第2章-一维半导体体系2

1、高等半导体物理 第二章 一维半导体体系 (2),四, TLM 模型 ( 体系的连续模型 ) 2 (1) TLM 哈密顿 1, 二聚化结构的数学处理 ( 隐去相邻格点位移的跳变 ) SSH 模型引进格点位移序参量 n TLM 模型采用元胞法: 两个相邻的 CH 基团组成一个元胞 元胞的长度为 2 a 将跳变量隐含在元胞中, 元胞间只有缓变量 (以利解析式表达) 元胞的中心位于两基团中间 yn = ( 2 n + 1 / 2 ) a 2, 元胞的场算符 以元胞的场算符代替基团的产生算符和消灭算符 ( C+n +1, s , Cn, s ) ( yn ) 每个元胞有两个基团, 故元胞的场算符应有两个

2、分量 s ( yn ) : 1s ( yn ), 2s ( yn ) 其中: 1s ( yn ) = 2-1/2 (-1)n ( i C2n, s + C2n+1, s ) 2s ( yn ) = 2-1/2 (-1)n ( C2n, s + i C2n+1, s ) *,3, 晶格畸变序参量 ( 能量量纲 ) 3 ( 2n , 2n+1 ) ( yn ) ( n 由基团的标号变为元胞的标号 ) (yn) = -2 ( 2n + 2n+1) ( 的量纲为位移, 的量纲为能量 ) n 为格点 ( 基团 ) 的位移序参量 对于基态 A 相和 B 相, 有 2n+1 = 2n = = uo ( “-

3、” 为 A 相, “+” 为 B 相 ) ( Yn ) 为元胞的晶格畸变序参量 对于基态 A 相和 B 相, 有 ( yn ) = 4 uo = o ( “+”为A 相, “-”为B 相 ) o = 4 uo , uo = o / 4 4, 连续介质近似 ( 为了给出解析解 ) yn y, 将分立坐标换成连续坐标 ( 为获得解析介 ) dy / 2a ( yn ) ( 2a )1/2 ( y ) *,5, TLM 哈密顿 4 H = He + Ha - (1) He =dy ,s ,s (y)-i VF 3 / y +(y) 1 ,s (y) - (2) Ha =dy( K/82a ) 2 (

4、y) + (M/32 2a ) d (y) /dt 2 - (3) 其中, VF = 2 to , = 1, 2 ( 基于元胞中有两个基团 ) 1 = 0 1 3 = 1 0 1 0 , 0 -1 按矩阵运算法则有: 1 ,s (y) = 0 1 1,s (y) = 2,s (y) 1 0 2,s (y) 1,s (y) (2) 电子态 1, 本征能量, 本征函数 使 H 对角化: 幺正变换 ( 求能谱, 即求本征能量 ) ,s ( y ) ai,s 坐标变量 y 电子能量变量i *, 幺正变换 5 1,s ( y ) = i ui,s ( y ) ai,1,s - vi,s ( y ) ai

5、,2,s 2,s ( y ) = i ui,s ( y ) ai,2,s + vi,s ( y ) ai,1,s 使得 He 对角化为 He = i,s i, a+ i,s a i,s - (4) i, 为电子能量本征值 ( 电子能级可非简并 ) 可以证明, 满足对角化条件 (4) 的幺正变换系数 ui,s ( y ), vi,s ( y ) 应满足下列联立方程 - i VF ui,s ( y ) / y + ( y ) vi,s ( y ) = i ui,s ( y ) - (5) i VF vi,s ( y ) / y + ( y ) ui,s ( y ) = i vi,s ( y ) -

6、 (6) 该联立方程为本征方程, i 为电子能量本征值, 即电子能谱 ui,s ( y ), vi,s ( y ) 为本征函数, 即电子状态 ( 后面将讨论 ) *,2, 电子能谱的对称性 6 对 (5) 和 (6) 式取共轭, 并乘以 (-1) 得 - i VF u*i,s ( y ) / y + ( y ) -v*i,s ( y ) = (-i ) u*i,s ( y ) - (7) iVF -v*i,s ( y ) / y + ( y ) u*i,s ( y ) = (-i) -v*i,s ( y ) - (8) 将联立方程 (7) 和 (8) 式与 (5) 和 (6) 对照, 可得如下

7、对应关系 本征能量 i - i 本征函数: ui,s ( y ) u*i,s ( y ) vi,s ( y ) - v*i,s ( y ) 即左右两组本征能量和本征函数都是本征方程的解 可见导带和价带: (1) 能量对称 (2) 本征函数共轭对称 *,(3) 总能量 E 和晶格畸变序参量 ( y ) 7 1, ( He 对角化后的 ) 总能量 E 对应于公式 (1) 哈密顿 H E = E (y) = occ i +dy( K/82a )2(y) + (M/32 2a) d(y)/dt 2 (9) 其中, occ 为对电子的占据态求和 2, 静态 d ( y ) / d t = 0, 由 (9

8、) 式得 E ( y ) = occ I + d y ( K / 8 2 a ) 2 ( y ) - (10) 3, 稳态 E ( y ) / ( y ) = 0 - (11) E ( y ) 是 ( y ) 的泛函 ( 其变量是函数 ) 根据变分原理, 由 (11) 式可得 (y) = (-42a/K) occ u*i,s (y) v*i,s (y) + ui,s (y) v*i,s (y) - (12) 晶格畸变序参量 (y) 表达了晶格的状态 *,4, 晶格状态: 晶格畸变序参量 ( y ) 8 公式 (12) 与公式 (5) 和 (6) 联立是确定 ( y ) 与 ui,s ( y )

9、 和 vi,s ( y ) 的自恰方程. 不难看出, 作如下变换该组自恰方程仍成立 ( y ) - ( y ) ui,s ( y ) - ui,s ( y ) 或 ui,s ( y ) ui,s ( y ) vi,s ( y ) vi,s ( y ) vi,s ( y ) - v*i,s ( y ) 由此可知晶格的空间结构亦具有如下对称性, 即若 ( y ) 是介, 则- ( y ) 必也是介 例如, 1) ( y ) = o ( A 相 ) 是介, 则 ( y ) = - o ( B 相 ) 必也是介 ( 见图 ) 2) 孤子是介, 则反孤子必也是介 ( 见图 ) 下面将对不同状态作详细讨论

10、,二聚化基态 9 1, 自恰方程组 (5), (6) 和 (12) 有常数介 ( y ) = o ( ”+” 为 A 相, ”-”为 B 相 ) - (13) 2, 将 (13) 式代入 (5) 和 (6) 式, 可介得 ( 将 i 换成 k, k 为波矢, 这前面讨论过 ) 导带: k c = ko = ( o2 + k2 VF 2 ) 1/2 - (14) uck (y) = C ( k - o) / k )1/2 (1+ kVF / ( k - o ) e i k y vck (y) = C ( k - o) / k )1/2 (1 - kVF / ( k - o ) e i k y 其

11、中, C = - 1 / 2 L1/2 , L 为一维晶格的线度 可代入方程组 (5), (6) 和 (12) 验证此组介 价带: k v = - ko = - ( o2 + k2 VF 2 ) 1/2 - (15) 3, 由 (14) 和 (15) 式可知 1) 比较基态 A、B 两相 ( y ) = o k c 相同, k v 也相同, 即电子能谱相同 由 (10) 式知, 总能量 E 也相同, EA = E B, 即基态简并 *,2) 价带与导带对称 k c = - kv 10 3) 电子能量的色散关系如图所示 4) k = 0 时, k c = o 导带底 k v = - o 价带顶

12、g = 2 o , 禁带位于布里渊区中心 提问: 派尔斯理论, 二聚化产生的禁带出现在布里渊区的何处? (5) 孤子态 ( Soliton ), 1, 将联立方程(5),(6)和(12)分离变数, 使每个方程只含一个变数 令 f i,s ( y ) = ui,s ( y ) i vi,s ( y ) - (16) 联立方程 (5) 和 (6) 式可合并化为 (17) 式, (12) 可化为 (18) 式 VF22/y + i2 - 2( y ) VF( y )/y fi,s ( y ) = 0 - (17) (y) = (-42/K) 2(y) + VF(y)/y occ|f+i,s (y)|

13、2/i - (18) 其中“ ”表示不包括 i = 0 的状态 ( 否则发散 ) *,2, 孤子的晶格状态 11 联立方程 (17) 和 (18) 有一特介 s ( y ) = o / th ( y / ) - (19) 当 = o = VF / o 时, 系统能量 E 最低 其中, VF = 2 to , o = VF / o = 2 to / o ( 对反式聚乙炔为 7 a ) - (20) s ( y ) 如图所示, 其中, 2 o 为孤子线度 ( 对反式聚乙炔为 14 a ) , o 为孤子半宽度 3, 孤子的电子状态 1) 局域态: 孤子能级 o = 0, 位于禁带中央 ( 与 SS

14、H 模型相同 ) 本征函数: f +o,s ( y ) = o-1/2 sech ( y/ o ) f -o,s ( y ) = 0 电子密度分布 | f + | 2 + | f - | 2 ( 如图的虚线所示 ) *,2) 扩展态 ( 导带和价带 ) 12 导带: kc = ( o2 + k2 VF 2 ) 1/2 - (21) f c+k,s ( y ) = ( L-1/2 o / k ) th ( y / o ) - i k o e i k y f c-k,s ( y ) = - L-1/2 e i k y 价带: kv = - ( o2 + k2 VF 2 ) 1/2 - (22) f

15、 v+k,s ( y ) = f c+k,s ( y ) * f v- k,s ( y ) = f c-k,s ( y ) * 将 (21), (22) 与 (14), (15) 相比较可知, 孤子与二聚化基态的导带和价带的色散关系相同 提问: 导带和价带色散关系密切系相同是否意味着能谱相同? 答案: 否, ( 对应于某 k 值的 ) 某能量的状态密度不同 提问: 孤子与二聚化基态的导带和价带有什么不同? 答案: 孤子与二聚化基态相比, 导带和价带各少了半个状态 *,4, 孤子的激发能 Es ( 总能量 ) 13 Es = E s (y) - E o 由 (10) 式可得 ( 静态问题 ) E

16、s = occ ( k - ok ) +dy ( K / 82a ) ( s2 (y) - o2 = 2 o / ( 与 SSH 模型相同 ) 5, 孤子的有效质量 Ms ( 动态问题 ) 提问: 电子和空穴的有效质量是如何定义, 如何求的? 公式 (9) 的最后一项为动能 Es动 = dy ( M/32 2a ) d s (y, t) /d t 2 - (23) 设孤子以速度 vs 沿链运动, 则由 (19) 式 s ( y ) = o th ( y / ) - (19) 可得 s ( y, t ) = o th ( y - vs t ) / o 代入 (23) 式得 Es动 = ( 2 a

17、 / 3 o ) ( uo / a ) 2 M vs 2 *,设孤子的有效质量为Ms , 14 则 Es动 = Ms vs 2 / 2 故 Ms = ( 4 a / 3 o ) ( uo / a ) 2 M ( M 为 CH 基团质量 ) 由下列参数值: o = 7a, uo = 0.04 A, a = 1.40 A 可得 Ms 6 me ( me 为电子质量 ) 思考题: 试比较孤子的有效质量和电子、空穴的有效质量 6, 孤子的有效质量与电子、空穴有效质量的比较 1) 孤子与电子、空穴的比较 电子和空穴属电子体系; 孤子属电子晶格耦合体系. 电子和空穴是扩展态, 更具波动性, 可用 k 来表

18、征, 动能为 h2 k2 / 2 m*, 其中 m* 是有效质量; 孤子是局域态, 更具粒子性, 动能为 MsV2/2, Ms是有效质量. *,2) 电子和空穴的有效质量 15 若极值在 k = 0 处 ( 否则, 用 k 代替 k ) E( k) = E(0) + ( dE/dk ) k + ( d2E/dk2 ) k2 /2 + - 在极值处, dE/dk = 0, 并略去高次项, 得动能 h2 k2 / 2 m* = E( k) - E(0) = ( d2E/dk2 ) k2 /2 因此有效质量 m* = h2 / ( d2E/dk2 ) 3) 孤子的有效质量见前页 (5) 极化子态 (

19、 Polaron ) 联立方程 (17) 和 (18) 又一特介 1, 极化子的晶格状态 P ( y ) = o + KoVF th Ko( y - yo ) - th Ko( y + yo) (24) 此为束缚孤子对 两个参量： yo ( 2 yo 为孤子间的距离 ) Ko ( 1 / Ko 为孤子的半宽度 ) *, 该二参量不独立 th ( 2 Ko yo ) = Ko C ( C为一常数） 16 (自由) 孤子的宽度是确定的, ( 极化子中 ) 束缚孤子的宽度随孤子对之间的距离而变, 这可类比为一对孤子靠近而发生形变 2, 极化子的电子状态 1) 局域态 极化子能级 = o , 其中 o

20、 = ( o2 - Ko VF 2 ) 1/2 - (25) 禁带中的两个极化子能级可以理解为一对束缚的孤子相互作 用使孤子能级一分为二 本征函数 f +o,s ( y ) = Ko 1/2 ( 1 + i ) sech Ko ( y - yo ) f -o,s ( y ) = Ko 1/2 ( 1 - i ) sech Ko ( y + yo ) 电子态密度分布 | f + | 2 + | f - | 2 ( 见上页图 ) *,2) 扩展态 17 导带: kc = ( o2 + k2 VF 2 ) 1/2 - (26) f c+k,s ( y ) f c-k,s ( y ) 价带: kv =

21、 - ( o2 + k2 VF 2 ) 1/2 - (27) f v+k,s ( y ) = f c+k,s ( y ) * f v- k,s ( y ) = f c-k,s ( y ) * 提问: 极化子与孤子相比, 电子状态有什么不同? 元激发 局域态状态数 -o ( E ) dE = o ( E ) dE 孤子 1 - 1 / 2 极化子 2 - 1 *,3, 极化子的荷电和自旋 18 极化子类型 Q S n + n - 能量 中性极化子 0 0 0 2 低 1 1 中 2 0 高 负电(单)极化子 -e 1/2 1 2 低 电子(单)极化子 2 1 高 正电(单)极化子 +e 1/2

22、0 1 低 空穴(单)极化子 1 0 高 负电双极化子 -2e 0 2 2 电子双极化子 正电双极化子 +2e 0 0 0 空穴双极化子 *,4, 极化子中孤子对的带电情况 ( 电荷的空间分布 ) 19 极化子类型 Q 孤子对的带电情况 中性极化子 0 So So , S+ S- , S- S+ 负电(单)极化子 -e S- So , So S- 电子(单)极化子 正电(单)极化子 +e S+ So , So S+ 空穴(单)极化子 负电双极化子 -2e S- S- 电子双极化子 正电双极化子 +2e S+ S+ 空穴双极化子 *,5, 极化子的稳定性 ( 基态简并情况 ) 20 讨论上述各种

23、类型的极化子中能量较低的状态 极化子类型 n + n - Ep ( 2yo ) 演变结果 中性极化子 0 2 见图a 基态(A或B相) 负电(单)极化子 1 2 见图b 稳定 正电(单)极化子 0 1 见图b 稳定 负电双极化子 2 2 见图c 一对分离负电孤子 正电双极化子 0 0 见图c 一对分离正电孤子 思考题: 双极化子不稳定的物理根源是什么? 6, 单极化子的性质: 1) 束缚孤子对的平衡距离 2 yo Ep ( 2yo ) 曲线的极小值处, 2 yo = 2 yo 2 yo = 21/2 o th -1 2 -1/2 = 1.24 o ( = 8.69 a ) 2) 每个孤子的半宽

24、度: p = 1/ Ko = 21/2 o ( = 10 a ) *,3) 极化子能级在禁带中位置 21 由 (25) 和 (20) 式可知, o = 2-1/2 o 4) 单极化子的激发能 E p = E p (y) - E o = 23/2 o / 7, 不同掺杂浓度下的元激发 1) 几种元激发态激发能的比较 E p 2 E s E e-h 23/2o / 4 o / 2 o 2) 不同掺杂浓度下的元激发 ( 平均链长约100个基团 ) 掺杂浓度小于 1 % 时, 链上电荷一般为 0 和 e , 电荷为 e 的链中元激发应为单极化子; 掺杂浓度大于 1 % 时, 链上电荷可能为 2e ,

25、因为 2 E s 2 E p 4 o / 25/2 o / 电荷为 2e 的链中元激发应为孤子对 *,孤子晶格 22 孤子和极化子都是局域的激发态, 其 (y) 为非周期性的介 思考题: 如果掺杂浓度很高, 将会形成怎样的激发态? 1, 孤子晶格的序参量 1) 联立方程 (17) 和 (18) 另一特介为 L ( y ) = - VF ” ( y ) / ( y ) 其中, ( y ) = + 2 sin Sn ( y / k , k ) Sn ( y / k , k ) 为雅可俾椭圆函数 k 为小于 1 的参数 2) ( y + L o ) = ( y ) 2 , 具有周期性 晶格周期 Lo

26、 = 2 k K ( k ) - (28) 这里 K ( k ) = o2 ( 1 - k2 sin2 ) -1/2 d *,3) 弱耦合近似条件 23 耦合常数 = 4 2 a / K VF = 2 2 / K t o 1 即 2 K t o / 2 其中, 为电子晶格耦合系数 K 为晶格弹性系数 t o 为等间距时 电子的相互作用能量 4) 弱耦合近似条件下 = o = VF / o = 2 t o / o 此式即 ( 20 )式 有 L ( y ) 如图所示 5) 讨论 L ( y ) 是周期为 Lo 的周期函数 L ( y ) 由孤子和反孤子交替排列而成, 形成孤子晶格 孤子晶格的晶格常数 Lo 是 k 的函数 见 (28) 式 *,2, 孤子晶格的电子状态 24 1) 导带底 oc = o / k 2) 价带顶 ov = - o / k 3) 禁带宽度 g = 2 o / k 4) 孤子能带 - ( 1- k2 ) o / k L ( 1- k2 ) o / k 孤子晶格将孤子能级展宽成孤子能带 孤子能带宽度 WL = 2 ( 1- k2 ) o / k 5) 孤子能带的填充情况 填充情况 荷电 稳定性 ( 后面将讨论 ) 全空 正 稳定 全满 负 稳定 半满 中性 不稳定 不满(非半满) 正, 负 不稳定 *,6) 参数 k 的意