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文档简介

1、,函数的 连续与间断,我们建立了极限这一研究问题的新工具，下面我们利用这一工具来研究函数的性质连续性。 这一性质是函数的重要形态之一。,一、函数的连续性,上述定义可以看出，函数y=f(x)在点x0连续需满足三个条件： （1） y=f(x)在x=x0 有定义； （2） f(x)存在； （3） f(x)=f(x0)；,若x(a,b) , f(x) 都连续,称f(x)是该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例 f(x)= a x+b; xn在定义域内任一点连续。,continue,例如,在,上连续 .,( 有理整函数 ),又如, 有理分式函数,在其

2、定义域内连续.,只要,都有,例1. 证明函数,在,内连续 .,证:,即,这说明,在,内连续 .,同样可证: 函数,在,内连续 .,类似可证: 函数,在,内连续 .,2.单侧连续,定理,例 写,证,由定义2知,二、连续函数的四则运算性质,定理1,例如,因为,三、反函数与复合函数的连续性,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续. 又ax在其定义域连续 , 则logax在其定义域内连续.,定理3,意义,极限符号可以与函数符号交换顺序;,定理4,证 由复合函数极限运算法则：,四、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,(均在其

3、定义域内连续 ),定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.,定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.,定义区间是指包含在定义域内的区间.,例如,在0点的邻域内没有定义.,2. 初等函数求极限的方法代入法.,例 ppt,例3.求,解:,原式,例4. 求,解: 令,则,原式,说明: 当,时, 有,若,则有,例5.,解:,原式,例6.,解:,讨论复合函数,的连续性 .,故此时连续;,而,故,x = 1为第一类间断点 .,在点 x = 1 不连续 ,例2 .,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则 ,可知,也在,上,连续 .,二、函数的间断点及其分类,1.跳跃间断

4、点,例4,解,2.可去间断点,例5,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.,特点,3.第二类间断点,这种左右极限至少有一个为的间断点又称为无穷间断点,例7,解,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如:,例6,解,狄利克雷函数,在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.,例8,解,三、小结,1.函数在一点连续必须满足的三个条件;,3.间断点的分类与判别;,2.区间上的连续函数;,第一类间断点:可去型,跳跃型.,第二类间断点:常见类型为无穷型,振荡型.,间断点,(见下图),可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,振荡型,第二类间断点,左连续,右连续,当,时, 有,函数,在点,连续有下列等

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