (-1,1)+(6,2),即 解得=-2,=- ,所以 =4. 答案:4,【母题变式】1.在本例题(2)中,试用a,c表示b. 【解析】建立本例(2)规范解答中的平面直角坐标系,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3),设b=xa+yc, 则(6,2)=x(-1,1)+y(-1,-3), 即 解得 故b=-4a-2c.,2.在本例题(2)中以a,b的交点为原点,原点向右的方向为x轴的正方向,正方形网格的边长为单位长度建立直角坐标系.若a+m=b,试求m的坐标.,【解析】在本例(2)规范解答

13、中所建的平面直角坐标系 下a=(-1,1),b=(6,2), 因为a+m=b, 所以m=b-a=(6,2)-(-1,1)=(7,1).,【易错警示】解答本例(2)会出现以下错误: 在其规范解答中所建的平面直角坐标系下,忽视向量的方向,误得a=(1,-1)从而导致解答出错.,【规律方法】 平面向量坐标运算的技巧 (1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标. (2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则进行转化,通过列方程(组)来进行求解.,【变式训练】(2017广州模拟)已知A,B,C三点的坐标 分别为(-1,0),(3,-1),(1,

14、2),并且 (1)求点E,F的坐标. (2)求证:,【解析】(1)设E，F两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则依题意，得 所以 所以 =(x1,y1)-(-1,0)= =(x2,y2)-(3,-1)=,所以(x1,y1)= (x2,y2)= 所以点E的坐标为 点F的坐标为,(2)由(1)知(x1,y1)= (x2,y2)= 所以 =(x2,y2)-(x1,y1)= 又 =(4，-1)， 即 所以,【加固训练】 1.(2017海淀模拟)设向量a=(-, ), b=( ),则a+3b=( ) A.(+3,-)B.(-+3,) C.(1,0)D.(3,0),【解析】选D.因为a=(-

15、, ), b=( ), 所以a+3b= =(3,0).,2.(2017临沂模拟)在ABC中,点P在BC上, 且 点Q是AC的中点,若 =(4,3), =(1,5),则 等于() A.(-6,21)B.(-2,7) C.(6,-21) D.(2,-7),【解析】选A.如图, =(1,5)-(4,3)= (-3,2), =(1,5)+(-3,2)=(-2,7), =(-6,21).,考点三平面向量共线的坐标运算 【考情快递】,【考题例析】 命题角度1:利用向量共线的坐标运算求参数的值 【典例3】设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=() A.2B.3C.4D.6 (真题溯源:本题

16、源于教材A版必修4P101A组T5),【解题导引】直接利用向量共线的坐标运算公式列方程求解. 【规范解答】选B.由向量平行的坐标运算可知,26=4x,则x=3.,命题角度2:利用向量共线的坐标运算求三角函数值或 角 【典例4】已知a=( sinx,sinx),b=(cosx, sinx), x ,若ab,则x=_. 【解题导引】由共线向量的坐标运算列关于sinx,cosx 的方程,再由x的范围求值.,【规范解答】由题意,得 sin2x-sinxcosx=0, 即 sin2x=sinxcosx, 因为x , 所以 sinx=cosx,即tanx= . 所以x= . 答案:,【技法感悟】 1.根据

17、向量共线的坐标运算求参数的值的一般思路 利用向量共线转化为含参数的方程,解方程可求参数. 2.利用向量共线的坐标运算求三角函数值或角的一般思路,利用向量共线的坐标运算转化为三角方程,再利用三角恒等变换求解.,【题组通关】 1.(2017大同模拟)已知向量a=(1-sin,1), b =( ,1+sin ),若ab,则锐角等于() A.30B.45C.60D.75,【解析】选B.由ab得,(1-sin)(1+sin)-1 =0,解得sin= .又为锐角, 所以=45.,2.(2017重庆模拟)已知向量a=(3cos,2)与向量b=(3,4sin)平行,则锐角等于(),【解析】选A.因为a=(3c

18、os,2), b=(3,4sin),且ab, 所以3cos4sin-23=0, 解得sin2=1.,因为(0, ), 所以2(0,), 所以2= ，即=,3.(2016全国卷)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且 ab,则x=_. 【解析】因为ab,所以ab=0,即x+2(x+1)=0, 解得x=- . 答案:-,【加固训练】 1.(2017益阳模拟)已知向量a=(1,-2),b=(3,0),若(2a+b)(ma-b),则m的值为(),【解析】选A.向量a=(1,-2),b=(3,0), 2a+b=(5,-4),ma-b=(m-3,-2m), 因为(2a+b)(ma-b), 所以-10m=-4m+12,解得m=-2.,2.(2017郑州模拟)已知向量 =(k,12), =(4,5), =(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是(),【解析】选A. =(4-k,-7), =(-2k,-2). 因为A,B,C三点共线,所以 共线, 所以-2(4-k)=-7(-2k),解