电磁学4电势梯度电势能

1、电磁学,第二篇,Electromagnetism,上次课内容回顾,静电场的环路定理：,电场中任意点P 的电势：,a、b两点间的电势差为,电场力做功：,一、等势面,（1）电场线与等势面处处正交;,（2）电场线方向指向电势降低方向;,电场中所有电势相等的点构成的 曲面叫等势面（可由实验测定）,2. 等势面与场强的关系：,（3）若相邻等势面电势差相等,等势面密处场强大； 等势面疏处场强小。,第6节 电势梯度,1.定义：,Electric Potential Gradient,在同一等势面上移动电荷, 电场力作功恒为零。,如何证明？,（1）电场线与等势面处处正交;,一试探电荷 在电场力的作用下 沿着该

2、等势面上某一条曲线做功为,必有：,（2）电场线方向指向电势降低方向;,证明：沿着某一电场线方向取c、d两点,一点电荷 在电场力的作用下沿着 电场线方向做功为,得证。,沿电场线方向电势下降,得证。,（3）若相邻等势面电势差相等,等势面密处场强大； 等势面疏处场强小。,选取相邻的等势面1、2、3，,在同一根经过三个等势面的 电场线上取三个点a、b、c，,试探电荷 在电场力的作用下 沿着电场线运动,电场力做功为：,如图有弧长,得证。,二、电势梯度矢量（ grad V ）,设两等势面电势之差：dV,两等势面间在P1点处 的最短距离： dn,P1点处法线方向上的 单位矢量：,指向电势升高的方向,1.电势

3、梯度,电场中某点的电势沿法线方向的空间 变化率叫该点的电势梯度。（是一个矢量）,大小：,方向：与 同向,定义式：,（实际是该点电势在两等势面间的最大空间变化率）,定义：,2. 电场强度与电势梯度的关系,根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：,电场中某点的场强 等于该点电势梯度的负值,即:,归纳,积分关系：,已知 可以求V , 已知V 可以求 。,微分关系：,求 的方法又增加一个！,电场强度与电势的关系,具体的做法是：,直角坐标系中：,与保守力与势能的关系类似：,例23. 求电偶极子在远场的: (1)电势分布; (2)场强分布。,r r+,解：,在离电偶极子较远的点:

4、,(1) 电势分布,(2) 场强分布,讨论,1o 若P点在 x 轴上, y = 0,2o 若P点在 y 轴上, x = 0,沿 x 正向,沿 x 负向,例24. 求均匀带电Q，半径为R的圆环轴线上任意 一点的场强。,解：根据点电荷电势叠加， P点的电势,P点的电场：,方向沿x轴 !,决定于V 在该点的空间变化率, 而与该点V 值大小无关。,（2）电场强度E 的又一单位：V/m,= N/C,（4）求E 的三种方法：,点电荷电场叠加：,用高斯定理求对称场:,电势梯度法:,（1）,小结,内,（3）电势为常数的区域，场强一定为零。,任何电荷在静电场中都具有势能静电势能,并且：,电场力作功(A) = 电

5、荷电势能的减少(W),又：,两式比较：,设q 在电场中a、b 两点的电势能分别为Wa、Wb，,将q 由 a b 电场力所作的功为：,第7节 静电势能,Electric Potential Energy,一、电荷在外电场的静电势能,一点电荷q在电场中具有电势能：,点电荷系在电场中具有电势能：,或,电荷与场源电荷 的相互作用能,电势能单位:,焦耳(J),例25. 球面带电Q，沿直径方向有一均匀带电棒，,求：相互作用能？,解：,球面在 x 处电势,棒上所有电荷的电势能:,棒上 dq 的电势能,已知：Q， a ， ，,dq,解：两电荷的电势能分别是：,能量最低,能量最高,稳定平衡态,非稳定平衡态,非平

6、衡态,非平衡态,讨论,动画,动画,当电偶极子从 ，转动到 0方位时， 电场力矩作功 A0, 电势能的改变量为：, 0,即：电场力作正功，以电势能的减少为代价,二、电荷系的静电能,当系统由多个静止的电荷组成时,这些电荷之间 的静电相互作用能的总和称为该电荷系的静电能。,设两电荷相距无限远时的电势能为零。,定义:,电荷系统的静电能等于将系统中各电荷从现有 的位置到彼此分散到无限远的过程中, 它们之间的 静电力所作的功。 或等于将各电荷从无限远移动到现有位置过程 中，外力克服静电力作的功。,1.两个点电荷组成的系统的静电能。,设两点电荷q1、q2相距为r，,令q1静止,将q2从它现在的位置移到无限远

7、。,在此过程中q1的电场力对q2作功：,q1在q2点所产生的电势,则,由定义可得两点电荷系统的静电能为,如果令q2静止,将q1从它现在的位置移到无限远？,同理可得,两个点电荷系统的静电能,结论：,两个点电荷系统的静电能就是一个电荷在 另一个电荷的电场中的电势能！,(2) 相互作用能属于两点电荷构成的系统， 而不是仅属于某一个电荷，因此可将其 写成下列对称形式：,注意：,(1)以上所设电荷系的两种形成过程所得的 结论一致。,即:系统的静电能与其形成过程无关。,这一结论可推广到多个点电荷构成的带电系统。,设n个点电荷组成的电荷系,第i个电荷的电量为qi ,2.电荷系的静电能,qi所在处的电势为Vi, 则此电荷系的静电能为,如果系统是一个电荷连续分布的带电体,可将其 看成由无限多个电荷元组成, 则系统的静电能,上式中的V可以用包括dq的所有电荷在dq处电势 的总和，而积分是对该带电体上所有电荷积分。,例27. 求一均匀带电球面的静电能。 已知球面半径为R，总电量为Q。,该带电球面的静电能为,解： 已知带电球面是一等势面，其电势为,例28. 求一均匀带