高考数学理人教大一轮复习讲义课件第八章立体几何与空间向量8.6

1、8.6空间向量及其运算,基础知识自主学习,课时作业,题型分类深度剖析,内容索引,基础知识自主学习,1.空间向量的有关概念,知识梳理,0,1,相等,相同,相反,相等,平行或重合,平面,2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p ，其中x，yR，a，b为不共线向量. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p ，a，b，c叫做空间的一个基底.,xayb,xaybzc,3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念

2、 两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 a， b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作 ，其范围是 ,若a，b ，则称a与b ，记作ab. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则 叫做向量a，b的数量积，记作 ，即ab .,a，b,0a，b,互相垂直,|a|b|cosa，b,ab,|a|b|cosa，b,(2)空间向量数量积的运算律 结合律：(a)b ； 交换律：ab； 分配律：a(bc). 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,(ab),ba,abac,a1b1a2b2a3b3,a1b1，a2b2，a3b3,a1b1a

3、2b2a3b30,1.向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是： x y (其中xy1)，O为平面内任意一点. 2.向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是： x y z (其中xyz1)，O为空间中任意一点.,几何画板展示,几何画板展示,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面.() (2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc).() (3)对于非零向量b，由abbc，则ac.() (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(),1.已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则

4、的值为,考点自测,答案,解析,2.(2016大连模拟)向量a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，下列结论正确的是 A.ab，ac B.ab，ac C.ac，ab D.以上都不对,答案,解析,3.与向量(3，4,5)共线的单位向量是 _.,答案,解析,答案,解析,5.(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为_.,答案,解析,题型分类深度剖析,题型一空间向量的线性运算,例1(1)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点.,答案,解析,解答,思维升华,用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以

5、图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.,跟踪训练1 (2016青岛模拟)如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设 a， b， c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：,解答,解答,因为M是AA1的中点，,题型二共线定理、共面定理的应用,例2(2016天津模拟)如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点. (1)求证：E，F，G，H四点共面；

6、,证明,(2)求证：BD平面EFGH；,证明,证明,找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.,所以四边形EFGH是平行四边形， 所以EG，FH交于一点M且被M平分.,思维升华,(1)证明空间三点P，A，B共线的方法,(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法,跟踪训练2 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足 . (1)判断 三个向量是否共面；,解答,(2)判断点M是否在平面ABC内.,证明,题型三空间向量数量积的应用,例3(2017济南月考)如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD12

7、0. (1)求线段AC1的长；,解答,则|a|b|1，|c|2，ab0，cacb21cos 1201.,(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；,解答,设异面直线AC1与A1D所成的角为，,(3)求证：AA1BD.,证明,思维升华,(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置； (2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角； (3)可以通过|a| ，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.,跟踪训练3如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60. (1)求 的长；,解

8、答,解答,典例(12分)如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，在底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点.,坐标法在立体几何中的应用,思想与方法系列18,规范解答,思想方法指导,利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解.,返回,(1)解如图，建立空间直角坐标系. 依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，,(2)解依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2).,(3)证明依题意得C1(0,0,2)，,返回,课时作业,1.在下列命题中： 若向量a，b共线，则

9、向量a，b所在的直线平行； 若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； 若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面； 已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,答案,解析,a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故不正确； 根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故不正确； 三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确； 只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量

10、p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2.(2017郑州调研)已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则等于 A.9 B.9 C.3 D.3,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为,答案,解析,由题意知a(ab)0，即a2ab0， 所以1470，解得2.,1,2,3,4,5

11、,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，则异面直线a，b所成的角等于 A.30 B.45 C.60 D.90,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,答案,解析,以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a， ). 设M(x，y，z

12、)，,(xa，y，z) (x，ay，az)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,答案,解析,锐角,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若 ，则x，y，z的值分别为_.,答案,解析,如图所示，取BC的中点E，连接AE.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,

13、11,12,13,14,9.(2016合肥模拟)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，则c_.,答案,解析,(3，2,2),其中正确的序号是_.,10.(2016天津模拟)已知ABCDA1B1C1D1为正方体，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*11.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 A1MD1P；

14、A1MB1Q； A1M平面DCC1D1； A1M平面D1PQB1. 以上正确说法的个数为_.,答案,解析,3,A1MD1P，由线面平行的判定定理可知， A1M平面DCC1D1，A1M平面D1PQB1. 正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,12.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解答,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解答,(3)EG的长；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解答,(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值.,*13.(2016沈阳模拟)如图，在直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D、E分别为AB、BB的中点. (1)求证：CEAD；,证明,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,